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抽象代数是代数的一组高级课题,涉及抽象代数结构而不是通常的数系。这些结构中最重要的是群、环和场。

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  • Statistical Machine Learning 统计机器学习
  • Longitudinal Data Analysis 纵向数据分析
  • Foundations of Data Science 数据科学基础
数学代写|抽象代数作业代写abstract algebra代考|Math310

数学代写|抽象代数作业代写abstract algebra代考|Historical Note

We conclude this chapter with a bit of history concerning the noncommutativity of matrix multiplication. In 1925, quantum theory was replete with annoying and puzzling ambiguities. It was Werner Heisenberg who recognized the cause. He observed that the product of the quantum-theoretical analogs of the classical Fourier series did not necessarily commute. For all his boldness, this shook Heisenberg. As he later recalled [2, p. 94]:

In my paper the fact that $X Y$ was not equal to $Y X$ was very disagreeable to me. I felt this was the only point of difficulty in the whole scheme, otherwise I would be perfectly happy. But this difficulty had worried me and I was not able to solve it.
Heisenberg asked his teacher, Max Born, if his ideas were worth publishing. Born was fascinated and deeply impressed by Heisenberg’s new approach. Born wrote [1, p. 217]:
After having sent off Heisenberg’s paper to the Zeitschrift für Physik for publication, I began to ponder over his symbolic multiplication, and was soon so involved in it that I thought about it for the whole day and could hardly sleep at night. For I felt there was something fundamental behind it, the consummation of our endeavors of many years. And one morning, about the 10 July 1925 , I suddenly saw light: Heisenberg’s symbolic multiplication was nothing but the matrix calculus, well-known to me since my student days from Rosanes’ lectures in Breslau.
Born and his student, Pascual Jordan, reformulated Heisenberg’s ideas in terms of matrices, but it was Heisenberg who was credited with the formulation. In his autobiography, Born lamented [1, p. 219]:
Nowadays the textbooks speak without exception of Heisenberg’s matrices, Heisenberg’s commutation law, and Dirac’s field quantization.

In fact, Heisenberg knew at that time very little of matrices and had to study them.

数学代写|抽象代数作业代写abstract algebra代考|Terminology and Notation

As we will soon discover, finite groups – that is, groups with finitely many elements – have interesting arithmetic properties. To facilitate the study of finite groups, it is convenient to introduce some terminology and notation.
Definition Order of a Group
The number of elements of a group (finite or infinite) is called its order. We will use $|G|$ to denote the order of $G$.

Thus, the group $\mathrm{Z}$ of integers under addition has infinite order, whereas the group $U(10)={1,3,7,9}$ under multiplication modulo 10 has order 4 .
Definition Order of an Element
The order $g$ in a group $G$ is the smallest positive integer $n$ such that $g^n=e$. (In additive notation, this would be $n g=$ 0.) If no such integer exists, we say that $g$ has infinite order. The order of an element $g$ is denoted by $|g|$.

So, to find the order of a group element $g$, you need only compute the sequence of products $g, g^2, g^3, \ldots$, until you reach the identity for the first time. The exponent of this product (or coefficient if the operation is addition) is the order of $g$. If the identity never appears in the sequence, then $g$ has infinite order.

  • EXAMPLE 1 Consider $U(15)={1,2,4,7,8,11,13,14}$ under multiplication modulo 15 . This group has order 8 . To find the order of the element 7 , say, we compute the sequence $7^1=7,7^2=$ $4,7^3=13,7^4=1$, so $|7|=4$. To find the order of 11 , we compute $11^1=11,11^2=1$, so $|11|=2$. Similar computations show that $|1|=1,|2|=4,|4|=2,|8|=4,|13|=4,|14|=2$. [Here is a trick that makes these calculations easier. Rather than compute the sequence $13^1, 13^2, 13^3, 13^4$, we may observe that $13=-2 \bmod 15$, so that $\left.13^2=(-2)^2=4,13^3=-2 \cdot 4=-8,13^4=(-2)(-8)=1.\right]^1$
  • EXAMPLE 2 Consider $Z_{10}$ under addition modulo 10. Since $1 \cdot 2$ $=2,2 \cdot 2=4,3 \cdot 2=6,4 \cdot 2=8,5 \cdot 2=0$, we know that $|2|=5$. Similar computations show that $|0|=1,|7|=10,|5|=2,|6|=5$. (Here $2 \cdot 2$ is an abbreviation for $2+2,3 \cdot 2$ is an abbreviation for $2+2+2$, etc.)
数学代写|抽象代数作业代写abstract algebra代考|Math310

抽象代数代写

数学代写|抽象代数作业代写abstract algebra代考|Historical Note

我们用一些关于矩阵乘法的不可交换性的历史来结束本章。1925 年,量子理论充满了令人讨厌和令人费解的模棱两可。认识到原因的是维尔纳·海森堡。他观察到经典傅里叶级数的量子理论类似物的乘积不一定是对等的。尽管他的大胆,这让海森堡感到震惊。正如他后来回忆的那样 [2, p. 94]:

