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## 数学代写|微积分代写Calculus代写|Continuity

An open interval is a set of reals of the form $(a, b)={x: a<x<b}$. As in $\S 1.4$, we are allowing $a=-\infty$ or $b=\infty$ or both. A compact interval is a set of reals of the form $[a, b]={x: a \leq x \leq b}$, where $a, b$ are real. The length of $[a, b]$ is $b-a$. Recall $(\S 1.5)$ that a sequence subconverges to $L$ if it has a subsequence converging to $L$.

Theorem 2.1.1. Let $[a, b]$ be a compact interval and let $\left(x_n\right)$ be any sequence in $[a, b]$. Then, $\left(x_n\right)$ subconverges to some $x$ in $[a, b]$.

To derive this result, assume, first, that $a=0$ and $b=1$. Divide the interval $I=[a, b]=[0,1]$ into 10 subintervals (of the same length), and call them $I_0, \ldots, I_9$, ordering them from left to right (Figure 2.1). Pick one of them, say $I_{d_1}$, containing infinitely many terms of $\left(x_n\right)$, i.e., $\left{n: x_n \in I_{d_1}\right}$ is infinite, and pick one of the terms of the sequence in $I_{d_1}$ and call it $x_1^{\prime}$. Then, the length of $I_{d_1}$ is 1/10. Now, divide $I_{d_1}$ into 10 subintervals again ordered left to right and called $I_{d_1 0}, \ldots, I_{d_1 9}$. Pick one of them, say $I_{d_1 d_2}$, containing infinitely many terms of the sequence, and pick one of the terms (beyond $x_1^{\prime}$ ) in the sequence in $I_{d_1 d_2}$ and call it $x_2^{\prime}$. The length of $I_{d_1 d_2}$ is $1 / 100$. Continuing in this manner yields $I \supset I_{d_1} \supset I_{d_1 d_2} \supset I_{d_1 d_2 d_3} \supset \ldots$ and a subsequence $\left(x_n^{\prime}\right)$ where the length of $I_{d_1 d_2 \ldots d_n}$ is $10^{-n}$ and $x_n^{\prime} \in I_{d_1 d_2 \ldots d_n}$ for all $n \geq 1$. But, by construction, the real
$$x=d_1 d_2 d_3 \ldots$$
lies in all the intervals $I_{d_1 d_2 \ldots d_n}, n \geq 1$. Hence, $\left|x_n^{\prime}-x\right| \leq 10^{-n} \rightarrow 0$. Since $\left(x_n^{\prime}\right)$ is a subsequence of $\left(x_n\right)$, this derives the result if $[a, b]=[0,1]$. If this is not so, the same argument works. The only difference is that the limiting point now obtained is $a+x(b-a)$.

Thus, this theorem is equivalent to, more or less, the existence of decimal expansions. If $[a, b]$ is replaced by an open interval $(a, b)$, the theorem is false as it stands, since the limiting point $x$ may be one of the endpoints, and, hence, the theorem needs to be modified. A useful modification is the following.

## 数学代写|微积分代写Calculus代写|Continuous Limits

Let $(a, b)$ be an open interval, and let $a<c<b$. The interval $(a, b)$, punctured at $c$, is the set $(a, b) \backslash{c}={x: a<x<b, x \neq c}$.

Let $f$ be a function defined on an interval $(a, b)$ punctured at $c, a<c<b$. We say $L$ is the limit of $f(x)$ as $x$ approaches $c$, and we write
$$\lim _{x \rightarrow c} f(x)=L$$
or $f(x) \rightarrow L$ as $x \rightarrow c$, if, for every sequence $\left(x_n\right) \subset(a, b)$ satisfying $x_n \neq c$ for all $n \geq 1$ and converging to $c, f\left(x_n\right) \rightarrow L$.

For example, let $f(x)=x^2$, and let $(a, b)=\mathbf{R}$. If $x_n \rightarrow c$, then (§1.5), $x_n^2 \rightarrow c^2$. This holds true no matter what sequence $\left(x_n\right)$ is chosen, as long as $x_n \rightarrow c$. Hence, in this case, $\lim _{x \rightarrow c} f(x)=c^2$.

