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• Statistical Inference 统计推断
• Statistical Computing 统计计算
• (Generalized) Linear Models 广义线性模型
• Statistical Machine Learning 统计机器学习
• Longitudinal Data Analysis 纵向数据分析
• Foundations of Data Science 数据科学基础

## 数学代写|解析数论作业代写Analytic Number Theory代考|Euler’s summation formula

Sometimes the asymptotic value of a partial sum can be obtained by comparing it with an integral. A summation formula of Euler gives an exact expression for the error made in such an approximation. In this formula $[t]$ denotes the greatest integer $\leq t$.

Theorem 3.1 Euler’s summation formula. If $f$ has a continuous derivative $f^{\prime}$ on the interval $[y, x]$, where $0<y<x$, then
\begin{aligned} \sum_{y<n \leq x} f(n)=& \int_{y}^{x} f(t) d t+\int_{y}^{x}(t-[t]) f^{\prime}(t) d t \ &+f(x)([x]-x)-f(y)([y]-y) . \end{aligned}
ProOF. Let $m=[y], k=[x]$. For integers $n$ and $n-1$ in $[y, x]$ we have
\begin{aligned} \int_{n-1}^{n}[t] f^{\prime}(t) d t &=\int_{n-1}^{n}(n-1) f^{\prime}(t) d t=(n-1){f(n)-f(n-1)} \ &={n f(n)-(n-1) f(n-1)}-f(n) . \end{aligned}
Summing from $n=m+2$ to $n=k$ we find the first sum telescopes, hence
\begin{aligned} \int_{m+1}^{k}[t] f^{\prime}(t) d t &=k f(k)-(m+1) f(m+1)-\sum_{n=m+2}^{k} f(n) \ &=k f(k)-m f(m+1)-\sum_{y<n \leq x} f(n) . \end{aligned}

## 数学代写|解析数论作业代写Analytic Number Theory代考|The average order of d

In this section we derive Dirichlet’s asymptotic formula for the partial sums of the divisor function $d(n)$.
Theorem 3.3 For all $x \geq 1$ we have
$$\sum_{n \leq x} d(n)=x \log x+(2 C-1) x+O(\sqrt{x}),$$
where $C$ is Euler’s constant.
Proof. Since $d(n)=\sum_{d \mid n} 1$ we have
$$\sum_{n \leq x} d(n)=\sum_{n \leq x} \sum_{d \mid n} 1 .$$
This is a double sum extended over $n$ and $d$. Since $d \mid n$ we can write $n=q d$ and extend the sum over all pairs of positive integers $q, d$ with $q d \leq x$. Thus,
$$\sum_{n \leq x} d(n)=\sum_{\substack{q, d \ q d \leq x}} 1 .$$
This can be interpreted as a sum extended over certain lattice points in the $q d$-plane, as suggested by Figure 3.1. (A lattice point is a point with integer coordinates.) The lattice points with $q d=n$ lie on a hyperbola, so the sum in (9) counts the number of lattice points which lie on the hyperbolas corresponding to $n=1,2, \ldots,[x]$. For each fixed $d \leq x$ we can count first those lattice points on the horizontal line segment $1 \leq q \leq x / d$, and then sum over all $d \leq x$. Thus ( 9 ) becomes
$$\sum_{n \leq x} d(n)=\sum_{d \leq x} \sum_{q \leq x / d} 1 .$$

# 解析数论代写

## 数学代写|解析数论作业代写Analytic Number Theory代考|Euler’s summation formula

$$\sum_{y<n \leq x} f(n)=\int_{y}^{x} f(t) d t+\int_{y}^{x}(t-[t]) f^{\prime}(t) d t \quad+f(x)([x]-x)-f(y)([y]-y) .$$

$$\int_{n-1}^{n}[t] f^{\prime}(t) d t=\int_{n-1}^{n}(n-1) f^{\prime}(t) d t=(n-1) f(n)-f(n-1) \quad=n f(n)-(n-1) f(n-1)-f(n) .$$

$$\int_{m+1}^{k}[t] f^{\prime}(t) d t=k f(k)-(m+1) f(m+1)-\sum_{n=m+2}^{k} f(n) \quad=k f(k)-m f(m+1)-\sum_{y<n \leq x} f(n) .$$

## 数学代写|解析数论作业代写Analytic Number Theory代考|The average order of d

$$\sum_{n \leq x} d(n)=x \log x+(2 C-1) x+O(\sqrt{x}),$$

$$\sum_{n \leq x} d(n)=\sum_{n \leq x} \sum_{d \mid n} 1 .$$

$$\sum_{n \leq x} d(n)=\sum_{q, d q d \leq x} 1 .$$

$$\sum_{n \leq x} d(n)=\sum_{d \leq x} \sum_{q \leq x / d} 1$$

## 有限元方法代写

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## MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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