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抽象代数是代数的一组高级课题,涉及抽象代数结构而不是通常的数系。这些结构中最重要的是群、环和场。

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数学代写|抽象代数作业代写abstract algebra代考|Math4120

数学代写|抽象代数作业代写abstract algebra代考|Elementary Properties of Groups

Now that we have seen many diverse examples of groups, we wish to deduce some properties that they share. The definition itself raises some fundamental questions. Every group has an identity. Could a group have more than one? Every group element has an inverse. Could an element have more than one? The examples suggest not. But examples can only suggest. One cannot prove that every group has a unique identity by looking at examples, because each example inherently has properties that may not be shared by all groups. We are forced to restrict ourselves to the properties that all groups have; that is, we must view groups as abstract entities rather than argue by example. The next three theorems illustrate the abstract approach.

In a group $G$, there is only one identity element.
PROOF Suppose both $e$ and $e^{\prime}$ are identities of $\mathrm{G}$. Then,

  1. $a e=a$ for all $a$ in $G$, and
  2. $e^{\prime} a=a$ for all $a$ in $G$.
    The choices of $a=e^{\prime}$ in (part 1) and $a=e$ in (part 2) yield $e^{\prime} e=e^{\prime}$ and $e^{\prime} e=e$. Thus, $e$ and $e^{\prime}$ are both equal to $e^{\prime} e$ and so are equal to each other.

Because of this theorem, we may unambiguously speak of “the identity” of a group and denote it by ‘ $e$ ‘ (because the German word for identity is Einheit).

数学代写|抽象代数作业代写abstract algebra代考|Uniqueness of Inverses

As was the case with the identity element, it is reasonable, in view of Theorem 2.3, to speak of “the inverse” of an element $g$ of a group; in fact, we may unambiguously denote it by $g^{-1}$. This notation is suggested by that used for ordinary real numbers under multiplication. Similarly, when $n$ is a positive integer, the associative law allows us to use $g^n$ to denote the unambiguous product:
$$
\underbrace{g g \cdots g .}_{n \text { factors }}
$$
We define $g^0=e$. When $n$ is negative, we define $g^n=\left(g^{-1}\right)^{|n|}$ [e.g., $g^{-3}=\left(g^{-1}\right)^3$. Unlike for real numbers, in an abstract group we do not permit noninteger exponents such as $g^{1 / 2}$. With this notation, the familiar laws of exponents hold for groups; that is, for all integers $m$ and $n$ and any group element $g$, we have $g^m g^n=g^{m+1}$ and $\left(g^m\right)^n=g^{m n}$. Although the way one manipulates the group expressions $g^m g^n$ and $\left(g^m\right)^n$ coincides with the laws of exponents for real numbers, the laws of exponents fail to hold for expressions involving two group elements. Thus, for groups in general, $(a b)^2=$ $a b a b$ rather than $a^2 b^2$. To remove parentheses in the expression $(a b)^{-2}$ we have $(a b)^{-2}=\left((a b)^{-1}\right)^2=\left(b^{-1} a^{-1}\right)^2=b^{-1} a^{-1} b^{-1} a^{-1}$ $(a b)^n \neq a^n b^n$. (See Exercises 25 and 36.)

The important thing about the existence of a unique inverse for each group element $a$ is that for every element $b$ in the group there is a unique solution in the group of the equations $a x=b$ and $x a=b$. Namely, $x=a^{-1} b$ in the first case and $x=b a^{-1}$ in the second case. In contrast, in the set ${0,1,2,3,4,5}$, the equation $2 x=4$ has the solutions $x=2$ and $x=5$ under the operation multiplication mod 6 . However, this set is not a group under multiplication $\bmod 6$.

Also, one must be careful with this notation when dealing with a specific group whose binary operation is addition and is denoted by “+.” In this case, the definitions and group properties expressed in multiplicative notation must be translated to additive notation. For example, the inverse of $g$ is written as $-g$. Likewise, for example, $g^3$ means $g+g+g$ and is usually written as $3 g$, whereas $g^{-3}$ means $(-g)+(-g)+(-g)$ and is written as $-3 g$. When additive notation is used, do not interpret “ng” as combining $n$ and $g$ under the group operation; $n$ may not even be an element of the group! Table $2.2$ shows the common notation and corresponding terminology for groups under multiplication and groups under addition.

