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## 数学代写|交换代数代写commutative algebra代考|Complexes and Exact Sequences

When we have successive linear maps
$$M \stackrel{\alpha}{\longrightarrow} N \stackrel{\beta}{\longrightarrow} P \stackrel{\gamma}{\longrightarrow} Q,$$
we say that they form a complex if the composition of any two successive linear maps is null. We say that the sequence is exact in $N$ if $\operatorname{Im} \alpha=\operatorname{Ker} \beta$. The entire sequence is said to be exact if it is exact in $N$ and $P$. This extends to sequences of arbitrary length.
This “abstract” language has an immediate counterpart in terms of systems of linear equations when we are dealing with free modules of finite rank. For example if $N=\mathbf{A}^n, P=\mathbf{A}^m$ and if we have an exact sequence
$$0 \rightarrow M \stackrel{\alpha}{\longrightarrow} N \stackrel{\beta}{\longrightarrow} P \stackrel{\gamma}{\longrightarrow} Q \rightarrow 0,$$
The linear map $\beta$ is represented by a matrix associated with a system of $m$ linear equations with $n$ unknowns, the module $M$, isomorphic to $\operatorname{Ker} \beta$, represents the defect of injectivity of $\beta$ and the module $Q$, isomorphic to $\operatorname{Coker} \beta$, represents its defect of surjectivity of $\beta$.
An exact complex of the type
$$0 \rightarrow M_m \stackrel{u_m}{\longrightarrow} M_{m-1} \longrightarrow \cdots \cdot \cdots \stackrel{u_1}{\longrightarrow} M_0 \rightarrow 0$$
with $m \geqslant 3$ is called a long exact sequence (of length $m$ ).
If $m=2$, we say that we have a short exact sequence. In this case $M_2$ can be identifièd with a submodule of $M_1$, and, modulo this idenntification, $M_0$ cañ bé identified with $M_1 / M_2$.

An important fact to note is that every long exact sequence of length $m$ “can be decomposed into” $m-1$ short exact sequences according to the following schema.
$0 \rightarrow E_2 \stackrel{\iota_2}{\stackrel{\iota_3}{\longrightarrow}} M_1 \stackrel{u_1}{\stackrel{v_2}{\longrightarrow}} M_0 \rightarrow 0$
$0 \rightarrow E_3 \stackrel{\iota_3}{\longrightarrow} M_2 \stackrel{v_2}{\longrightarrow} E_2 \rightarrow 0$

with $E_i=\operatorname{Im} u_{i+1} \subseteq M_i$ for $i \in \llbracket 2 . . m-1 \rrbracket$, the $\iota_k$ ‘s canonical injections, and the $v_k$ ‘s obtained from the $u_k$ ‘s by restricting the range to $\operatorname{Im} u_k$.

An important theme of commutative algebra is provided by the transformations that preserve, or do not preserve, exact sequences.
Here are two basic examples, which use the modules of linear maps.
Let $\mathrm{L}{\mathbf{A}}(M, P)$ be the $\mathbf{A}$-module of $\mathbf{A}$-linear maps from $M$ to $P$ and $\operatorname{End}{\mathbf{A}}(M)$ designate $\mathrm{L}{\mathbf{A}}(M, M)$ (with its ring structure generally noncommutative). The dual module of $M, \mathrm{~L}{\mathbf{A}}(M, \mathbf{A})$, will in general be denoted by $M^{\star}$.
6.1 Fact If $0 \rightarrow M \stackrel{\alpha}{\longrightarrow} N \stackrel{\beta}{\longrightarrow} P$ is an exact sequence of $\mathbf{A}$-modules, and if $F$ is an $\mathbf{A}$-module, then the sequence
$$0 \rightarrow \mathrm{L}{\mathbf{A}}(F, M) \longrightarrow \mathrm{L}{\mathbf{A}}(F, N) \longrightarrow \mathrm{L}_{\mathbf{A}}(F, P)$$

## 数学代写|交换代数代写commutative algebra代考|Localization and Exact Sequences

6.4 Fact Let $S$ be a monoid of a ring $\mathbf{A}$.

1. If $M$ is a submodule of $N$, we have the canonical identification of $M_S$ with a submodule of $N_S$ and of $(N / M) s$ with $N_S / M_S$.
In particular, for every ideal a of $\mathbf{A}$, the $\mathbf{A}$-module $\mathfrak{a}_S$ is canonically identified with the ideal $\mathbf{A}_S$ of $\mathbf{A}_S$.
2. If $\varphi: M \rightarrow N$ is an $\mathbf{A}$-linear map, then:
a. $\operatorname{Im}\left(\varphi_S\right)$ is canonically identified with $(\operatorname{Im}(\varphi))_S$,
b. $\operatorname{Ker}(\varphi S)$ is canonically identified with $(\operatorname{Ker}(\varphi))_S$,
c. $\operatorname{Coker}(\varphi S)$ is canonically identified with $(\operatorname{Coker}(\varphi))_S$.
3. If we have an exact sequence of $\mathbf{A}$-modules
then the sequence of $\mathbf{A}S$-modules $$M_S \stackrel{\varphi S}{\longrightarrow} N_S \stackrel{\psi_S}{\longrightarrow} P_S$$ is also exact. 6.5 Fact If $M_1, \ldots, M_r$ are submodules of $N$ and $M=\bigcap{i=1}^r M_i$, then byidentifying the modules $\left(M_i\right)s$ and $M_S$ with submodules of $N_S$ we obtain $M_S=\bigcap{i=1}^r\left(M_i\right)_s$.
6.6 Fact Let $M$ and $N$ be two submodules of an $\mathbf{A}$-module $P$, with $N$ finitely generated. Then, the conductor ideal $\left(M_S: N_S\right)$ is identified with $(M: N)_S$, via the natural maps of $(M: N)$ in $\left(M_S: N_S\right)$ and $(M: N) s$.
This is particularly applied to the annihilator of a finitely generated ideal.

