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数学代写|高等线性代数代写Advanced Linear Algebra代考|МАТ337

数学代写|高等线性代数代写Advanced Linear Algebra代考|Jordan canonical form for nilpotent matrices

We will see that the Cayley-Hamilton theorem (Theorem 4.1.1) plays a crucial role in obtaining the Jordan canonical of a matrix. In this section we focus on the case when $p_A(\lambda)=\lambda^n$. Thus $A^n=0$. A matrix with this property is called nilpotent.
Given a matrix $A$, we introduce the following quantities:
$$
w_k(A, \lambda)=\operatorname{dim} \operatorname{Ker}\left(A-\lambda I_n\right)^k-\operatorname{dim} \operatorname{Ker}\left(A-\lambda I_n\right)^{k-1}, k=1, \ldots, n .
$$
Here $\left(A-\lambda I_n\right)^0=I_n$, so $w_1(A, \lambda)=\operatorname{dim} \operatorname{Ker}\left(A-\lambda I_n\right)$. The numbers $w_k(A, \lambda)$ are collectively called the Weyr characteristics of $A$. The spaces $\operatorname{Ker}\left(A-\lambda I_n\right)^k$ are called generalized eigenspaces of $A$ at $\lambda$.

We also introduce the Jordan block $J_k(\lambda)$ of size $k$ at $\lambda$, as being the $k \times k$ upper triangular matrix
$$
J_k(\lambda)=\left(\begin{array}{ccccc}
\lambda & 1 & 0 & \cdots & 0 \
0 & \lambda & 1 & \cdots & 0 \
\vdots & & \ddots & \ddots & \vdots \
0 & 0 & \cdots & \lambda & 1 \
0 & 0 & \cdots & 0 & \lambda
\end{array}\right)
$$

We write $\oplus_{k=1}^p A_k$ for the block diagonal matrix
$$
\oplus_{k=1}^p A_k=\left(\begin{array}{cccc}
A_1 & 0 & \cdots & 0 \
0 & A_2 & \cdots & 0 \
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \
0 & 0 & \cdots & A_p
\end{array}\right)
$$
When we have a block diagonal matrix with $p$ copies of the same matrix $B$, we write $\oplus_{k=1}^p B$

数学代写|高等线性代数代写Advanced Linear Algebra代考|The minimal polynomial

As we have seen in Theorem 4.1.1, the characteristic polynomial $p_A(t)$ of a matrix $A$ has the property that $p_A(A)=0$. There are many other monic polynomials $p(t)$ that also satisfy $p(A)=0$. Of particular interest is the one of lowest possible degree. This so-called “minimal polynomial” of $A$ captures some essential features of the Jordan canonical form of the matrix $A$.
Given $A \in \mathbb{F}^{n \times n}$ we define its minimal polynomial $m_A(t)$ to be the lowest-degree monic polynomial so that $m_A(A)=0$.
Example 4.5.1 Let
$$
A=\left(\begin{array}{lll}
1 & 0 & 0 \
0 & 1 & 0 \
0 & 0 & 2
\end{array}\right) \text {. }
$$
Then $m_A(t)=(t-1)(t-2)$. Indeed,
$$
m_A(A)=\left(A-I_3\right)\left(A-2 I_3\right)=0,
$$
and any monic degree- 1 polynomial has the form $t-\lambda$, but $A-\lambda I_3 \neq 0$ for all $\lambda$.

Proposition 4.5.2 Every $A \in \mathbb{F}^n$ has a unique minimal polynomial $m_A(t)$, and every eigenvalue of $A$ is a root of $m_A(t)$. Moreover, if $p(A)=0$, then $m_A(t)$ divides $p(t)$. In particular, $m_A(t)$ divides $p_A(t)$.

