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微积分是数学的一个分支，涉及瞬时变化率的计算（微积分）和无限多的小因素相加以确定一些整体（积分微积分）

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数学代写|微积分代写Calculus代写|Continuity

An open interval is a set of reals of the form $(a, b)={x: a<x<b}$. As in $\S 1.4$, we are allowing $a=-\infty$ or $b=\infty$ or both. A compact interval is a set of reals of the form $[a, b]={x: a \leq x \leq b}$, where $a, b$ are real. The length of $[a, b]$ is $b-a$. Recall $(\S 1.5)$ that a sequence subconverges to $L$ if it has a subsequence converging to $L$.

Theorem 2.1.1. Let $[a, b]$ be a compact interval and let $\left(x_n\right)$ be any sequence in $[a, b]$. Then, $\left(x_n\right)$ subconverges to some $x$ in $[a, b]$.

To derive this result, assume, first, that $a=0$ and $b=1$. Divide the interval $I=[a, b]=[0,1]$ into 10 subintervals (of the same length), and call them $I_0, \ldots, I_9$, ordering them from left to right (Figure 2.1). Pick one of them, say $I_{d_1}$, containing infinitely many terms of $\left(x_n\right)$, i.e., $\left{n: x_n \in I_{d_1}\right}$ is infinite, and pick one of the terms of the sequence in $I_{d_1}$ and call it $x_1^{\prime}$. Then, the length of $I_{d_1}$ is 1/10. Now, divide $I_{d_1}$ into 10 subintervals again ordered left to right and called $I_{d_1 0}, \ldots, I_{d_1 9}$. Pick one of them, say $I_{d_1 d_2}$, containing infinitely many terms of the sequence, and pick one of the terms (beyond $x_1^{\prime}$ ) in the sequence in $I_{d_1 d_2}$ and call it $x_2^{\prime}$. The length of $I_{d_1 d_2}$ is $1 / 100$. Continuing in this manner yields $I \supset I_{d_1} \supset I_{d_1 d_2} \supset I_{d_1 d_2 d_3} \supset \ldots$ and a subsequence $\left(x_n^{\prime}\right)$ where the length of $I_{d_1 d_2 \ldots d_n}$ is $10^{-n}$ and $x_n^{\prime} \in I_{d_1 d_2 \ldots d_n}$ for all $n \geq 1$. But, by construction, the real
$$
x=d_1 d_2 d_3 \ldots
$$
lies in all the intervals $I_{d_1 d_2 \ldots d_n}, n \geq 1$. Hence, $\left|x_n^{\prime}-x\right| \leq 10^{-n} \rightarrow 0$. Since $\left(x_n^{\prime}\right)$ is a subsequence of $\left(x_n\right)$, this derives the result if $[a, b]=[0,1]$. If this is not so, the same argument works. The only difference is that the limiting point now obtained is $a+x(b-a)$.

Thus, this theorem is equivalent to, more or less, the existence of decimal expansions. If $[a, b]$ is replaced by an open interval $(a, b)$, the theorem is false as it stands, since the limiting point $x$ may be one of the endpoints, and, hence, the theorem needs to be modified. A useful modification is the following.

数学代写|微积分代写Calculus代写|Continuous Limits

Let $(a, b)$ be an open interval, and let $a<c<b$. The interval $(a, b)$, punctured at $c$, is the set $(a, b) \backslash{c}={x: a<x<b, x \neq c}$.

Let $f$ be a function defined on an interval $(a, b)$ punctured at $c, a<c<b$. We say $L$ is the limit of $f(x)$ as $x$ approaches $c$, and we write
$$
\lim _{x \rightarrow c} f(x)=L
$$
or $f(x) \rightarrow L$ as $x \rightarrow c$, if, for every sequence $\left(x_n\right) \subset(a, b)$ satisfying $x_n \neq c$ for all $n \geq 1$ and converging to $c, f\left(x_n\right) \rightarrow L$.

For example, let $f(x)=x^2$, and let $(a, b)=\mathbf{R}$. If $x_n \rightarrow c$, then (§1.5), $x_n^2 \rightarrow c^2$. This holds true no matter what sequence $\left(x_n\right)$ is chosen, as long as $x_n \rightarrow c$. Hence, in this case, $\lim _{x \rightarrow c} f(x)=c^2$.

