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抽象代数是代数的一组高级课题,涉及抽象代数结构而不是通常的数系。这些结构中最重要的是群、环和场。

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  • (Generalized) Linear Models 广义线性模型
  • Statistical Machine Learning 统计机器学习
  • Longitudinal Data Analysis 纵向数据分析
  • Foundations of Data Science 数据科学基础
数学代写|抽象代数作业代写abstract algebra代考|Math310

数学代写|抽象代数作业代写abstract algebra代考|Subgroups Generated by a Subset

By virtue of Proposition $1.7 .2,\langle S\rangle$ is called the subgroup generated by $S$. (In the analogy with vector spaces, a subgroup generated by a subset is like the span of a set of elements in a vector space, which is a subspace.)

Example 1.7.3. Let $G=D_6$ be the dihedral group on the hexagon. The subgroup $\langle r\rangle$ consists of all powers of $r$, so is $\langle r\rangle=\left{\iota, r, r^2, r^3, r^4, r^5\right}$. Notice that $\langle r\rangle$ is the subgroup of rotations.

The subgroup $\langle s\rangle={1, s}$ consists of only two elements, reflection across the reference axis of symmetry and the identity transformation.

The subgroup $\left\langle s, r^2\right\rangle$ contains the elements $\iota, s, r^2$, and $r^4$, by virtue of taking powers of elements in $\left{s, r^2\right}$. However, $\left\langle s, r^2\right\rangle$ also contains $s r^2$ and $s r^4$. The defining relation on $s$ and $r$ give $r^a s=s r^{6-a}$. Hence, as we apply this relation, the parity on the power of $r$ does not change. Hence,
$$
\left\langle s, r^2\right\rangle=\left{\iota, r^2, r^4, s, s r^2, s r^4\right} .
$$
Finally, consider the subgroup $\langle s, s r\rangle$. Obviously this subgroup contains $s$ but it also contains $r=s(s r)$. Hence, $\langle s, s r\rangle=D_6$ because it contains all rotations and all reflections.

For any element $a$ in a group $G$, the subgroup $\langle a\rangle$ is a cyclic subgroup of $G$ whose order is precisely the order $|a|$. It is important to note that distinct sets of generators may give that same subgroup. In the previous example, we noted that $\langle r, s r\rangle=\langle r, s\rangle$. This occurs even with cyclic subgroups. For example, in $D_6$, the rotation subgroup is $\langle r\rangle=\left\langle r^5\right\rangle$. In $D_6$, we also have $\left\langle r^2\right\rangle=\left\langle r^4\right\rangle$.
Example 1.7.4. Consider the group $S_4$. Let $H=\langle(13),(1234)\rangle$. We list out all the elements of $H$. By taking powers of the generators, we know that id, $\quad(13), \quad(1234), \quad(1234)^2=(13)(24), \quad(1234)^3=(1432)$ are all in $H$. By operating among these, $H$ also contains $(13)(1234)=(12)(34), \quad(13)(1234)^2=(24), \quad(13)(1234)^3=(14)(23)$.
It is also easy to calculate that $(1234)(13)=(14)(23),(1234)^2(13)=$ $(13)(24)$, and $(1234)^3(13)=(12)(34)$. At this point, we may suspect that $H={\mathrm{id},(13),(1234),(13)(24),(1432),(24),(12)(34),(14)(23)}$
but we have not yet proven that $H$ does not have any other elements.

数学代写|抽象代数作业代写abstract algebra代考|Useful CAS Commands

The GroupTheory package in Maple offers the SubgroupLattice command, which offers various ways to visualize the subgroup lattice of a group.

SAGE offers commands to display the Hasse diagram of any poset. By constructing the subgroup poset $\operatorname{Sub}(G)$, we can use this to create a plot object of the subgroup lattice. Since the console cannot display graphics, we use the following SAGE code in a Jupyter notebook.

In this code, we define $G$ as $D_6$ and then define the set subs, which is a set of all the subgroups of $G$. The third line for $f$ defines the partial order of containment, while the fourth line constructs $P$ which is now the poset $(\operatorname{Sub}(G), \subseteq)$. The user defined variable cardlabel is a dictionary type that to each subgroup in subs associates its order. Finally, the last line plots the corresponding Hasse diagram. To run the code, we click the Run button on the Jupyter notebook. This will create a PNG picture of the group lattice. Admittedly, this method does not place the subgroups at levels corresponding to their cardinality. By changing the cardlabel dictionary variable, we can put different labels on the vertices of the diagram. For example, using stir $(x \cdot$ gens ()$)[1:-1]$ insteat of $x$ order () will lahel each suhgromp vertex by the generators of the subgroup.

