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组合优化是处于组合学和理论计算机科学前沿的一个新兴领域，旨在使用组合技术解决离散优化问题。离散优化问题旨在从一个有限的可能性集合中确定可能的最佳解决方案。

组合优化是数学优化的一个子领域，包括从一个有限的对象集合中找到一个最佳对象，其中可行的解决方案的集合是离散的或可以减少到一个离散集合。典型的组合优化问题是旅行推销员问题（”TSP”）、最小生成树问题（”MST”）和结囊问题。在许多这样的问题中，如前面提到的问题，穷举搜索是不可行的，因此必须采用能迅速排除大部分搜索空间的专门算法或近似算法来代替。

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• Statistical Computing 统计计算
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• (Generalized) Linear Models 广义线性模型
• Statistical Machine Learning 统计机器学习
• Longitudinal Data Analysis 纵向数据分析
• Foundations of Data Science 数据科学基础

数学代写|组合优化代写Combinatorial optimization代考|Implementation of the Simplex Algorithm

The previous description of the SIMPLEX ALGORITHM is simple but not suitable for an efficient implementation. As we will see, it is not necessary to solve a linear equation system in each iteration. To motivate the main idea, we start with a proposition (which is actually not needed later): for LPs of the form $\max {c x: A x=b, x \geq 0}$, vertices can be represented not only by subsets of rows but also by subsets of columns.

For a matrix $A$ and a set $J$ of column indices we denote by $A^J$ the submatrix consisting of the columns in $J$ only. Consequently, $A_I^J$ denotes the submatrix of $A$ with rows in $I$ and columns in $J$. Sometimes the order of the rows and columns is important: if $J=\left(j_1, \ldots, j_k\right)$ is a vector of row (column) indices, we denote by $A_J\left(A^J\right)$ the matrix whose $i$-th row (column) is the $j_i$-th row (column) of $A$ $(i=1, \ldots, k)$.

Proposition 3.15. Let $P:={x: A x=b, x \geq 0}$, where $A$ is a matrix and $b$ is a vector. Then $x$ is a vertex of $P$ if and only if $x \in P$ and the columns of $A$ corresponding to positive entries of $x$ are linearly independent.

Proof: Let $A$ be an $m \times n$-matrix. Let $X:=\left(\begin{array}{cc}-I & 0 \ A & I\end{array}\right)$ and $b^{\prime}:=\left(\begin{array}{l}0 \ b\end{array}\right)$. Let $N:=$ ${1, \ldots, n}$ and $M:={n+1, \ldots, n+m}$. For an index set $J \subseteq N \cup M$ with $|J|=n$ let $\bar{J}:=(N \cup M) \backslash J$. Then $X_J^N$ is nonsingular iff $X_{M \cap J}^{N \cap J}$ is nonsingular iff $X_M^J$ is nonsingular.

If $x$ is a vertex of $P$, then – by Proposition $3.9$ – there exists a set $J \subseteq N \cup M$ such that $|J|=n, X_J^N$ is nonsingular, and $X_J^N x=b_J^{\prime}$. Then the components of $x$ corresponding to $N \cap J$ are zero. Moreover, $X_M^J$ is nonsingular, and hence the columns of $A^{N \cap \bar{J}}$ are linearly independent.

Conversely, let $x \in P$, and let the set of columns of $A$ corresponding to positive entries of $x$ be linearly independent. By adding suitable unit column vectors to these columns we obtain a nonsingular submatrix $X_M^B$ with $x_i=0$ for $i \in N \backslash B$. Then $X_{\bar{B}}^N$ is nonsingular and $X_{\bar{B}}^N x=b_{\bar{B}}^{\prime}$. Hence, by Proposition $3.9, x$ is a vertex of $P$.

数学代写|组合优化代写Combinatorial optimization代考|Convex Hulls and Polytopes

In this section we collect some more facts on polytopes. In particular, we show that polytopes are precisely those sets that are the convex hull of a finite number of points. We start by recalling some basic definitions:

Definition 3.30. Given vectors $x_1, \ldots, x_k \in \mathbb{R}^n$ and $\lambda_1, \ldots, \lambda_k \geq 0$ with $\sum_{i=1}^k \lambda_i=1$, we call $x=\sum_{i=1}^k \lambda_i x_i a$ convex combination of $x_1, \ldots, x_k$. A set $X \subseteq \mathbb{R}^n$ is convex if $\lambda x+(1-\lambda) y \in X$ for all $x, y \in X$ and $\lambda \in[0,1]$. The convex hull $\operatorname{conv}(X)$ of a set $X$ is defined as the set of all convex combinations of points in $X$. An extreme point of a set $X$ is an element $x \in X$ with $x \notin \operatorname{conv}(X \backslash{x})$.

