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风险度量是历史上预测投资风险和波动的统计措施,它们也是现代投资组合理论(MPT)的主要组成部分。MPT是一种标准的金融和学术方法,用于评估一只股票或一只股票基金与其基准指数相比的表现。

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金融代写|风险和利率理论代写Market Risk, Measures and Portfolio Theory代考|Return

From the above example we see that the risk can be reduced by diversification. In this section we discuss how to minimise risk when investing in two stocks.

Suppose that we buy $x_1$ shares of stock $S_1$ and $x_2$ shares of stock $S_2$. The initial value of this portfolio is
$$
V_{\left(x_1, x_2\right)}(0)=x_1 S_1(0)+x_2 S_2(0) .
$$
When we design a portfolio, usually its initial value is the starting point of our considerations and it is given. The decision on the number of shares in each asset will follow from the decision on the division of our wealth, which is our primary concern and is expressed by means of the weights defined by
$$
w_1=\frac{x_1 S_1(0)}{V_{\left(x_1, x_2\right)}(0)}, \quad w_2=\frac{x_2 S_2(0)}{V_{\left(x_1, x_2\right)}(0)} .
$$
If the initial wealth $V(0)$ and the weights $w_1, w_2, w_1+w_2=1$, are given, then the funds allocated to a particular stock are $w_1 V(0), w_2 V(0)$, respectively, and the numbers of shares we buy are
$$
x_1=\frac{w_1 V(0)}{S_1(0)}, \quad x_2=\frac{w_2 V(0)}{S_2(0)} .
$$
At the end of the period the securities prices change, which gives the final value of the portfolio as a random variable
$$
V_{\left(x_1, x_2\right)}(1)=x_1 S_1(1)+x_2 S_2(1) .
$$
To express the return on a portfolio we employ the weights rather than the numbers of shares since this is more convenient.

The return on the investment in two assets depends on the method of allocation of the funds (the weights) and the corresponding returns. The vector of weights will be denoted by $\mathbf{w}=\left(w_1, w_2\right)$, or in matrix notation
$$
\mathbf{w}=\left[\begin{array}{c}
w_1 \
w_2
\end{array}\right],
$$
and the return of the corresponding portfolio by $K_{\mathrm{w}}$.

金融代写|风险和利率理论代写Market Risk, Measures and Portfolio Theory代考|Attainable set

Finding the risk of a portfolio requires, apart from the risks of the components and the weights, some knowledge about their statistical relationship.
Recall from [PF] the notion of covariance of two random variables, $X, Y$ :
$$
\operatorname{Cov}(X, Y)=\mathbb{E}[(X-\mathbb{E}(X))(Y-\mathbb{E}(Y)]=\mathbb{E}(X Y)-\mathbb{E}(X) \mathbb{E}(Y),
$$
with $\operatorname{Cov}(X, X)=\operatorname{Var}(X)=\sigma_X^2$ in particular. Applying the Schwarz inequality ([PF, Lemma 3.49]) to $X-\mathbb{E}(X)$ and $Y-\mathbb{E}(Y)$ we obtain
$$
|\operatorname{Cov}(X, Y)| \leq \sigma_X \sigma_Y .
$$
This leads immediately to an inequality, that we leave as an exercise.
Exercise 2.2 Suppose that random variables $X, Y$ have finite variances. Show that $\sigma_{X+Y} \leq \sigma_X+\sigma_Y$.

Let us introduce the following notation for the covariance of the returns on the stocks $S_1, S_2$ :

$$
\sigma_{i j}=\operatorname{Cov}\left(K_i, K_j\right),
$$
for $i, j=1,2$. In particular,
$$
\begin{aligned}
&\sigma_{11}=\operatorname{Cov}\left(K_1, K_1\right)=\operatorname{Var}\left(K_1\right)=\sigma_1^2, \
&\sigma_{22}=\operatorname{Cov}\left(K_2, K_2\right)=\operatorname{Var}\left(K_2\right)=\sigma_2^2 .
\end{aligned}
$$
From (2.3) we see that
$$
\sigma_{12}=\sigma_{21} .
$$
If the returns are independent, then we have $\sigma_{12}=0$.

