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变异微积分(或称变异微积分)是数学分析的一个领域,它利用变异,也就是函数和函数的微小变化,来寻找函数的最大值和最小值:从一组函数到实数的映射。

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  • Foundations of Data Science 数据科学基础
数学代写|变分法代写Calculus of Variations代考|МАТH5451

数学代写|变分法代写Calculus of Variations代考|The Stokes Theorem

Substituting Eq. (1.3.89) into Eq. (1.3.85), the Stokes formula expressed in the vector form can be obtained
$$
\oint_L \boldsymbol{a} \cdot \mathrm{d} \boldsymbol{L}=\iint_S \operatorname{rot} \boldsymbol{a} \cdot \mathrm{d} \boldsymbol{S}=\iint_S \operatorname{rot} \boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{n} \mathrm{d} S=\iint_S \nabla \times \boldsymbol{a} \mathrm{d} \boldsymbol{S}=\iint_S \boldsymbol{n} \cdot \nabla \times \boldsymbol{a} \mathrm{d} S
$$
The Stokes formula is also called the Stokes theorem. The Stokes theorem revealed the transformation relations of the vector field line integral and surface integral. Thus it can be seen that the Green formula introduced before is just a special case of the Stokes theorem on a planar domain. Of course the Stokes theorem can also be directly proved, the proof method is similar to the one of the Gauss theorem. A proof is given below.

Proof Dividing the surface $S$ into $n$ elements of surface $\Delta S_1, \Delta S_2, \ldots, \Delta S_n$, the elements of perimeter which surround the elements of surface namely the closed curves are $\Delta L_1, \Delta L_2, \ldots, \Delta L_n$. Taking the $k$ th surface $\Delta S_k$ and the perimeter $\Delta L_k$, from the definition of rotation, there exists the following relationship $$
\operatorname{rot} \boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{n}=\frac{\oint_{\Delta L_k} \boldsymbol{a} \cdot \mathrm{d} \boldsymbol{L}}{\Delta S_k}+\varepsilon_k
$$
namely
$$
\Delta S_k \mathrm{rot} \boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{n}=\oint_{\Delta L_k} \boldsymbol{a} \cdot \mathrm{d} \boldsymbol{L}+\varepsilon_k \Delta S_k
$$
where, the rotation is the value of the element of surface at a point $M$, the left-handed side expresses the flux on the element of surface $\Delta S_k ; \varepsilon_k$ is a small enough amount, and when $\Delta S_k \rightarrow 0, \varepsilon_k \rightarrow 0$. Summing the above expression with respect to $k$ from 1 to $n$, we obtain
$$
\sum_{k=1}^n \Delta S_k \mathrm{rot} \boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{n}=\sum_{k=1}^n \oint_{\Delta L_k} \boldsymbol{a} \cdot \mathrm{d} \boldsymbol{L}+\sum_{k=1}^n \varepsilon_k \Delta S_k
$$

数学代写|变分法代写Calculus of Variations代考|Fundamental Lemmas of the Calculus of Variations

For convenience of the later chapters to study variational problem, a few fundamental lemmas of the calculus of variations are introduced in the following.

Lemma 1.5.1 Let a function $f(x)$ be continuous in the interval $[a, b]$, an arbitrary function $\eta(x)$ has $n$th order continuous derivative in the interval $[a, b]$, and for a positive number $m(m=0,1, \ldots, n)$, when it satisfies the following conditions
$$
\eta^{(k)}(a)=\eta^{(k)}(b)=0 \quad(k=0,1, \ldots, m)
$$
if the integral
$$
\int_a^b f(x) \eta(x) \mathrm{d} x=0
$$
can always hold, there must be in the interval $[a, b]$
$$
f(x) \equiv 0
$$
Proof With the reduction to absurdity. If $f(x)$ does not identically vanish in the interval $[a, b]$, then it can be seen from the continuity of $f(x)$ that there is at least a point $\xi$ in the interval $(a, b)$, as shown in Fig. 1.4, such that $f(x) \neq 0$, might as well suppose $f(\xi)>0$, then there must exist a closed interval $\left[a_0, b_0\right]$ containing $\xi$, when $a0$. At this point, choosing the function $\eta(x)$ as follows
$$
\eta(x)= \begin{cases}{\left[\left(x-a_0\right)\left(b_0-x\right)\right]^{2 n+2}} & x \in\left[a_0, b_0\right] \ 0 & x \notin\left[a_0, b_0\right]\end{cases}
$$
Clearly Eq. (1.5.3) has the $n$th order continuous derivable function in the interval $[a, b]$, it satisfies the conditions $\eta^{(k)}(a)=\eta^{(k)}(b)=0(k=0,1, \ldots, m)$, hence, according to Eqs. (1.5.2) and (1.5.3), there is
$$
\int_a^b f(x) \eta(x) \mathrm{d} x=\int_{a_0}^{b_0} f(x)\left(x-a_0\right)^{2 n+2}\left(b_0-x\right)^{2 n+2} \mathrm{~d} x>0
$$