So a set $X$ is convex if and only if all convex combinations of points in $X$ are again in $X$. The convex hull of a set $X$ is the smallest convex set containing $X$. Moreover, the intersection of convex sets is convex. Hence polyhedra are convex. Now we prove the “finite basis theorem for polytopes”, a fundamental result which seems to be obvious but is not trivial to prove directly:

Theorem 3.31. (Minkowski [1896], Steinitz [1916], Weyl [1935]) A set P is a polytope if and only if it is the convex hull of a finite set of points.

Proof: (Schrijver [1986]) Let $P=\left{x \in \mathbb{R}^n: A x \leq b\right}$ be a nonempty polytope. Obviously,
$$
P=\left{x:\left(\begin{array}{l}
x \
1
\end{array}\right) \in C\right} \text {, where } C=\left{\left(\begin{array}{l}
x \
\lambda
\end{array}\right) \in \mathbb{R}^{n+1}: \lambda \geq 0, A x-\lambda b \leq 0\right} .
$$
$C$ is a polyhedral cone, so by Theorem $3.29$ it is generated by finitely many nonzero vectors, say by $\left(\begin{array}{l}x_1 \ \lambda_1\end{array}\right), \ldots,\left(\begin{array}{l}x_k \ \lambda_k\end{array}\right)$. Since $P$ is bounded, all $\lambda_i$ are nonzero; w.l.o.g. all $\lambda_i$ are 1 . So $x \in P$ if and only if
$$
\left(\begin{array}{l}
x \
1
\end{array}\right)=\mu_1\left(\begin{array}{c}
x_1 \
1
\end{array}\right)+\cdots+\mu_k\left(\begin{array}{c}
x_k \
1
\end{array}\right)
$$
for some $\mu_1, \ldots, \mu_k \geq 0$. In other words, $P$ is the convex hull of $x_1, \ldots, x_k$.
Now let $P$ be the convex hull of $x_1, \ldots, x_k \in \mathbb{R}^n$. Then $x \in P$ if and only if $\left(\begin{array}{c}x \ 1\end{array}\right) \in C$, where $C$ is the cone generated by $\left(\begin{array}{c}x_1 \ 1\end{array}\right), \ldots,\left(\begin{array}{c}x_k \ 1\end{array}\right)$. By Theorem $3.29, C$ is polyhedral, so
$$
C=\left{\left(\begin{array}{l}
x \
\lambda
\end{array}\right): A x+b \lambda \leq 0\right} .
$$
We conclude that $P=\left{x \in \mathbb{R}^n: A x+b \leq 0\right}$.

组合优化代考

数学代写|组合优化代写combinatoroptimization代考| Simplex算法的实现

前面对SIMPLEX算法的描述很简单，但并不适合高效的实现。正如我们将看到的，在每次迭代中没有必要求解一个线性方程组。为了激发主要思想，我们从一个命题(实际上后面不需要这个命题)开始:对于$\max {c x: A x=b, x \geq 0}$形式的LPs，顶点不仅可以用行的子集表示，也可以用列的子集表示

对于矩阵$A$和列索引集$J$，我们用$A^J$表示仅由$J$中的列组成的子矩阵。因此，$A_I^J$表示$A$的子矩阵，其中行位于$I$，列位于$J$。有时行和列的顺序是很重要的:如果$J=\left(j_1, \ldots, j_k\right)$是一个行(列)索引的向量，我们用$A_J\left(A^J\right)$表示这个矩阵的$i$ -th行(列)是$A$$(i=1, \ldots, k)$的$j_i$ -th行(列)

命题3.15设$P:={x: A x=b, x \geq 0}$，其中$A$是一个矩阵，$b$是一个向量。那么$x$是$P$的顶点，当且仅当$x \in P$和$A$对应$x$的正项的列是线性无关的

证明:让$A$是$m \times n$ -matrix。让$X:=\left(\begin{array}{cc}-I & 0 \ A & I\end{array}\right)$和$b^{\prime}:=\left(\begin{array}{l}0 \ b\end{array}\right)$。让$N:=$${1, \ldots, n}$和$M:={n+1, \ldots, n+m}$。对于索引集$J \subseteq N \cup M$和$|J|=n$，让$\bar{J}:=(N \cup M) \backslash J$。那么$X_J^N$是非单数if $X_{M \cap J}^{N \cap J}$是非单数if $X_M^J$是非单数

