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抽象代数是代数的一组高级课题,涉及抽象代数结构而不是通常的数系。这些结构中最重要的是群、环和场。

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  • Longitudinal Data Analysis 纵向数据分析
  • Foundations of Data Science 数据科学基础
数学代写|抽象代数作业代写abstract algebra代考|Math4120

数学代写|抽象代数作业代写abstract algebra代考|Symmetries of a Square

Suppose we remove a square region from a plane, move it in some way, then put the square back into the space it originally occupied. Our goal in this chapter is to describe all possible ways in which this can be done. More specifically, we want to describe the possible relationships between the starting position of the square and its final position in terms of motions. However, we are interested in the net effect of a motion, rather than in the motion itself. Thus, for example, we consider a $90^{\circ}$ rotation and a $450^{\circ}$ rotation as equal, since they have the same net effect on every point. With this simplifying convention, it is an easy matter to achieve our goal.

To begin, we can think of the square region as being transparent (glass, say), with the corners marked on one side with the colors blue, white, pink, and green. This makes it easy to distinguish between motions that have different effects. With this marking scheme, we are now in a position to describe, in simple fashion, all possible ways in which a square object can be repositioned. See Figure 1.1. We now claim that any motion-no matter how complicated – is equivalent to one of these eight. To verify this claim, observe that the final position of the square is completely determined by the location and orientation (i.e., face up or face down) of any particular corner. But, clearly, there are only four locations and two orientations for a given corner, so there are exactly eight distinct final positions for the corner.

Let’s investigate some consequences of the fact that every motion is equal to one of the eight listed in Figure 1.1. Suppose a square is repositioned by a rotation of $90^{\circ}$ followed by a flip about the horizontal axis of symmetry.

数学代写|抽象代数作业代写abstract algebra代考|The Dihedral Groups

The analysis carried out above for a square can similarly be done for an equilateral triangle or regular pentagon or, indeed, any regular $n$-gon $(n \geq 3)$. The corresponding group is denoted by $D_n$ and is called the dihedral group of order $2 n$.

The dihedral groups arise frequently in art and nature. Many of the decorative designs used on floor coverings, pottery, and buildings have one of the dihedral groups as a group of symmetry. Corporation logos are rich sources of dihedral symmetry. Chrysler’s logo has $D_5$ as a symmetry group, and that of Mercedes-Benz has $D_3$. The ubiquitous five-pointed star has symmetry group $D_5$.

The phylum Echinodermata contains many sea animals (such as starfish, sea cucumbers, feather stars, and sand dollars) that exhibit patterns with $D_5$ symmetry. Snowflakes have $D_6$ symmetry (see Exercise 19).

Chemists classify molecules according to their symmetry. Moreover, symmetry considerations are applied in orbital calculations, in determining energy levels of atoms and molecules, and in the study of molecular vibrations. The symmetry group of a pyramidal molecule such as ammonia $\left(\mathrm{NH}_3\right)$, depicted in Figure $1.2$, is $\mathrm{D}_3$.

Mineralogists determine the internal structures of crystals (i.e., rigid bodies in which the particles are arranged in threedimensional discrete patterns – table salt and table sugar are two examples) by studying two-dimensional $x$-ray projections of the atomic makeup of the crystals. The symmetry present in the projections reveals the internal symmetry of the crystals themselves. Commonly occurring symmetry patterns are $D_4$ and $D_6$ (see Figure 1.3). Interestingly, it is mathematically impossible for a crystal to possess a $D_n$ repeating symmetry pattern with $n=5$ or $n>6$.

The dihedral group of order $2 n$ is often called the group of symmetries of a regular n-gon. A plane symmetry of a figure $F$ in a plane is a function from the plane to itself that carries $F$ onto $F$ and preserves distances; that is, for any points $p$ and $q$ in the plane, the distance from the image of $p$ to the image of $q$ is the same as the distance from $p$ to $q$. (The term symmetry is from the Greek word symmetros, meaning “of like measure.”)