在我的论文中,事实是X是不等于是X对我来说非常不愉快。我觉得这是整个计划中唯一的难点,否则我会非常高兴。但是这个困难让我很担心,我没能解决它。
海森堡问他的老师马克斯·伯恩,他的想法是否值得发表。海森堡的新方法让玻恩着迷并留下深刻印象。伯恩写道 [1, p. 217]:
把海森堡的论文寄给《物理学报》发表后,我开始琢磨他的符号乘法,很快就沉迷其中,想了一天,晚上都睡不着觉。因为我觉得这背后有一些根本性的东西,是我们多年努力的成果。一天早上,大约是 1925 年 7 月 10 日,我突然看到了曙光:海森堡的符号乘法不过是矩阵微积分,我在学生时代就在 Rosanes 在布雷斯劳的演讲中广为人知。
Born 和他的学生 Pascual Jordan 用矩阵的形式重新阐述了海森堡的思想,但正是海森堡提出了这个公式。在他的自传中,玻恩感叹 [1, p. 219]:
现在的教科书无一例外地讲到海森堡的矩阵、海森堡的交换律和狄拉克的场量子化。

事实上,当时海森堡对矩阵知之甚少,不得不研究它们。

数学代写|抽象代数作业代写abstract algebra代考|Terminology and Notation

我们很快就会发现,有限群一一即具有有限多个元素的群一一具有有郰的算术性质。为了方便对有限群的研究,引入一些术语和符号很方便。 定义群的阶群
中元素的数量 (有限或无限) 称为它的阶。我们将使用 $|G|$ 表示顺序 $G$.
因此,该组Z加法下的整数的顺序是无限的,而群 $U(10)=1,3,7,9$ 在乘法模 10 下的阶数为 4 。
元素
的定义顺序顺序 $g$ 在一组 $G$ 是最小的正整数 $n$ 这样 $g^n=e$. (在加法表示法中,这将是 $n g=0$.) 如果不存在这样的整数,我们说 $g$ 有无限顺序。元素的顺序 $g$ 表示为 $|g|$
所以,要找到一个组元素的顺序 $g$, 你只需要计算产品的序列 $g, g^2, g^3, \ldots$, 直到你第一次到达身份。此乘积的指数 (或如果运算为加法,则为系数) 是 $g$. 如果身份 从末出现在序列中,则 $g$ 有无限顺序。

  • 示例 1 考虑 $U(15)=1,2,4,7,8,11,13,14$ 在乘法模 15 下。该组有订单 8 。例如,为了找到元素 7 的顺序,我们计算序列 $7^1=7,7^2=$ $4,7^3=13,7^4=1$ ,所以|7| $=4$. 为了找到 11 的顺序,我们计算 $11^1=11,11^2=1$ ,所以| $11 \mid=2$. 类似的计算表明
    $|1|=1,|2|=4,|4|=2,|8|=4,|13|=4,|14|=2$. [这是使这些计算更容易的技巧。而不是计算序列 $13^1, 13^2, 13^3, 13^4$ ,我们可以观察到 $13=-2 \bmod 15$ ,以便 $\left.13^2=(-2)^2=4,13^3=-2 \cdot 4=-8,13^4=(-2)(-8)=1.\right]^1$
  • 例 2 考虑 $Z_{10}$ 在加法模 10 下。因为 $1 \cdot 2=2,2 \cdot 2=4,3 \cdot 2=6,4 \cdot 2=8,5 \cdot 2=0$ ,我们知道 $|2|=5$. 类似的计算表明 $|0|=1,|7|=10,|5|=2,|6|=5$. (这里 $2 \cdot 2$ 是的缩写 $2+2,3 \cdot 2$ 是的缩写 $2+2+2$ ,ETC。)

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题,以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法,其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型;这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型(GLM)归属统计学领域,是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型(GLM)通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归,以及方差分析和方差分析(仅含固定效应)。

有限元方法代写

有限元方法(FEM)是一种流行的方法,用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法,用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程(即一些边界值问题)。为了解决一个问题,有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分,称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的,它是通过构建对象的网格来实现的:用于求解的数值域,它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统,以模拟整个问题。然后,有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写


随机微积分是数学的一个分支,对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程,是依赖于参数的一组随机变量的全体,参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现,其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值(如1秒,5分钟,12小时,7天,1年),因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中,往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录,以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进(Multiple Regression Analysis Asymptotics)属于计量经济学领域,主要是一种数学上的统计分析方法,可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系,在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中,其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括:数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发,包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统,其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题,尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题,而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问,这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展,得到了许多用户的投入。在大学环境中,它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域,MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要,工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数(M 文件)的综合集合,可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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