如果$x$是$P$的顶点，那么——通过命题$3.9$——存在一个集合$J \subseteq N \cup M$，使得$|J|=n, X_J^N$是非奇异的，并且$X_J^N x=b_J^{\prime}$。则$x$对应$N \cap J$的分量为零。此外，$X_M^J$是非奇异的，因此$A^{N \cap \bar{J}}$的列是线性无关的

相反，设$x \in P$，并设$A$对应$x$的正项的列集是线性无关的。通过向这些列中添加合适的单位列向量，我们得到一个非奇异子矩阵$X_M^B$，其中$x_i=0$对应$i \in N \backslash B$。那么$X_{\bar{B}}^N$是非奇异的，$X_{\bar{B}}^N x=b_{\bar{B}}^{\prime}$。因此，通过命题$3.9, x$是$P$的顶点

数学代写|组合优化代写组合优化代考|凸壳和Polytopes

在本节中，我们将收集更多关于多角的事实。特别地，我们证明了多面体恰恰是那些由有限数量的点组成的凸包集。我们首先回顾一些基本的定义:

定义已知向量$x_1, \ldots, x_k \in \mathbb{R}^n$和$\lambda_1, \ldots, \lambda_k \geq 0$加上$\sum_{i=1}^k \lambda_i=1$，我们称$x=\sum_{i=1}^k \lambda_i x_i a$为$x_1, \ldots, x_k$的凸组合。如果$\lambda x+(1-\lambda) y \in X$对于所有$x, y \in X$和$\lambda \in[0,1]$，则集合$X \subseteq \mathbb{R}^n$是凸的。集合$X$的凸包$\operatorname{conv}(X)$被定义为$X$中所有点的凸组合的集合。集合$X$的极值点是包含$x \notin \operatorname{conv}(X \backslash{x})$的元素$x \in X$ . 所以一个集合$X$是凸的，当且仅当$X$中的所有凸点组合再次在$X$中。集合$X$的凸包是包含$X$的最小凸集。而且，凸集的交集是凸的。因此多面体是凸的。现在我们证明“polytopes的有限基定理”，这是一个基本的结果，看起来很明显，但直接证明起来并不容易:

定理3.31。(Minkowski [1896]， Steinitz [1916]， Weyl[1935])当且仅当集合P是有限点集合的凸包时，它是一个多面体

证明:(Schrijver[1986])设$P=\left{x \in \mathbb{R}^n: A x \leq b\right}$为非空多面体。显然，
$$
P=\left{x:\left(\begin{array}{l}
x \
1
\end{array}\right) \in C\right} \text {, where } C=\left{\left(\begin{array}{l}
x \
\lambda
\end{array}\right) \in \mathbb{R}^{n+1}: \lambda \geq 0, A x-\lambda b \leq 0\right} .
$$
$C$是一个多面体锥，因此根据定理$3.29$它是由有限个非零向量生成的，比如$\left(\begin{array}{l}x_1 \ \lambda_1\end{array}\right), \ldots,\left(\begin{array}{l}x_k \ \lambda_k\end{array}\right)$。由于$P$是有界的，所有$\lambda_i$都是非零的;W.L.O.G.所有$\lambda_i$都是1。所以$x \in P$当且仅当
$$
\left(\begin{array}{l}
x \
1
\end{array}\right)=\mu_1\left(\begin{array}{c}
x_1 \
1
\end{array}\right)+\cdots+\mu_k\left(\begin{array}{c}
x_k \
1
\end{array}\right)
$$
对于某些$\mu_1, \ldots, \mu_k \geq 0$。换句话说，$P$是$x_1, \ldots, x_k$的凸包。
现在设$P$是$x_1, \ldots, x_k \in \mathbb{R}^n$的凸包。然后$x \in P$当且仅当$\left(\begin{array}{c}x \ 1\end{array}\right) \in C$，其中$C$是$\left(\begin{array}{c}x_1 \ 1\end{array}\right), \ldots,\left(\begin{array}{c}x_k \ 1\end{array}\right)$生成的圆锥。根据定理$3.29, C$是多面体，所以
$$
C=\left{\left(\begin{array}{l}
x \
\lambda
\end{array}\right): A x+b \lambda \leq 0\right} .
$$
我们得出$P=\left{x \in \mathbb{R}^n: A x+b \leq 0\right}$ .

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。

有限元方法代写

有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写

随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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