Going back to the general definition, suppose that $f$ is also defined at $c$. Then the value $f(c)$ has no bearing on $\lim {x \rightarrow c} f(x)$ (Figure 2.2). For example, if $f(x)=0$ for $x \neq 0$ and $f(0)$ is defined arbitrarily, then, $\lim {x \rightarrow 0} f(x)=0$. For a more dramatic example of this phenomenom, see Exercise 2.2.1.
Fig. 2.2. The value $f(c)$ has no bearing on the limit at $c$.
Of course, not every function has limits. For example, set $f(x)=1$ if $x \in \mathbf{Q}$ and $f(x)=0$ if $x \in \mathbf{R} \backslash \mathbf{Q}$. Choose any $c$ in $(a, b)=\mathbf{R}$. Since (\$1.4) there is a rational and an irrational between any two reals, for each$n \geq 1$we can find$r_n \in \mathbf{Q}$and$i_n \in \mathbf{R} \backslash \mathbf{Q}$with$c<r_n<c+1 / n$and$c<i_n<c+1 / n$. Thus,$r_n \rightarrow c$and$i_n \rightarrow c$, but$f\left(r_n\right)=1$and$f\left(i_n\right)=0$for all$n \geq 1$. Hence,$f$has no limit anywhere on$\mathbf{R}$. Let$\left(x_n\right)$be a sequence approaching$b$. If$x_n<b$for all$n \geq 1$, we write$x_n \rightarrow b-$. Let$f$be defined on$(a, b)$. We say$L$is the limit of$f(x)$as$x$approaches$b$from the left, and we write $$\lim {x \rightarrow b-} f(x)=L,$$ if$x_n \rightarrow b-$implies$f\left(x_n\right) \rightarrow L$. In this case, we also write$f(b-)=L$. If$b=\infty$, we write, instead,$\lim {x \rightarrow \infty} f(x)=L, f(\infty)=L$, i.e., we drop the minus. T.et.$\left(x_n\right)$he a sequence approaching$a$. If$x_n>a$for all$n \geq 1$, we write$x_n \rightarrow a+$. Let$f$be defined on$(a, b)$. We say$L$is the limit of$f(x)$as$x$approaches a from the right, and we write $$\lim {x \rightarrow a+} f(x)=L,$$ if$x_n \rightarrow a+$implies$f\left(x_n\right) \rightarrow L$. In this case, we also write$f(a+)=L$. If$a=-\infty$, we write, instead,$\lim {x \rightarrow-\infty} f(x)=L, f(-\infty)=L$, i.e., we drop the plus. Of course,$L$above is either a real or$\pm \infty$. # 微积分代考 ## 数学代写|微积分代写calculus代写|Continuity . 开放区间是一组形式为$(a, b)={x: a<x<b}$的实数。与$\S 1.4$一样，我们允许$a=-\infty$或$b=\infty$或两者都允许。紧凑区间是一组形式为$[a, b]={x: a \leq x \leq b}$的实数，其中$a, b$为实数。$[a, b]$的长度为$b-a$。回想一下$(\S 1.5)$，如果序列的子序列收敛于$L$，则它的子序列收敛于$L$定理2.1.1。设$[a, b]$为一个紧凑区间，$\left(x_n\right)$为$[a, b]$中的任意序列。然后，$\left(x_n\right)$子收敛到$[a, b]$中的某个$x$. 要得到这个结果，首先假设$a=0$和$b=1$。将区间$I=[a, b]=[0,1]$分成10个子区间(长度相同)，并将它们命名为$I_0, \ldots, I_9$，从左到右依次排列(图2.1)。选择其中一个，比如$I_{d_1}$，它包含$\left(x_n\right)$的无穷多个项，即$\left{n: x_n \in I_{d_1}\right}$是无限的，然后在$I_{d_1}$中选择序列中的一个项并将其命名为$x_1^{\prime}$。那么，$I_{d_1}$的长度是1/10。现在，将$I_{d_1}$分成10个子区间，同样从左到右依次命名为$I_{d_1 0}, \ldots, I_{d_1 9}$。