Going back to the general definition, suppose that $f$ is also defined at $c$. Then the value $f(c)$ has no bearing on $\lim {x \rightarrow c} f(x)$ (Figure 2.2). For example, if $f(x)=0$ for $x \neq 0$ and $f(0)$ is defined arbitrarily, then, $\lim {x \rightarrow 0} f(x)=0$. For a more dramatic example of this phenomenom, see Exercise 2.2.1.
Fig. 2.2. The value $f(c)$ has no bearing on the limit at $c$.
Of course, not every function has limits. For example, set $f(x)=1$ if $x \in \mathbf{Q}$ and $f(x)=0$ if $x \in \mathbf{R} \backslash \mathbf{Q}$. Choose any $c$ in $(a, b)=\mathbf{R}$. Since (\$1.4) there is a rational and an irrational between any two reals, for each $n \geq 1$ we can find $r_n \in \mathbf{Q}$ and $i_n \in \mathbf{R} \backslash \mathbf{Q}$ with $c<r_n<c+1 / n$ and $c<i_n<c+1 / n$. Thus, $r_n \rightarrow c$ and $i_n \rightarrow c$, but $f\left(r_n\right)=1$ and $f\left(i_n\right)=0$ for all $n \geq 1$. Hence, $f$ has no limit anywhere on $\mathbf{R}$.

Let $\left(x_n\right)$ be a sequence approaching $b$. If $x_n<b$ for all $n \geq 1$, we write $x_n \rightarrow b-$. Let $f$ be defined on $(a, b)$. We say $L$ is the limit of $f(x)$ as $x$ approaches $b$ from the left, and we write
$$
\lim {x \rightarrow b-} f(x)=L, $$ if $x_n \rightarrow b-$ implies $f\left(x_n\right) \rightarrow L$. In this case, we also write $f(b-)=L$. If $b=\infty$, we write, instead, $\lim {x \rightarrow \infty} f(x)=L, f(\infty)=L$, i.e., we drop the minus.

T.et. $\left(x_n\right)$ he a sequence approaching $a$. If $x_n>a$ for all $n \geq 1$, we write $x_n \rightarrow a+$. Let $f$ be defined on $(a, b)$. We say $L$ is the limit of $f(x)$ as $x$ approaches a from the right, and we write
$$
\lim {x \rightarrow a+} f(x)=L, $$ if $x_n \rightarrow a+$ implies $f\left(x_n\right) \rightarrow L$. In this case, we also write $f(a+)=L$. If $a=-\infty$, we write, instead, $\lim {x \rightarrow-\infty} f(x)=L, f(-\infty)=L$, i.e., we drop the plus.
Of course, $L$ above is either a real or $\pm \infty$.

微积分代考

数学代写|微积分代写calculus代写|Continuity

开放区间是一组形式为$(a, b)={x: a<x<b}$的实数。与$\S 1.4$一样，我们允许$a=-\infty$或$b=\infty$或两者都允许。紧凑区间是一组形式为$[a, b]={x: a \leq x \leq b}$的实数，其中$a, b$为实数。$[a, b]$的长度为$b-a$。回想一下$(\S 1.5)$，如果序列的子序列收敛于$L$，则它的子序列收敛于$L$

定理2.1.1。设$[a, b]$为一个紧凑区间，$\left(x_n\right)$为$[a, b]$中的任意序列。然后，$\left(x_n\right)$子收敛到$[a, b]$中的某个$x$ .

要得到这个结果，首先假设$a=0$和$b=1$。将区间$I=[a, b]=[0,1]$分成10个子区间(长度相同)，并将它们命名为$I_0, \ldots, I_9$，从左到右依次排列(图2.1)。选择其中一个，比如$I_{d_1}$，它包含$\left(x_n\right)$的无穷多个项，即$\left{n: x_n \in I_{d_1}\right}$是无限的，然后在$I_{d_1}$中选择序列中的一个项并将其命名为$x_1^{\prime}$。那么，$I_{d_1}$的长度是1/10。现在，将$I_{d_1}$分成10个子区间，同样从左到右依次命名为$I_{d_1 0}, \ldots, I_{d_1 9}$。选择其中一个，比如$I_{d_1 d_2}$，它包含数列中的无限多个项，然后在$I_{d_1 d_2}$中的数列中选择一个($x_1^{\prime}$以外的)项并将其命名为$x_2^{\prime}$。$I_{d_1 d_2}$的长度为$1 / 100$。继续以这种方式生成$I \supset I_{d_1} \supset I_{d_1 d_2} \supset I_{d_1 d_2 d_3} \supset \ldots$和子序列$\left(x_n^{\prime}\right)$，其中$I_{d_1 d_2 \ldots d_n}$的长度为$10^{-n}$，所有$n \geq 1$的长度为$x_n^{\prime} \in I_{d_1 d_2 \ldots d_n}$。但是，根据构造，真正的
$$
x=d_1 d_2 d_3 \ldots
$$
在于所有的区间$I_{d_1 d_2 \ldots d_n}, n \geq 1$。因此，$\left|x_n^{\prime}-x\right| \leq 10^{-n} \rightarrow 0$。因为$\left(x_n^{\prime}\right)$是$\left(x_n\right)$的子序列，所以如果$[a, b]=[0,1]$，就会得到结果。如果不是这样，同样的论点也成立。唯一的区别是现在得到的极限点是$a+x(b-a)$ .