Proof. As $p_A(A)=0$, there certainly exists a degree- $n$ polynomial satisfying $p(A)=0$, and thus there exists also a nonzero polynomial of lowest degree which can always be made monic by multiplying by a nonzero element of $\mathbb{F}$. Next suppose that $m_1(t)$ and $m_2(t)$ are both monic polynomials of lowest possible degree $k$ so that $m_1(A)=0=m_2(A)$. Then by Proposition 4.3.1 there exists $q(t)$ and $r(t)$ with $\operatorname{deg} r<k$ so that
$$
m_1(t)=q(t) m_2(t)+r(t)
$$

高等线性代数代考

数学代写|高等线性代数代写Advanced Linear Algebra代考|幂零矩阵的Jordan标准形式

我们将看到Cayley-Hamilton定理(定理4.1.1)在获得矩阵的Jordan正则方面起着至关重要的作用。在本节中，我们关注$p_A(\lambda)=\lambda^n$的情况。因此$A^n=0$。具有这种性质的矩阵称为幂零矩阵。
给定一个矩阵$A$，我们引入以下量:
$$
w_k(A, \lambda)=\operatorname{dim} \operatorname{Ker}\left(A-\lambda I_n\right)^k-\operatorname{dim} \operatorname{Ker}\left(A-\lambda I_n\right)^{k-1}, k=1, \ldots, n .
$$
这里$\left(A-\lambda I_n\right)^0=I_n$，所以$w_1(A, \lambda)=\operatorname{dim} \operatorname{Ker}\left(A-\lambda I_n\right)$。数字$w_k(A, \lambda)$被统称为$A$的魏尔特征。空间$\operatorname{Ker}\left(A-\lambda I_n\right)^k$被称为$A$在$\lambda$的广义特征空间。

我们还介绍了约旦块$J_k(\lambda)$的大小$k$在$\lambda$，作为$k \times k$上三角矩阵
$$
J_k(\lambda)=\left(\begin{array}{ccccc}
\lambda & 1 & 0 & \cdots & 0 \
0 & \lambda & 1 & \cdots & 0 \
\vdots & & \ddots & \ddots & \vdots \
0 & 0 & \cdots & \lambda & 1 \
0 & 0 & \cdots & 0 & \lambda
\end{array}\right)
$$

我们为块对角矩阵写$\oplus_{k=1}^p A_k$
$$
\oplus_{k=1}^p A_k=\left(\begin{array}{cccc}
A_1 & 0 & \cdots & 0 \
0 & A_2 & \cdots & 0 \
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \
0 & 0 & \cdots & A_p
\end{array}\right)
$$
当我们有一个块对角矩阵，它有同一个矩阵的$p$副本$B$，我们写$\oplus_{k=1}^p B$

数学代写|高等线性代数代写Advanced Linear Algebra代考|The minimum多项式

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正如我们在定理4.1.1中所看到的，矩阵$A$的特征多项式$p_A(t)$具有$p_A(A)=0$。还有许多其他的monic多项式$p(t)$也满足$p(A)=0$。特别有趣的是可能的最低度。$A$的这个所谓的“最小多项式”抓住了矩阵$A$的Jordan规范形式的一些基本特征。
给定$A \in \mathbb{F}^{n \times n}$，我们定义它的最小多项式$m_A(t)$为最低次一次多项式，因此$m_A(A)=0$ .
例4.5.1令
$$
A=\left(\begin{array}{lll}
1 & 0 & 0 \
0 & 1 & 0 \
0 & 0 & 2
\end{array}\right) \text {. }
$$
那么$m_A(t)=(t-1)(t-2)$。确实，
$$
m_A(A)=\left(A-I_3\right)\left(A-2 I_3\right)=0,
$$
和任何一次- 1多项式的形式都是$t-\lambda$，但对于所有的$\lambda$都是$A-\lambda I_3 \neq 0$

命题4.5.2每个$A \in \mathbb{F}^n$都有唯一的最小多项式$m_A(t)$，并且$A$的每个特征值都是$m_A(t)$的一个根。此外，如果$p(A)=0$，则$m_A(t)$除$p(t)$。特别是，$m_A(t)$除以$p_A(t)$ .

证明。如$p_A(A)=0$，肯定存在一个满足$p(A)=0$的次- $n$多项式，因此也存在一个最低次的非零多项式，只要乘以$\mathbb{F}$的一个非零元素总能得到一次多项式。接下来假设$m_1(t)$和$m_2(t)$都是最低次$k$的monic多项式，那么$m_1(A)=0=m_2(A)$。根据命题4.3.1，存在$q(t)$和$r(t)$与$\operatorname{deg} r<k$，使得
$$
m_1(t)=q(t) m_2(t)+r(t)
$$

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。

有限元方法代写

有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

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多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

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