数学代写|抽象代数作业代写abstract algebra代考|Math4120

抽象代数代写

数学代写|抽象代数作业代写abstract algebra代考|Elementary Properties of Groups

现在我们已经看到了许多不同的组示例,我们希望推断出它们共享的一些属性。定义本身提出了一些基本问题。每个群体都有一个身份。一个组可以有多个吗?每个群元素都有一个逆元。一个元素可以有多个吗?这些例子表明不是。但例子只能暗示。不能通过查看示例来证明每个组都具有唯一的身份,因为每个示例固有地具有可能并非所有组共享的属性。我们被迫将自己限制在所有群体都拥有的属性上;也就是说,我们必须将群体视为抽象实体,而不是举例说明。接下来的三个定理说明了抽象方法。

在一组G,只有一个身份元素。
证明假设两者和和和′是身份G. 然后,

  1. 一个和=一个对所有人一个在G, 和
  2. 和′一个=一个对所有人一个在G.
    的选择一个=和′在(第 1 部分)和一个=和在(第 2 部分)产量和′和=和′和和′和=和. 因此,和和和′都等于和′和所以彼此相等。

由于这个定理,我们可以毫不含糊地谈论一个群的“同一性”,并用 ‘和’ (因为在德语中表示身份的词是 Einheit)。

数学代写|抽象代数作业代写abstract algebra代考|Uniqueness of Inverses

与恒等元素的情况一样,根据定理 2.3,说元素的“逆”是合理的G一组的;事实上,我们可以明确地表示为G−1. 乘法下用于普通实数的符号建议使用此符号。同样,当n是一个正整数,结合律允许我们使用Gn表示明确的产品:
GG⋯G.⏟n 因素 
我们定义G0=和. 什么时候n为负,我们定义Gn=(G−1)|n|[例如,G−3=(G−1)3. 与实数不同,在抽象群中,我们不允许使用非整数指数,例如G1/2. 使用这种符号,熟悉的指数定律适用于群。也就是说,对于所有整数米和n和任何组元素G, 我们有G米Gn=G米+1和(G米)n=G米n. 虽然操作组表达式的方式G米Gn和(G米)n与实数的指数定律一致,指数定律对于涉及两个群元素的表达式不成立。因此,对于一般的群体,(一个b)2= 一个b一个b而不是一个2b2. 删除表达式中的括号(一个b)−2我们有(一个b)−2=((一个b)−1)2=(b−1一个−1)2=b−1一个−1b−1一个−1 (一个b)n≠一个nbn. (见练习 25 和 36。)

关于每个群元素存在唯一逆的重要事项一个是对于每个元素b在群中方程组中存在唯一解一个X=b和X一个=b. 即,X=一个−1b在第一种情况下X=b一个−1在第二种情况下。相比之下,在集合0,1,2,3,4,5, 方程2X=4有解决方案X=2和X=5在运算乘法 mod 6 下。但是,这个集合不是乘法下的群反对6.

此外,在处理二进制运算为加法并用“+”表示的特定组时,必须小心这种表示法。在这种情况下,以乘法表示的定义和组属性必须转换为加法表示。例如,逆G写成−G. 同样,例如,G3方法G+G+G并且通常写为3G, 然而G−3方法(−G)+(−G)+(−G)并写为−3G. 当使用加法符号时,不要将“ng”解释为组合n和G集团经营下;n甚至可能不是该组的一个元素!桌子2.2显示了乘法组和加法组的通用符号和相应的术语。

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题,以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法,其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型;这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型(GLM)归属统计学领域,是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型(GLM)通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归,以及方差分析和方差分析(仅含固定效应)。

有限元方法代写

有限元方法(FEM)是一种流行的方法,用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法,用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程(即一些边界值问题)。为了解决一个问题,有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分,称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的,它是通过构建对象的网格来实现的:用于求解的数值域,它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统,以模拟整个问题。然后,有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机微积分是数学的一个分支,对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程,是依赖于参数的一组随机变量的全体,参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现,其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值(如1秒,5分钟,12小时,7天,1年),因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中,往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录,以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进(Multiple Regression Analysis Asymptotics)属于计量经济学领域,主要是一种数学上的统计分析方法,可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系,在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

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