因此，这个定理或多或少等价于十进制展开的存在性。如果将$[a, b]$替换为开区间$(a, b)$，则定理为假，因为极限点$x$可能是端点之一，因此定理需要修改。下面是一个有用的修改:

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. .

设$(a, b)$为开放区间，设$a<c<b$。在$c$处插入的间隔$(a, b)$是设置的$(a, b) \backslash{c}={x: a<x<b, x \neq c}$ .

让 $f$ 是一个定义在区间上的函数 $(a, b)$ 刺穿于 $c, a<c<b$。我们说 $L$ 是极限 $f(x)$ 作为 $x$ 方法 $c$，我们写
$$
\lim _{x \rightarrow c} f(x)=L
$$
或 $f(x) \rightarrow L$ 作为 $x \rightarrow c$，如果，对于每个序列 $\left(x_n\right) \subset(a, b)$ 令人满意的 $x_n \neq c$ 为所有人 $n \geq 1$ 收敛到 $c, f\left(x_n\right) \rightarrow L$.

例如，let $f(x)=x^2$, let $(a, b)=\mathbf{R}$。如果$x_n \rightarrow c$，那么(§1.5)，$x_n^2 \rightarrow c^2$。无论$\left(x_n\right)$选择什么序列，只要$x_n \rightarrow c$。因此，在本例中为$\lim _{x \rightarrow c} f(x)=c^2$ .

回到一般的定义，假设$f$在$c$上也有定义。那么值$f(c)$与$\lim {x \rightarrow c} f(x)$没有关系(图2.2)。例如，如果$f(x)=0$用于$x \neq 0$, $f(0)$是任意定义的，那么$\lim {x \rightarrow 0} f(x)=0$。关于这个现象的更生动的例子，见练习2.2.1。2.2. $f(c)$的值与$c$的限制没有关系。
当然，不是每个函数都有限制。例如，如果输入“$x \in \mathbf{Q}$”，则输入“$f(x)=1$”，如果输入“$x \in \mathbf{R} \backslash \mathbf{Q}$”，则输入“$f(x)=0$”。在$(a, b)=\mathbf{R}$中选择任意$c$。因为($1.4)有一个有理数和一个无理数之间的任何两个实数，对于每个$n \geq 1$，我们可以找到$r_n \in \mathbf{Q}$和$i_n \in \mathbf{R} \backslash \mathbf{Q}$与$c<r_n<c+1 / n$和$c<i_n<c+1 / n$。因此，$r_n \rightarrow c$和$i_n \rightarrow c$，但$f\left(r_n\right)=1$和$f\left(i_n\right)=0$对所有$n \geq 1$。因此，$f$在$\mathbf{R}$的任何地方都没有限制。

设$\left(x_n\right)$是一个接近$b$的序列。如果$x_n<b$对于所有的$n \geq 1$，我们写$x_n \rightarrow b-$。让$f$在$(a, b)$上定义。当$x$从左边接近$b$时，我们说$L$是$f(x)$的极限，如果$x_n \rightarrow b-$意味着$f\left(x_n\right) \rightarrow L$，我们写
$$
\lim {x \rightarrow b-} f(x)=L, $$。在本例中，我们还写入$f(b-)=L$。如果$b=\infty$，我们将其写成$\lim {x \rightarrow \infty} f(x)=L, f(\infty)=L$，即去掉负号。

T.et;$\left(x_n\right)$有一个接近$a$的序列。如果$x_n>a$对于所有的$n \geq 1$，我们写$x_n \rightarrow a+$。让$f$在$(a, b)$上定义。当$x$从右边接近a时，我们说$L$是$f(x)$的极限，如果$x_n \rightarrow a+$意味着$f\left(x_n\right) \rightarrow L$，我们写
$$
\lim {x \rightarrow a+} f(x)=L, $$。在本例中，我们还写入$f(a+)=L$。如果$a=-\infty$，我们写$\lim {x \rightarrow-\infty} f(x)=L, f(-\infty)=L$，即去掉加号。
当然，上面的$L$不是真实的就是$\pm \infty$。

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。

有限元方法代写

有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

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随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。

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多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

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