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## 数学代写|高等线性代数代写Advanced Linear Algebra代考|Definition of a linear transformation

Let $V$ and $W$ be vector spaces over the same field $\mathbb{F}$. A function $T: V \rightarrow W$ is called linear if
(i) $T(\mathbf{u}+\mathbf{v})=T(\mathbf{u})+T(\mathbf{v})$ for all $\mathbf{u}, \mathbf{v} \in V$, and
(ii) $T(c \mathbf{u})=c T$ (u) for all $c \in \mathbb{F}$ and all $\mathbf{u} \in V$. In this case, we say that $T$ is a linear transformation or a linear map.

When $T$ is linear, we must have that $T(\mathbf{0})=\mathbf{0}$. Indeed, by using (ii) we have $T(\mathbf{0})=T(0 \cdot \mathbf{0})=0 T(\mathbf{0})=\mathbf{0}$, where in the first and last step we used Lemma 2.1.1.

Example 3.1.2 Let $T: \mathbb{C}^3 \rightarrow \mathbb{C}^2$ be defined by
$$T\left(\begin{array}{l} x_1 \ x_2 \ x_3 \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} x_1 x_2 \ x_1+x_2+x_3 \end{array}\right) .$$
Then
$$T\left(\begin{array}{l} 1 \ 1 \ 1 \end{array}\right)=\left(\begin{array}{l} 1 \ 3 \end{array}\right), T\left(\begin{array}{l} 2 \ 2 \ 2 \end{array}\right)=\left(\begin{array}{l} 4 \ 6 \end{array}\right) \neq 2\left(\begin{array}{l} 1 \ 3 \end{array}\right)=2 T\left(\begin{array}{l} 1 \ 1 \ 1 \end{array}\right)$$
thus $T$ fails to satisfy (ii) above. Thus $T$ is not linear.
Notice that in order to show that a function is not linear, one only needs to provide one example where the above rules (i) or (ii) are not satisfied.
The linear map in Example 3.1.1 can be written in the form
$$T\left(\begin{array}{l} x_1 \ x_2 \end{array}\right)=\left(\begin{array}{ll} 2 & 1 \ 1 & 1 \ 0 & 1 \end{array}\right)\left(\begin{array}{l} x_1 \ x_2 \end{array}\right) .$$
We have the following general result, from which linearity in Example 3.1.1 directly follows.

## 数学代写|高等线性代数代写Advanced Linear Algebra代考|The Cayley–Hamilton theorem

It will take a few sections before we get to the general Jordan canonical form. First we need to develop the following polynomial identity for a matrix.
Let $A \in \mathbb{F}^{n \times n}$. We define the characteristic polynomial $p_A(\lambda)$ of $A$ to be the degree $n$ polynomial
$$p_A(\lambda):=\operatorname{det}\left(\lambda I_n-A\right)$$

Note that $p_A(\lambda)$ has the form
$$p_A(\lambda)=\lambda^n+a_{n-1} \lambda^{n-1}+\cdots+a_1 \lambda+a_0,$$
where $a_{n-1}, \ldots, a_0 \in \mathbb{F}$. When the leading coefficient in a polynomial is 1 , we call the polynomial monic. Thus the characteristic polynomial of $A$ is monic. We have the following result.
Theorem 4.1.1 (Cayley-Hamilton) Let $A \in \mathbb{F}^{n \times n}$ with characteristic polynomial $p_{\mathcal{A}}(\lambda)$ as in $(4.1)$. Then
$$p_A(A)=A^n+a_{n-1} A^{n-1}+\cdots+a_1 A+a_0 I_n=0 .$$
With the convention $A^0=I_n$ and $a_n=1$, we can write (4.2) also as $p_A(A)=\sum_{j=0}^n a_j A^j=0$

# 高等线性代数代考

(i) $T(\mathbf{u}+\mathbf{v})=T(\mathbf{u})+T(\mathbf{v})$，对于所有$c \in \mathbb{F}$和所有$\mathbf{u} \in V$
(ii) $T(c \mathbf{u})=c T$ (u)，则函数$T: V \rightarrow W$称为线性函数。在本例中，我们说$T$是一个线性变换或线性映射

$$T\left(\begin{array}{l} x_1 \ x_2 \ x_3 \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} x_1 x_2 \ x_1+x_2+x_3 \end{array}\right) .$$

$$T\left(\begin{array}{l} 1 \ 1 \ 1 \end{array}\right)=\left(\begin{array}{l} 1 \ 3 \end{array}\right), T\left(\begin{array}{l} 2 \ 2 \ 2 \end{array}\right)=\left(\begin{array}{l} 4 \ 6 \end{array}\right) \neq 2\left(\begin{array}{l} 1 \ 3 \end{array}\right)=2 T\left(\begin{array}{l} 1 \ 1 \ 1 \end{array}\right)$$

$$T\left(\begin{array}{l} x_1 \ x_2 \end{array}\right)=\left(\begin{array}{ll} 2 & 1 \ 1 & 1 \ 0 & 1 \end{array}\right)\left(\begin{array}{l} x_1 \ x_2 \end{array}\right) .$$

$$p_A(\lambda):=\operatorname{det}\left(\lambda I_n-A\right)$$

$$p_A(\lambda)=\lambda^n+a_{n-1} \lambda^{n-1}+\cdots+a_1 \lambda+a_0,$$
，其中$a_{n-1}, \ldots, a_0 \in \mathbb{F}$。当多项式的前导系数为1时，我们称该多项式为一元多项式。因此$A$的特征多项式是一元的。我们得到以下结果。

$$p_A(A)=A^n+a_{n-1} A^{n-1}+\cdots+a_1 A+a_0 I_n=0 .$$

## 有限元方法代写

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## MATLAB代写

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