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计算机代写|编码理论代写Coding theory代考|MTH4107

计算机代写|编码理论代写Coding theory代考|The Sphere Packing Bound

The Sphere Packing Bound, also called the Hamming Bound, is based on packing $\mathbb{F}_q^n$ with non-overlapping spheres.

Definition 1.9.3 The sphere of radius $r$ centered at $\mathbf{u} \in \mathbb{F}q^n$ is the set $S{q, n, r}(\mathbf{u})=$ $\left{\mathbf{v} \in \mathbb{F}q^n \mid \mathrm{d}{\mathbf{H}}(\mathbf{u}, \mathbf{v}) \leq r\right}$ of all vectors in $\mathbb{F}_q^n$ whose distance from $\mathbf{u}$ is at most $r$.
We need the size of a sphere, which requires use of binomial coefficients.
Definition 1.9.4 For $a, b$ integers with $0 \leq b \leq a,\left(\begin{array}{l}a \ b\end{array}\right)$ is the number of $b$-element subsets in an $a$-element set. $\left(\begin{array}{l}a \ b\end{array}\right)=\frac{a !}{b !(a-b) !}$ and is called a binomial coefficient.

The next result is the basis of the Sphere Packing Bound; part (a) is a direct count and part (b) follows from the triangle inequality of Theorem 1.6.2.
‘Theorem 1.9.5 The following hold.
(a) For $\mathbf{u} \in \mathbb{F}q^n,\left|S{q, n, r}(\mathbf{u})\right|=\sum_{i=0}^r\left(\begin{array}{c}n \ i\end{array}\right)(q-1)^i$.
(b) If $\mathcal{C}$ is an $(n, M, d)_q$ code and $t=\left\lfloor\frac{d-1}{2}\right\rfloor$, then spheres of radius $t$ centered at distinct codewords are disjoint.

Theorem 1.9.6 (Sphere Packing (or Hamming) Bound) Let $d \geq 1$. If $t=\left\lfloor\frac{d-1}{2}\right\rfloor$, then
$$
B_q(n, d) \leq A_q(n, d) \leq \frac{q^n}{\sum_{i=0}^t\left(\begin{array}{c}
n \
i
\end{array}\right)(q-1)^i} .
$$
Proof: Let $\mathcal{C}$ be an $(n, M, d)q$ code. By Theorem 1.9.5, the spheres of radius $t$ centered at distinct codewords are disjoint, and each such sphere has $\alpha=\sum{i=0}^t\left(\begin{array}{c}n \ i\end{array}\right)(q-1)^i$ total vectors. Thus $M \alpha$ cannot exceeed the number $q^n$ of vectors in $\mathbb{F}_q^n$. The résult is now clearr.

Remark 1.9.7 The Sphere Packing Bound is an upper bound on the size of a code given its length and minimum distance. Additionally the Sphere Packing Bound produces an upper bound on the minimum distance $d$ of an $(n, M)q$ code in the following sense. Given $n, M$, and $q$, compute the smallest positive integer $s$ with $M>\frac{q^n}{\sum{i-0}^s\left(\begin{array}{c}n \ i\end{array}\right)(q-1)^i}$; for an $(n, M, d)_q$ code to exist, $d<2 s-1$.

计算机代写|编码理论代写Coding theory代考|The Singleton Bound

The Singleton Bound was formulated in [1717]. As with the Sphere Packing Bound, the Singleton Bound is an upper bound on the size of a code.

Theorem 1.9.10 (Singleton Bound) For $d \leq n, A_q(n, d) \leq q^{n-d+1}$. Furthermore, if an $[n, k, d]_q$ linear code exists, then $k \leq n-d+1$; i.e., $k_q(n, d) \leq n-d+1$.

Remark 1.9.11 In addition to providing an upper bound on code size, the Singleton Bound yields the upper bound $d \leq n-\log q(M)+1$ on the minimum distance of an $(n, M, d)_q$ code. Definition 1.9.12 A code for which equality holds in the Singleton Bound is called maximum distance separable (MDS). No code of length $n$ and minimum distance $d$ has more codewords than an MDS code with parameters $n$ and $d$; equivalently, no code of length $n$ with $M$ codewords has a larger minimum distance than an MDS code with parameters $n$ and $M$. MDS codes are discussed in Chapters $3,6,8,14$, and 33. The following theorem is proved using Theorem 1.6.11. Theorem 1.9.13 $\mathcal{C}$ in an $[n, k, n \quad k \mid 1]_q M D S$ eode if and only if $\mathcal{C}^{\perp}$ in an $\left[\begin{array}{lll}n, n & k, k \mid 1]_q\end{array}\right.$ MDS code. Example 1.9.14 Let $\mathcal{H}{2,3}$ be the $[4,2]3$ ternary linear code with generator matrix $$ G{2,3}=\left[\begin{array}{cc|cc}
1 & 0 & 1 & 1 \
0 & 1 & 1 & -1
\end{array}\right] .
$$
Examining inner products of the rows of $G_{2,3}$, we see that $\mathcal{H}{2,3}$ is self-orthogonal of dimension half its length; so it is self-dual. Using Theorem $1.6 .2(\mathrm{~h}), A_0\left(\mathcal{H}{2,3}\right)=1, A_3\left(\mathcal{H}{2,3}\right)=8$, and $A_i\left(\mathcal{H}{2,3}\right)=0$ otherwise. In particular $\mathcal{H}_{2,3}$ is a $[4,2,3]_3$ code and hence is MDS.