数学代写|抽象代数作业代写abstract algebra代考|Math4120

抽象代数代写

数学代写|抽象代数作业代写abstract algebra代考|Symmetries of a Square

假设我们从平面上移除一个正方形区域,以某种方式移动它,然后将正方形放回它最初占据的空间。我们在本章中的目标是描述所有可能的方式来做到这一点。更具体地说,我们想用运动来描述正方形的起始位置和它的最终位置之间可能存在的关系。然而,我们对运动的净效应感兴趣,而不是运动本身。因此,例如,我们考虑一个90∘旋转和一个450∘旋转相等,因为它们对每个点都有相同的净效应。通过这种简化的约定,实现我们的目标是一件轻而易举的事情。

首先,我们可以将正方形区域视为透明的(例如玻璃),边角标有蓝色、白色、粉红色和绿色。这使得区分具有不同效果的运动变得容易。有了这个标记方案,我们现在能够以简单的方式描述所有可能的方形对象可以重新定位的方式。请参见图 1.1。我们现在声称,任何运动——无论多么复杂——都等同于这八种运动中的一种。为了验证这一说法,请观察正方形的最终位置完全由任何特定角的位置和方向(即面朝上或面朝下)决定。但是,很明显,一个给定的拐角只有四个位置和两个方向,所以拐角有八个不同的最终位置。

让我们研究一下每个运动都等于图 1.1 中列出的八个运动之一这一事实的一些后果。假设一个正方形通过旋转重新定位90∘然后围绕水平对称轴翻转。

数学代写|抽象代数作业代写abstract algebra代考|The Dihedral Groups

上面对正方形进行的分析可以类似地对等边三角形或正五边形,或者实际上任何正五边形进行n-gon(n≥3). 相应的组表示为Dn称为二面体阶群2n.

二面角群经常出现在艺术和自然中。地板覆盖物、陶器和建筑物上使用的许多装饰设计都有一个二面角组作为对称组。公司标志是二面对称的丰富来源。克莱斯勒的标志有D5作为一个对称群,奔驰的对称群有D3. 无处不在的五角星有对称群D5.

棘皮动物门包含许多海洋动物(如海星、海参、羽星和沙钱),它们表现出与D5对称。雪花有D6对称性(见习题 19)。

化学家根据分子的对称性对分子进行分类。此外,对称性考虑应用于轨道计算、确定原子和分子的能级以及研究分子振动。金字塔形分子的对称群,例如氨(NH3),如图所示1.2, 是D3.

矿物学家通过研究二维来确定晶体的内部结构(即颗粒以三维离散模式排列的刚体——食盐和食糖是两个例子)X晶体原子构成的射线投影。投影中存在的对称性揭示了晶体本身的内部对称性。常见的对称模式是D4和D6(见图 1.3)。有趣的是,在数学上,晶体不可能拥有Dn重复对称图案与n=5或者n>6.

有序的二面体群2n常被称为正 n 边形的对称群。图形的平面对称F在平面中是从平面到自身的函数,它携带F到F并保持距离;也就是说,对于任何点p和q在平面上,与图像的距离p对图像q与距离相同p至q. (对称性一词来自希腊语 symmetros,意思是“相同的度量”。)

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题,以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法,其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型;这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型(GLM)归属统计学领域,是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型(GLM)通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归,以及方差分析和方差分析(仅含固定效应)。

有限元方法代写

有限元方法(FEM)是一种流行的方法,用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法,用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程(即一些边界值问题)。为了解决一个问题,有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分,称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的,它是通过构建对象的网格来实现的:用于求解的数值域,它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统,以模拟整个问题。然后,有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写


随机微积分是数学的一个分支,对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程,是依赖于参数的一组随机变量的全体,参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现,其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值(如1秒,5分钟,12小时,7天,1年),因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中,往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录,以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进(Multiple Regression Analysis Asymptotics)属于计量经济学领域,主要是一种数学上的统计分析方法,可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系,在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中,其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括:数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发,包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统,其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题,尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题,而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问,这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展,得到了许多用户的投入。在大学环境中,它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域,MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要,工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数(M 文件)的综合集合,可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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