选择其中一个，比如$I_{d_1 d_2}$，它包含数列中的无限多个项，然后在$I_{d_1 d_2}$中的数列中选择一个($x_1^{\prime}$以外的)项并将其命名为$x_2^{\prime}$。$I_{d_1 d_2}$的长度为$1 / 100$。继续以这种方式生成$I \supset I_{d_1} \supset I_{d_1 d_2} \supset I_{d_1 d_2 d_3} \supset \ldots$和子序列$\left(x_n^{\prime}\right)$，其中$I_{d_1 d_2 \ldots d_n}$的长度为$10^{-n}$，所有$n \geq 1$的长度为$x_n^{\prime} \in I_{d_1 d_2 \ldots d_n}$。但是，根据构造，真正的 $$x=d_1 d_2 d_3 \ldots$$ 在于所有的区间$I_{d_1 d_2 \ldots d_n}, n \geq 1$。因此，$\left|x_n^{\prime}-x\right| \leq 10^{-n} \rightarrow 0$。因为$\left(x_n^{\prime}\right)$是$\left(x_n\right)$的子序列，所以如果$[a, b]=[0,1]$，就会得到结果。如果不是这样，同样的论点也成立。唯一的区别是现在得到的极限点是$a+x(b-a)$. 因此，这个定理或多或少等价于十进制展开的存在性。如果将$[a, b]$替换为开区间$(a, b)$，则定理为假，因为极限点$x$可能是端点之一，因此定理需要修改。下面是一个有用的修改: ## 数学代写|微积分代写calculus代写|Continuous Limits . . 设$(a, b)$为开放区间，设$a<c<b$。在$c$处插入的间隔$(a, b)$是设置的$(a, b) \backslash{c}={x: a<x<b, x \neq c}$. 让$f$是一个定义在区间上的函数$(a, b)$刺穿于$c, a<c<b$。我们说$L$是极限$f(x)$作为$x$方法$c$，我们写 $$\lim _{x \rightarrow c} f(x)=L$$ 或$f(x) \rightarrow L$作为$x \rightarrow c$，如果，对于每个序列$\left(x_n\right) \subset(a, b)$令人满意的$x_n \neq c$为所有人$n \geq 1$收敛到$c, f\left(x_n\right) \rightarrow L$. 例如，let$f(x)=x^2$, let$(a, b)=\mathbf{R}$。如果$x_n \rightarrow c$，那么(§1.5)，$x_n^2 \rightarrow c^2$。无论$\left(x_n\right)$选择什么序列，只要$x_n \rightarrow c$。因此，在本例中为$\lim _{x \rightarrow c} f(x)=c^2$. 回到一般的定义，假设$f$在$c$上也有定义。那么值$f(c)$与$\lim {x \rightarrow c} f(x)$没有关系(图2.2)。例如，如果$f(x)=0$用于$x \neq 0$,$f(0)$是任意定义的，那么$\lim {x \rightarrow 0} f(x)=0$。关于这个现象的更生动的例子，见练习2.2.1。2.2.$f(c)$的值与$c$的限制没有关系。 当然，不是每个函数都有限制。例如，如果输入“$x \in \mathbf{Q}$”，则输入“$f(x)=1$”，如果输入“$x \in \mathbf{R} \backslash \mathbf{Q}$”，则输入“$f(x)=0$”。在$(a, b)=\mathbf{R}$中选择任意$c$。因为($1.4)有一个有理数和一个无理数之间的任何两个实数，对于每个$n \geq 1$，我们可以找到$r_n \in \mathbf{Q}$和$i_n \in \mathbf{R} \backslash \mathbf{Q}$与$c<r_n<c+1 / n$和$c<i_n<c+1 / n$。因此，$r_n \rightarrow c$和$i_n \rightarrow c$，但$f\left(r_n\right)=1$和$f\left(i_n\right)=0$对所有$n \geq 1$。因此，$f$在$\mathbf{R}$的任何地方都没有限制。

$$\lim {x \rightarrow b-} f(x)=L,$$。在本例中，我们还写入$f(b-)=L$。如果$b=\infty$，我们将其写成$\lim {x \rightarrow \infty} f(x)=L, f(\infty)=L$，即去掉负号。

T.et;$\left(x_n\right)$有一个接近$a$的序列。如果$x_n>a$对于所有的$n \geq 1$，我们写$x_n \rightarrow a+$。让$f$在$(a, b)$上定义。当$x$从右边接近a时，我们说$L$是$f(x)$的极限，如果$x_n \rightarrow a+$意味着$f\left(x_n\right) \rightarrow L$，我们写
$$\lim {x \rightarrow a+} f(x)=L,$$。在本例中，我们还写入$f(a+)=L$。如果$a=-\infty$，我们写$\lim {x \rightarrow-\infty} f(x)=L, f(-\infty)=L$，即去掉加号。

## 有限元方法代写

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## MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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