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交换代数本质上是对代数数论和代数几何中出现的环的研究。在代数数论中，代数整数的环是Dedekind环，因此它构成了一类重要的换元环。

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• Foundations of Data Science 数据科学基础

数学代写|交换代数代写commutative algebra代考|A Fundamental Notiona

A ring $\mathbf{A}$ is called coherent if every linear equation
$$
L X=0 \text { with } L \in \mathbf{A}^{1 \times n} \text { and } X \in \mathbf{A}^{n \times 1}
$$
has for solutions the elements of a finitely generated $\mathbf{A}$-submodule of $\mathbf{A}^{n \times 1}$. In other words,
$$
\left{\begin{aligned}
\forall n \in \mathbb{N}, \forall L \in \mathbf{A}^{1 \times n}, & \exists m \in \mathbb{N}, \exists G \in \mathbf{A}^{n \times m}, \forall X \in \mathbf{A}^{n \times 1}, \
L X=0 & \Longleftrightarrow \exists Y \in \mathbf{A}^{m \times 1}, X=G Y .
\end{aligned}\right.
$$
This means that we have some control over the solution space of the homogeneous system of linear equations $L X=0$.

Clearly, a finite product of rings is coherent if and only if each factor is coherent. More generally, given $V=\left(v_{1}, \ldots, v_{n}\right) \in M^{n}$ where $M$ is an $\mathbf{A}$-module, the $\mathbf{A}$-submodule of $\mathbf{A}^{n}$ defined as the kernel of the linear map
$$
\breve{V}: \mathbf{A}^{n} \longrightarrow M, \quad\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right) \longmapsto \sum_{i} x_{i} v_{i}
$$
is called the syzygy module between the $v_{i}$ ‘s. More specifically, we say that it is the syzygy module of (the vector) $V$. An element $\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)$ of this kernel is called a linear dependence relation or a syzygy between the $v_{i}$ ‘s. When $V$ is a generator set of $M$ the syzygy module between the $v_{i}$ ‘s is often called the (first) syzygy module of $M$.

By slight abuse of terminology, we indifferently refer to the term syzygy to mean the equality $\sum_{i} x_{i} v_{i}=0$ or the element $\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right) \in \mathbf{A}^{n}$. The $\mathbf{A}$-module $M$ is said to be coherent if for every $V \in M^{n}$ the syzygy module is finitely generated, in other words if we have:
$$
\left{\begin{array}{c}
\forall n \in \mathbb{N}, \forall V \in M^{n \times 1}, \exists m \in \mathbb{N}, \exists G \in \mathbf{A}^{m \times n}, \forall X \in \mathbf{A}^{1 \times n}, \
X V=0 \Longleftrightarrow \exists Y \in \mathbf{A}^{1 \times m}, X=Y G
\end{array}\right.
$$
A ring $\mathbf{A}$ is then coherent if and only if it is coherent as an $\mathbf{A}$-module.

数学代写|交换代数代写commutative algebra代考|Local Character of Coherence

3.5 Concrete local-global principle (Coherent modules) Consider a ring $\mathbf{A}$, let $S_{1}, \ldots, S_{n}$ be comaximal monoids and $M$ an A-module.

1. The module $M$ is coherent if and only if each $M_{S_{i}}$ is coherent.
2. The ring $\mathbf{A}$ is coherent if and only if each $\mathbf{A}{S{i}}$ is coherent.
   $D$ Let $a=\left(a_{1}, \ldots, a_{m}\right) \in M^{m}$, and $N \subseteq \mathbf{A}^{m}$ be the syzygy module of $a$. We find that for any monoid $S, N_{S}$ is the syzygy module of $a$ in $M_{S}$. This brings us to prove the following concrete local-global principle.
   3.6 Concrete local-global principle (Finitely generated modules) Let $S_{1}, \ldots, S_{n}$ be comaximal monoids of $\mathbf{A}$ and $M$ an $\mathbf{A}$-module. Then, $M$ is finitely generated if and only if each $M_{S_{i}}$ is finitely generated.

D Suppose that $M_{S_{i}}$ is a finitely generated $\mathbf{A}{S{i}}$-module for each $i$. Let us prove that $M$ is finitely generated. Let $g_{i, 1}, \ldots, g_{i, q_{i}}$ be elements of $M$ which generate $M_{S_{i}}$. Let $x \in M$ be arbitrary. For each $i$ we have some $s_{i} \in S_{i}$ and some $a_{i, j} \in \mathbf{A}$ such that:
$$
s_{i} x=a_{i, 1} g_{i, 1}+\cdots+a_{i, q_{i}} g_{i, q_{i}} \text { in } M .
$$
When writing $\sum_{i=1}^{n} b_{i} s_{i}=1$, we observe that $x$ is a linear combination of the $g_{i, j}$ ‘s.

Remark Consider the $\mathbb{Z}$-submodule $M$ of $\mathbb{Q}$ generated by the elements $1 / p$ where $p$ ranges over the set of prime numbers. We can easily check that $M$ is not finitely generated but that it becomes finitely generated after localization at any prime ideal. This means that the Concrete local-global principle $3.6$ does not have a corresponding “abstract” version, in which the localization at some comaximal monoids would be replaced by the localization at every prime ideal. Actually, the property P for a module to be finitely generated is not a finite character property, as we can see with the module $M$ above and the monoids $\mathbb{Z} \backslash{0}$ or $1+p \mathbb{Z}$. Moreover, the property satisfies the transfer principle, but it so happens here that it is of no use.

