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## 数学代写|微积分代写Calculus代写|Application of the IVT to root-finding

The IVT can help us know that an equation has a solution, also called a root of the equation. Suppose we wish to solve an equation of the form $f(x)=0$. If $f$ is continuous on $[a, b]$ and one of the two numbers $f(a)$ and $f(b)$ is positive whereas the other is negative, then the number $N=0$ is between $f(a)$ and $f(b)$ and, by the IVT, there is a number $c$ between $a$ and $b$ such that $f(c)=0$. Then, $x=c$ is a solution to the equation $f(x)=0$. This is illustrated in figure 11 .

Example 6 Show that there is a solution to the equation $x^2-1+\sin x=0$ between $x=0$ and $x=1$.

Solution The equation is in the form $f(x)=0$, where $f(x)=x^2-1+$ $\sin x$. Next we calculate $f(0)$ and $f(1)$ :
\begin{aligned} &f(0)=0^2-1+\sin 0=-1 \ &f(1)=1^2-1+\sin 1=\sin 1=0.8415 \end{aligned}
Because one of $f(0)$ and $f(1)$ is positive and the other is negative, there is a solution to the equation between $x=0$ and $x=1$.

Now that we have determined that the interval $(0,1)$ contains a solution to the equation, we can use the same procedure repeatedly to home in on a solution, as illustrated in the next example.

## 数学代写|微积分代写Calculus代写|Proof of continuity of trigonometric functions

To prove that the trig functions are continuous, we need to recall four identities, which are true for hyperreals as well as reals by the transfer principle:
\begin{aligned} \sin (-x) &=-\sin x \ \cos ^2 x &=1-\sin ^2 x \ \sin (a+b) &=\sin a \cos b+\cos a \sin b, \text { and } \ \cos (a+b) &=\cos a \cos b-\sin a \sin b \end{aligned}
Another fact that is useful is that
$$0<\sin x<x \text { when } 0<x<\frac{\pi}{2} \text {, }$$
which is also true for hyperreals by the transfer principle. If this inequality is unfamiliar to you, it can be justified by figure 16.

Let $\omega$ be a positive infinitesimal. Then, by the previous inequality,
$$0<\sin \omega<\omega,$$ and because $\sin \omega$ is between zero and an infinitesimal, it must also be infinitesimal. Multiplying through the inequality by $-1$ and changing the direction of the inequalities yields $0>-\sin \omega>-\omega$, rewritten easily as
$-\omega<-\sin \omega<0$.
From the first of the four identities listed earlier, $\sin (-\omega)=-\sin \omega$. Therefore,
$$-\omega<\sin (-\omega)<0,$$
and $\sin (-\omega)$ is also infinitesimal. Therefore, the sine of an infinitesimal, either positive or negative, is infinitesimal.
Using the second of the four identities, for any infinitesimal $\alpha$,
$$\cos ^2 \alpha=1-\sin ^2 \alpha \approx 1,$$
because $\sin \alpha$ is infinitesimal.
We are now ready to prove the continuity of the sine function.

# 微积分代考

## 数学代写|微积分代写Calculus代写|Application of the IVT to root-finding

IVT 可以帮助我们知道方程有解，也称为方程的根。假设我们希望求解形式为 $f(x)=0$. 如果 $f$ 是连续的 $[a, b]$ 和两个数字之一 $-f(a)$ 和 $f(b)$ 为正而另一个为负，则 数 $N=0$ 在。。之之间 $f(a)$ 和 $f(b)$ 并且，通过 IVT，有一个数字 $c$ 之间 $a$ 和 $b$ 这样 $f(c)=0$. 然后， $x=c$ 是方程的解 $f(x)=0$. 这在图 11 中进行了说明。

$$f(0)=0^2-1+\sin 0=-1 \quad f(1)=1^2-1+\sin 1=\sin 1=0.8415$$

## 数学代写|微积分代写Calculus代写|Proof of continuity of trigonometric functions

$$\sin (-x)=-\sin x \cos ^2 x \quad=1-\sin ^2 x \sin (a+b)=\sin a \cos b+\cos a \sin b, \text { and } \cos (a+b) \quad=\cos a \cos b-\sin a \sin b$$

$$0<\sin x-\sin \omega>-\omega, 很容易改写为 -\omega<-\sin \omega<0. 从前面列出的四个身份中的第一个， \sin (-\omega)=-\sin \omega. 所以，$$
-\omega<\sin (-\omega)<0,
$$和 \sin (-\omega) 也是无穷小的。因此，一个无穷小的正弦，无论是正的还是负的，都是无穷小的。 使用四个恒等式中的第二个，对于任何无穷小 \alpha ，$$
\cos ^2 \alpha=1-\sin ^2 \alpha \approx 1,


## 有限元方法代写

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## MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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