数学代写|变分法代写Calculus of Variations代考|МАТH5451

变分法代考

数学代写|变分法代写Calculus of Variations代考|The Stokes Theorem

代入方程式。(1.3.89) 进入等式。(1.3.85),可以得到以向量形式表示的斯托克斯公式
$$
\oint_L \boldsymbol{a} \cdot \mathrm{d} \boldsymbol{L}=\iint_S \operatorname{rot} \boldsymbol{a} \cdot \mathrm{d} \boldsymbol{S}=\iint_S \operatorname{rot} \boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{n} \mathrm{d} S=\iint_S \nabla \times \boldsymbol{a} \mathrm{d} \boldsymbol{S}=\iint_S \boldsymbol{n} \cdot \nabla \times \boldsymbol{a} \mathrm{d} S
$$
斯托克斯公式也称为斯托克斯定理。斯托克斯定理揭示了矢量场线积分和面积分的变换关系。由此可见,前面介绍的格林公式只是平面域上斯托克斯定理的一个特 例。当然斯托克斯定理也可以直接证明,证明方法类似于高斯定理之一。下面给出一个证明。
证明划分表面 $S$ 进入 $n$ 面元 $\Delta S_1, \Delta S_2, \ldots, \Delta S_n$ ,围绕曲面元素的周长元素,即闭合曲线是 $\Delta L_1, \Delta L_2, \ldots, \Delta L_n$. 采取 $k$ 表面 $\Delta S_k$ 和周长 $\Delta L_k$ ,从旋转的定义来 看,存在如下关系
$$
\operatorname{rot} \boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{n}=\frac{\oint_{\Delta L_k} \boldsymbol{a} \cdot \mathrm{d} \boldsymbol{L}}{\Delta S_k}+\varepsilon_k
$$

$$
\Delta S_k \operatorname{rot} \boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{n}=\oint_{\Delta L_k} \boldsymbol{a} \cdot \mathrm{d} \boldsymbol{L}+\varepsilon_k \Delta S_k
$$
其中,旋转是表面元素在一点的值 $M$ ,左手边表示面元上的通量 $\Delta S_k ; \varepsilon_k$ 是一个足够小的数量,当 $\Delta S_k \rightarrow 0, \varepsilon_k \rightarrow 0$. 对上述表达式求和 $k$ 从 1 到 $n$ ,我们获得
$$
\sum_{k=1}^n \Delta S_k \mathrm{rot} \boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{n}=\sum_{k=1}^n \oint_{\Delta L_k} \boldsymbol{a} \cdot \mathrm{d} \boldsymbol{L}+\sum_{k=1}^n \varepsilon_k \Delta S_k
$$

数学代写|变分法代写Calculus of Variations代考|Fundamental Lemmas of the Calculus of Variations

为方便后面章节研究变分问题,下面介绍变分演算的几个基本引理。
引理 $1.5 .1$ 让一个函数 $f(x)$ 在区间内连续 $[a, b]$, 任意函数 $\eta(x)$ 有 $n$ 区间内的三阶连续导数 $[a, b]$, 对于一个正数 $m(m=0,1, \ldots, n)$ ,当满足以下条件时
$$
\eta^{(k)}(a)=\eta^{(k)}(b)=0 \quad(k=0,1, \ldots, m)
$$
如果积分
$$
\int_a^b f(x) \eta(x) \mathrm{d} x=0
$$
可以一直持有,一定有在区间 $[a, b]$
$$
f(x) \equiv 0
$$
证明与简化为荒谬。如果 $f(x)$ 在区间内不完全消失 $[a, b]$ ,那么从连续性可以看出 $f(x)$ 至少有一点 $\xi$ 在区间 $(a, b)$ ,如图 $1.4$ 所示,这样 $f(x) \neq 0$ ,不妨假设 $f(\xi)>0$ , 那么一定存在一个闭区间 $\left[a_0, b_0\right]$ 包含 $\xi$ ,什么时候 $a 0$. 此时,选择函数 $\eta(x)$ 如下
$$
\eta(x)=\left{\left[\left(x-a_0\right)\left(b_0-x\right)\right]^{2 n+2} \quad x \in\left[a_0, b_0\right] 0 \quad x \notin\left[a_0, b_0\right]\right.
$$
显然方程。(1.5.3) 有 $n$ 区间内的三阶连续可导函数 $[a, b]$, 满足条件 $\eta^{(k)}(a)=\eta^{(k)}(b)=0(k=0,1, \ldots, m)$ ,因此,根据等式。(1.5.2) 和 (1.5.3),有
$$
\int_a^b f(x) \eta(x) \mathrm{d} x=\int_{a_0}^{b_0} f(x)\left(x-a_0\right)^{2 n+2}\left(b_0-x\right)^{2 n+2} \mathrm{~d} x>0
$$

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题,以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法,其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型;这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型(GLM)归属统计学领域,是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型(GLM)通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归,以及方差分析和方差分析(仅含固定效应)。

有限元方法代写

有限元方法(FEM)是一种流行的方法,用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法,用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程(即一些边界值问题)。为了解决一个问题,有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分,称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的,它是通过构建对象的网格来实现的:用于求解的数值域,它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统,以模拟整个问题。然后,有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写


随机微积分是数学的一个分支,对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程,是依赖于参数的一组随机变量的全体,参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现,其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值(如1秒,5分钟,12小时,7天,1年),因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中,往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录,以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进(Multiple Regression Analysis Asymptotics)属于计量经济学领域,主要是一种数学上的统计分析方法,可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系,在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中,其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括:数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发,包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统,其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题,尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题,而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问,这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展,得到了许多用户的投入。在大学环境中,它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域,MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要,工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数(M 文件)的综合集合,可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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