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抽象代数代写

数学代写|抽象代数作业代写abstract algebra代考|Subgroups Generated by a Subset

凭借命题 $1.7 .2,\langle S\rangle$ 被称为生成的子群 $S$. (与向量空间类比,子集生成的子群就像向量空间中一组元素的跨度,也就是一个子空间。)
. 请注意 $\langle r\rangle$ 是旋转的子群。
子群 $\langle s\rangle=1, s$ 仅由两个元素组成,跨参考对称轴的反射和恒等变换。
子群 $\left\langle s, r^2\right\rangle$ 包含元素 $L, s, r^2$ ,和 $r^4$ ,凭借在 $\backslash 1 \mathrm{eft}$ 的分隔符缺失或无法识别
然而, $\left\langle s, r^2\right\rangle$ 还包含 $s r^2$ 和 $s r^4$. 上的定义关系 $s$ 和 $r^{\text {给 }} r^a s=s r^{6-a}$. 因 此,当我们应用这个关系时,r不改变。因此,
《1eft 的分隔符缺失或无法识别
最后,考虑子组 $\langle s, s r\rangle$. 显然这个子群包含 $s$ 但它也包含 $r=s(s r)$. 因此, $\langle s, s r\rangle=D_6$ 因为它包含所有旋转和所有反射。
对于任何元素 $a$ 在一组 $G$ ,子群 $\langle a\rangle$ 是一个循环子群 $G$ 其顺序正是顺序 $|a|$. 重要的是要注意不同的生成器集可能佘给出相同的子组。在前面的例子中,我们注意到 $\langle r, s r\rangle=\langle r, s\rangle$. 即使使用循环子群也会发生这种情况。例如,在 $D_6$ ,旋转子群是 $\langle r\rangle=\left\langle r^5\right\rangle$. 在 $D_6$ ,我们还有 $\left\langle r^2\right\rangle=\left\langle r^4\right\rangle$.
示例 1.7.4。考虑组 $S_4$. 让 $H=\langle(13),(1234)\rangle$. 我们列出了所有的元素 $H$. 通过获取发电机的权力,我们知道 id,
$(13), \quad(1234), \quad(1234)^2=(13)(24), \quad(1234)^3=(1432)$ 都在 $H$. 通过在这些之间进行操作, $H$ 还包含
$(13)(1234)=(12)(34), \quad(13)(1234)^2=(24), \quad(13)(1234)^3=(14)(23)$.
也很容易计算 $(1234)(13)=(14)(23),(1234)^2(13)=(13)(24)$ , 和 $(1234)^3(13)=(12)(34)$. 此时,我们可能会怀疑
$H=\mathrm{id},(13),(1234),(13)(24),(1432),(24),(12)(34),(14)(23)$
但我们还没有证明 $H$ 没有任何其他元素。

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Maple 中的 GroupTheory 包提供了 SubgroupLattice 命令,该命令提供了各种可视化组的子组格的方法。
SAGE 提供命令来显示任何poset 的Hasse 图。通过构造子群posetSub $(G)$ ,我们可以使用它来创建子群格子的绘图对象。由于控制台无法显示图形,我们在 Jupyter 笔记本中使用以下 SAGE 代码。
在这段代码中,我们定义 $G$ 作为 $D_6$ 然后定义集合 subs,它是所有子群的集合 $G$. 第三行为 $f$ 定义了包含的部分顺序,而第四行构造 $P$ 现在是 $p o s e t($ Sub $(G)$, $\subseteq)$. 用户 定义的变量 cardlabel 是一个字典类型,它与 subs 中的每个子组关联其顺序。最后,最后一行绘制了相应的哈斯图。要运行代码,我们单击 Jupyter notebook 上 的 Run 按钮。这将创建组格的 PNG 图片。诚然,这种方法没有将子组置于与其基数相对应的级别。通过更改 cardlabel 字典变量,我们可以在图的顶点上放置不 同的标签。例如,使用搅拌 $(x$ 人们 () $)[1:-1]$ 代替 $x$ order0 将通过子组的生成器对每个 suhgromp 顶点进行分类。

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题,以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法,其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型;这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型(GLM)归属统计学领域,是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型(GLM)通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归,以及方差分析和方差分析(仅含固定效应)。

有限元方法代写

有限元方法(FEM)是一种流行的方法,用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法,用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程(即一些边界值问题)。为了解决一个问题,有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分,称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的,它是通过构建对象的网格来实现的:用于求解的数值域,它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统,以模拟整个问题。然后,有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写


随机微积分是数学的一个分支,对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程,是依赖于参数的一组随机变量的全体,参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现,其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值(如1秒,5分钟,12小时,7天,1年),因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中,往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录,以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进(Multiple Regression Analysis Asymptotics)属于计量经济学领域,主要是一种数学上的统计分析方法,可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系,在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中,其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括:数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发,包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统,其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题,尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题,而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问,这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展,得到了许多用户的投入。在大学环境中,它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域,MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要,工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数(M 文件)的综合集合,可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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