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• Longitudinal Data Analysis 纵向数据分析
• Foundations of Data Science 数据科学基础

When instructions are given to “approximate,” use theorem 3 and throw away lower-level terms.
Example 8 Approximate $497+5 \omega$.
Solution The number is on the real-number level, and by theorem 3 , we can throw away the lower-level term $5 \omega$ :
$$497+5 \omega \approx 497 \text {. }$$
Throwing away lower-level terms works even if the number is on an infinite level.
Example 9 Approximate $3 \Omega+49241$.
Solution The number is on the $\Omega$ level, and by theorem 3, we can throw away the lower-level term 49241 :
$$3 \Omega+49241 \approx 3 \Omega .$$
Notice that in example 9, we threw away a term that was not infinitesimal. As long as the term is on a lower level than the number as a whole, it can be thrown away. The term does not have to be infinitesimal; it just has to be infinitesimal by comparison.

This is not as foreign a concept as you may think. For instance, consider approximating the national debt of the United States. As of the time of this writing, the U.S. national debt is approximately $\$ 18$trillion. It’s not exactly$\$18$ trillion; in fact, that figure is off by hundreds of billions of dollars! But approximated to the nearest trillion, it’s $\$ 18$trillion. The error is very, very large, but the relative error is not that large. What is relatively small depends on context. We can even throw away an infinite amount when approximating, if the number is on an even higher level. Example 10 Approximate$4 \Omega^3+7 \Omega$. Solution The number is on the$\Omega^3$level, so we can throw away the lower-level term$7 \Omega$: $$4 \Omega^3+7 \Omega \approx 4 \Omega^3 .$$ Reading Exercise 7 Approximate$24-5 \Omega$. ## 数学代写|微积分代写Calculus代写|Approximation principle Approximation requires us to know on which level the number is located. If we are wrong about the level of the number, we could make a mistake. For instance, suppose we wish to approximate the quantity $$(\Omega+7)^2-\Omega^2 .$$ If we say the number is on the$\Omega^2$level, throw away the lower-level terms$\Omega$and 7 , and approximate as $$(\Omega+7)^2-\Omega^2 \approx-\Omega^2,$$ we are incorrect. The number is not on the$\Omega^2$level, but rather the$\Omega$level, as a little arithmetic shows: Example 11 Approximate$(\Omega+7)^2-\Omega^2$. Solution Performing some arithmetic first to determine the level of the number, $$(\Omega+7)^2-\Omega^2=\Omega^2+14 \Omega+49-\Omega^2=14 \Omega+49 \approx 14 \Omega .$$ In contrast to examples 8-10, the preceding example contained an operation that could be performed to simplify the expression (squaring$\Omega+7$) before determining the level of the number. This is what to look for. If there are such simplifications possible, then you may need to simplify before undertaking an approximation. Solution We notice that some simplification can be performed, so we perform that arithmetic: $$(7+\omega)-4-\left(3+\omega^2\right)=7+\omega-A-\not z-\omega^2=\omega-\omega^2 .$$ The number is then on the$\omega$level and we may only throw away$\omega^2$, arriving at the answer $$\approx \omega .$$ # 微积分代考 ## 数学代写|微积分代写Calculus代写|Additional examples 当给出“近似”指令时，使用定理 3 并丟弃较低级别的项。 示例 8 近似值$497+5 \omega$. 解数是实数级的，根据定理 3 ，我们可以去掉低级项$5 \omega$: $$497+5 \omega \approx 497 .$$ 即使数字处于无限级别，丟弃较低级别的术语也有效。 示例 9 近似值$3 \Omega+49241$. 解决方法 号码在$\Omega$水平，通过定理 3，我们可以丟弃较低水平的项 49241 : $$3 \Omega+49241 \approx 3 \Omega .$$ 请注意，在示例 9 中，我们丢弃了一个不是无穷小的项。只要这个词在整体上比数字低，就可以扔掉。该术语不必是无穷小的；相比之下，它必须是无穷小的。 这并不像你想象的那么陌生。例如，考虑近似美国的国债。截至撰写本文时，美国国债约为$\$18$ 兆。不完全是 $\$ 18$兆; 事实上，这个数字相差了数千亿美元! 但近 似于最接近的万亿，它是$\$18$ 兆。误差非常非常大，但相对误差并没有那么大。相对较小的取决于上下文。如果数字在更高的水平上，我们甚至可以在近似时丟 弃无限量。

$$4 \Omega^3+7 \Omega \approx 4 \Omega^3 .$$

## 数学代写|微积分代写Calculus代写|Approximation principle

$$(\Omega+7)^2-\Omega^2 .$$

$$(\Omega+7)^2-\Omega^2 \approx-\Omega^2,$$

$$(\Omega+7)^2-\Omega^2=\Omega^2+14 \Omega+49-\Omega^2=14 \Omega+49 \approx 14 \Omega .$$

$$(7+\omega)-4-\left(3+\omega^2\right)=7+\omega-A-\not z-\omega^2=\omega-\omega^2 .$$

## 有限元方法代写

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## MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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