# 交换代数代考

## 数学代写|交换代数代写交换代数代考|复合物和精确序列

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$$M \stackrel{\alpha}{\longrightarrow} N \stackrel{\beta}{\longrightarrow} P \stackrel{\gamma}{\longrightarrow} Q,$$如果任意两个连续线性映射的组合为零，我们说它们形成一个复数。我们说序列是精确的 $N$ 如果 $\operatorname{Im} \alpha=\operatorname{Ker} \beta$。如果整个序列是精确的，我们就说它是精确的 $N$ 和 $P$。这扩展到任意长度的序列。当我们处理有限秩的自由模时，这种“抽象的”语言在线性方程组中有直接的对应。例如，如果 $N=\mathbf{A}^n, P=\mathbf{A}^m$ 如果我们有一个精确的序列
$$0 \rightarrow M \stackrel{\alpha}{\longrightarrow} N \stackrel{\beta}{\longrightarrow} P \stackrel{\gamma}{\longrightarrow} Q \rightarrow 0,$$

with $m \geqslant 3$ 称为长精确序列(长度 $m$ ).

$0 \rightarrow E_2 \stackrel{\iota_2}{\stackrel{\iota_3}{\longrightarrow}} M_1 \stackrel{u_1}{\stackrel{v_2}{\longrightarrow}} M_0 \rightarrow 0$
$0 \rightarrow E_3 \stackrel{\iota_3}{\longrightarrow} M_2 \stackrel{v_2}{\longrightarrow} E_2 \rightarrow 0$

， $E_i=\operatorname{Im} u_{i+1} \subseteq M_i$为$i \in \llbracket 2 . . m-1 \rrbracket$, $\iota_k$的正则注入，$v_k$ ‘s通过限制范围为$\operatorname{Im} u_k$从$u_k$ ‘s获得 交换代数的一个重要主题是保留或不保留精确序列的变换。

6.1事实如果 $0 \rightarrow M \stackrel{\alpha}{\longrightarrow} N \stackrel{\beta}{\longrightarrow} P$ 是的精确序列吗 $\mathbf{A}$-modules和if $F$ 是一个 $\mathbf{A}$-module，则序列
$$0 \rightarrow \mathrm{L}{\mathbf{A}}(F, M) \longrightarrow \mathrm{L}{\mathbf{A}}(F, N) \longrightarrow \mathrm{L}_{\mathbf{A}}(F, P)$$

## 数学代写|交换代数代写交换代数代考|定位和精确序列

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6.4事实:让$S$成为环的一个单面$\mathbf{A}$

1. $M$ 是子模块的 $N$，我们有一个规范的识别 $M_S$ 的子模块 $N_S$ 和的 $(N / M) s$ 用 $N_S / M_S$特别是，对于每一个理想a的 $\mathbf{A}$， $\mathbf{A}$-module $\mathfrak{a}_S$ 是否与理想相一致 $\mathbf{A}_S$ 的 $\mathbf{A}_S$.
2. $\varphi: M \rightarrow N$ 是一个 $\mathbf{A}$-线性映射，则:
a。 $\operatorname{Im}\left(\varphi_S\right)$ 被公认为是什么 $(\operatorname{Im}(\varphi))_S$，
b。 $\operatorname{Ker}(\varphi S)$ 被公认为是什么 $(\operatorname{Ker}(\varphi))_S$，
c。 $\operatorname{Coker}(\varphi S)$ 被公认为是什么 $(\operatorname{Coker}(\varphi))_S$.
3. 如果我们有一个精确的 $\mathbf{A}$-modules
则顺序 $\mathbf{A}S$-modules $$M_S \stackrel{\varphi S}{\longrightarrow} N_S \stackrel{\psi_S}{\longrightarrow} P_S$$ 也是精确的。6.5事实如果 $M_1, \ldots, M_r$ 的子模块 $N$ 和 $M=\bigcap{i=1}^r M_i$，然后通过识别模块 $\left(M_i\right)s$ 和 $M_S$ 的子模块 $N_S$ 我们得到 $M_S=\bigcap{i=1}^r\left(M_i\right)_s$.
6.6事实让 $M$ 和 $N$ 是一个的两个子模块 $\mathbf{A}$-module $P$，与 $N$ 有限生成。然后，导体理想 $\left(M_S: N_S\right)$ 被认定为 $(M: N)_S$的自然地图 $(M: N)$ 在 $\left(M_S: N_S\right)$ 和 $(M: N) s$
这特别适用于有限产生理想的湮灭子

## 有限元方法代写

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## MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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