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风险和利率理论代写

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从上面的例子我们可以看到,风险可以通过多样化来降低。在本节中,我们将讨论在投资两只股票时如何将风险降到最低

假设我们买$x_1$股票$S_1$和$x_2$股票$S_2$。这个投资组合的初始值是
$$
V_{\left(x_1, x_2\right)}(0)=x_1 S_1(0)+x_2 S_2(0) .
$$
当我们设计一个投资组合时,通常它的初始值是我们考虑的起点,它是给定的。对每种资产中股份数量的决定将遵循对我们的财富分配的决定,这是我们主要关心的问题,通过
$$
w_1=\frac{x_1 S_1(0)}{V_{\left(x_1, x_2\right)}(0)}, \quad w_2=\frac{x_2 S_2(0)}{V_{\left(x_1, x_2\right)}(0)} .
$$
定义的权重来表示。如果给定初始财富$V(0)$和权重$w_1, w_2, w_1+w_2=1$,那么分配到某只股票的资金分别为$w_1 V(0), w_2 V(0)$。我们购买的股票数量是
$$
x_1=\frac{w_1 V(0)}{S_1(0)}, \quad x_2=\frac{w_2 V(0)}{S_2(0)} .
$$
在期限结束时,证券价格发生变化,这使投资组合的最终价值作为一个随机变量
$$
V_{\left(x_1, x_2\right)}(1)=x_1 S_1(1)+x_2 S_2(1) .
$$
为了表示投资组合的回报,我们使用权重而不是股票数量,因为这更方便 两种资产的投资收益取决于资金的配置方法(权重)和相应的收益。权重向量用$\mathbf{w}=\left(w_1, w_2\right)$表示,或者用矩阵表示
$$
\mathbf{w}=\left[\begin{array}{c}
w_1 \
w_2
\end{array}\right],
$$
,对应投资组合的回报用$K_{\mathrm{w}}$表示

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找出一个投资组合的风险,除了组件和权重的风险外,还需要一些关于它们的统计关系的知识。回想一下[PF]两个随机变量的协方差的概念,$X, Y$:
$$
\operatorname{Cov}(X, Y)=\mathbb{E}[(X-\mathbb{E}(X))(Y-\mathbb{E}(Y)]=\mathbb{E}(X Y)-\mathbb{E}(X) \mathbb{E}(Y),
$$
,特别是$\operatorname{Cov}(X, X)=\operatorname{Var}(X)=\sigma_X^2$。将Schwarz不等式([PF,引理3.49])应用到$X-\mathbb{E}(X)$和$Y-\mathbb{E}(Y)$,我们得到
$$
|\operatorname{Cov}(X, Y)| \leq \sigma_X \sigma_Y .
$$
这立即导致一个不等式,我们把它作为练习。假设随机变量$X, Y$有有限的方差。显示$\sigma_{X+Y} \leq \sigma_X+\sigma_Y$ .


让我们为股票收益的协方差引入以下符号$S_1, S_2$:

$$
\sigma_{i j}=\operatorname{Cov}\left(K_i, K_j\right),
$$
for $i, j=1,2$。特别是
$$
\begin{aligned}
&\sigma_{11}=\operatorname{Cov}\left(K_1, K_1\right)=\operatorname{Var}\left(K_1\right)=\sigma_1^2, \
&\sigma_{22}=\operatorname{Cov}\left(K_2, K_2\right)=\operatorname{Var}\left(K_2\right)=\sigma_2^2 .
\end{aligned}
$$
从(2.3)我们看到
$$
\sigma_{12}=\sigma_{21} .
$$
如果返回是独立的,那么我们有$\sigma_{12}=0$ .

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题,以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法,其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型;这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型(GLM)归属统计学领域,是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型(GLM)通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归,以及方差分析和方差分析(仅含固定效应)。

有限元方法代写

有限元方法(FEM)是一种流行的方法,用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法,用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程(即一些边界值问题)。为了解决一个问题,有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分,称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的,它是通过构建对象的网格来实现的:用于求解的数值域,它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统,以模拟整个问题。然后,有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写


随机微积分是数学的一个分支,对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程,是依赖于参数的一组随机变量的全体,参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现,其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值(如1秒,5分钟,12小时,7天,1年),因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中,往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录,以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进(Multiple Regression Analysis Asymptotics)属于计量经济学领域,主要是一种数学上的统计分析方法,可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系,在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中,其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括:数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发,包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统,其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题,尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题,而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问,这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展,得到了许多用户的投入。在大学环境中,它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域,MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要,工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数(M 文件)的综合集合,可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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