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编码理论代考

计算机代写|编码理论代写Coding theory代考|The Sphere Packing Bound

Sphere Packing Bound,也称为 Hamming Bound,是基于 Packing $\mathbb{F}q^n$ 具有不重㕷的球体。 定义 1.9.3 半径球体 $r$ 以 $\mathbf{u} \in \mathbb{F} q^n$ 是集合 $S q, n, r(\mathbf{u})=\backslash 1 \mathrm{eft}$ 的分隔符缺失或无法识别 中的所有向量 $\mathbb{F}_q^n$ 准的距离 $\mathbf{u}{\text {最多是 } r .}$
我们需要球体的大小,这需要使用二项式系数。
定义 $1.9 .4$ 对于 $a, b$ 整数与 $0 \leq b \leq a,(a b)$ 是数量 $b$-元素子集 $a$-元素集。 $(a b)=\frac{a !}{b !(a-b)}$ 称为二项式系数。
下一个结果是 Sphere Packing Bound 的基础;(a) 部分是直接计数,(b) 部分来自定理 $1.6 .2$ 的三角不等式。
定理 $1.9 .5$ 以下成立。
(a) 为 $\mathbf{u} \in \mathbb{F} q^n,|S q, n, r(\mathbf{u})|=\sum_{i=0}^r(n i)(q-1)^i$.
(b) 如果 $\mathcal{C}$ 是一个 $(n, M, d)q$ 代码和 $t=\left\lfloor\frac{d-1}{2}\right\rfloor$, 然后是半径球 定理 $1.9 .6$ (球形包装 (或汉明) 约束) 让 $d \geq 1$. 如果 $t=\left\lfloor\frac{d-1}{2}\right\rfloor$ ,然后 $$ B_q(n, d) \leq A_q(n, d) \leq \frac{q^n}{\sum{i=0}^t(n i)(q-1)^i} .
$$
证明: 让 $\mathcal{C}$ 豆 $(n, M, d) q$ 代码。根据定理 1.9.5,半径球 $t$ 以不同的码字为中心是不相交的,每个这样的球体都有 $\alpha=\sum i=0^t(n i)(q-1)^i$ 总向量。因此 $M \alpha$ 不能 超过数量 $q^n$ 中的向量 $\mathbb{F}_q^n$. 结果现在更清楚了。
备注 1.9.7 Sphere Packing Bound 是给定代码长度和最小距离的代码大小的上限。此外,Sphere Packing Bound 产生最小距离的上限 $d$ 一个 $(n, M) q$ 以下意义上的 代码。给定 $n, M$ ,和 $q$ ,计算最小的正整数 $s$ 和 $M>\frac{q^n}{\sum^{i-0^2(n i)(q-1)^2}}$; 为 $(n, M, d)_q$ 存在的代码, $d<2 s-1$.

计算机代写|编码理论代写Coding theory代考|The Singleton Bound

Singleton Bound 是在 [1717] 中制定的。与 Sphere Packing Bound 一样,Singleton Bound 是代码大小的上限。
定理 1.9.10 (单例界) 对于 $d \leq n, A_q(n, d) \leq q^{n-d+1}$. 此外,如果一个 $[n, k, d]q$ 存在线性码,则 $k \leq n-d+1$; IE。 $k_q(n, d) \leq n-d+1$. 备注 $1.9 .11$ 除了提供代码大小的上限之外,Singleton Bound 还会产生上限 $d \leq n-\log q(M)+1$ 在最小距离上 $(n, M, d)_q$ 代码。定义 $1.9 .12$ 在 Singleton Bound 中相等的代码称为最大可分离距离 (MDS)。没有长度代码 $n$ 和最小距离 $d$ 比带参数的 MDS 代码有更多的代码字 $n$ 和 $d$; 等效地,没有长度代码 $n$ 和 $M$ 码字的最小距离 一个 $[n, n \quad k, k \mid 1]_q \mathrm{MDS}$ 代码。示例 $1.9 .14$ 让 $\mathcal{H} 2,3$ 成为 $[4,2] 3$ 带生成矩阵的三元线性码 $$ G 2,3=\left[\begin{array}{ll|llllll} 1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 1 & 1 & -1 \end{array}\right] . $$ 检查行的内积 $G{2,3}$, 我们看到 $\mathcal{H} 2,3$ 是其长度一半的自正交; 所以它是自对偶的。使用定理 $1.6 .2(\mathrm{~h}), A_0(\mathcal{H} 2,3)=1, A_3(\mathcal{H} 2,3)=8$ ,和 $A_i(\mathcal{H} 2,3)=0$ 否则。 尤其是 $\mathcal{H}_{2,3}$ 是一个 $[4,2,3]_3$ 代码,因此是 MDS。

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题,以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法,其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型;这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型(GLM)归属统计学领域,是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型(GLM)通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归,以及方差分析和方差分析(仅含固定效应)。

有限元方法代写

有限元方法(FEM)是一种流行的方法,用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法,用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程(即一些边界值问题)。为了解决一个问题,有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分,称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的,它是通过构建对象的网格来实现的:用于求解的数值域,它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统,以模拟整个问题。然后,有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机过程,是依赖于参数的一组随机变量的全体,参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现,其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值(如1秒,5分钟,12小时,7天,1年),因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中,往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录,以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进(Multiple Regression Analysis Asymptotics)属于计量经济学领域,主要是一种数学上的统计分析方法,可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系,在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

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