交换代数代考

数学代写|交换代数代写commutative algebra代考|A Fundamental Notiona

戒指 $\mathbf{A}$ 如果每个线性方程都称为相干的
$L X=0$ with $L \in \mathbf{A}^{1 \times n}$ and $X \in \mathbf{A}^{n \times 1}$
具有有限生成的元素 $\mathbf{A}-$ 子模块 $\mathbf{A}^{n \times 1}$. 换句话说，
$\$ \$$
Neft {
$$
\forall n \in \mathbb{N}, \forall L \in \mathbf{A}^{1 \times n}, \exists m \in \mathbb{N}, \exists G \in \mathbf{A}^{n \times m}, \forall X \in \mathbf{A}^{n \times 1}, L X=0 \quad \Longleftrightarrow \exists Y \in \mathbf{A}^{m \times 1}, X=G Y
$$
正确的。
$\$ \$$ 这意味着我们可以控制齐次线性方程组的解空间 $L X=0$.
显然，环的有限乘积是相干的当且仅当每个因素都是相干的。更一般地，给定 $V=\left(v_{1}, \ldots, v_{n}\right) \in M^{n}$ 在哪里 $M$ 是一个 $\mathbf{A}$-模块， $\mathbf{A}$-子模块 $\mathbf{A}^{n}$ 定义为线性映射的核
$$
\breve{V}: \mathbf{A}^{n} \longrightarrow M, \quad\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right) \longmapsto \sum_{i} x_{i} v_{i}
$$
被称为 syzygy 模块之间 $v_{i}$ 的。更具体地说，我们说它是 (向量) 的 syzygy 模块 $V$. 一个元素 $\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)$ 这个核的关系称为线性依赖关系或 $v_{i}$ 的。什么时候 $V$ 是一个 发电机组 $M$ 之间的 syzygy 模块 $v_{i}$ ‘s 通常被称为 (第一个) syzygy 模块 $M$.
通过稍微滥用术语，我们冷漠地引用术语 syzygy 来表示平等 $\sum_{i} x_{i} v_{i}=0$ 或元素 $\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right) \in \mathbf{A}^{n}$. 这 $\mathbf{A}$-模块 $M$ 据说是连贯的，如果对于每个 $V \in M^{n}$ syzygy 模块 是有限生成的，换句话说，如果我们有:
$\$ 1 \mathrm{eft}{$
$$
\forall n \in \mathbb{N}, \forall V \in M^{n \times 1}, \exists m \in \mathbb{N}, \exists G \in \mathbf{A}^{m \times n}, \forall X \in \mathbf{A}^{1 \times n}, X V=0 \Longleftrightarrow \exists Y \in \mathbf{A}^{1 \times m}, X=Y G
$$
正确的。
\$\$枚
戒指 $\mathbf{A}$ 那么是连贯的当且仅当它作为一个连贯的 $\mathbf{A}$-模块。

数学代写|交换代数代写commutative algebra代考|Local Character of Coherence

$3.5$ 具体的局部-全局原理（相干模块）考虑一个环 $\mathbf{A}$ ，让 $S_{1}, \ldots, S_{n}$ 是共极大么半群和 $M A$ 模块。

1. 模块 $M$ 是连贯的当且仅当每个 $M_{S}$ 是连贯的。
2. 戒指 $\mathbf{A}$ 是连畀的当且仅当每个 $\mathbf{A} S i$ 是连贯的。
   $D$ 让 $a=\left(a_{1}, \ldots, a_{m}\right) \in M^{m}$ ，和 $N \subseteq \mathbf{A}^{m}$ 成为 syzygy 模块 $a$. 我们发现对于任何么半群 $S, N_{S}$ 是 syzygy 模块 $a$ 在 $M_{S}$. 这使我们证明了以下具体的局部-全局 原则。
   $3.6$ 具体的local-global原理 (有限生成模块) 让 $S_{1}, \ldots, S_{n}$ 是共极大的么半群和 $M 一 个 \mathbf{A}$-模块。然后， $M$ 当且仅当每个 $M_{S i}$ 是有限生成的。
   $s_{i} x=a_{i, 1} g_{i, 1}+\cdots+a_{i, q} g_{i, q i}$ in $M .$ Whenwriting $\backslash$ sum_{i=1}^{n} b_{i} s_{i}=1, weobservethatXisalinearcombinationoftheg_{i, j}\$ 的。
   备注 考虑 $\mathbb{Z}$-子模块 $M$ 的 $\mathbb{Q}$ 由元素生成 $1 / p$ 在哪里 $p$ 范围在质数集合上。我们可以很容易地检查 $M$ 不是有限生成的，而是在任何素理想定位后成为有限生成的。这意 味着具体的局部-全局原则 $3.6$ 没有相应的”抽象”版本，其中一些共极大半群的定位将被每个素理想的定位所取代。实际上，要有限生成的模块的属性 $P$ 不是有限 字符属性，正如我们在模块中看到的那样 $M$ 上面和么半群取 $\backslash 0$ 或者 $1+p \mathbb{Z}$. 再者，财产满足转移原则，但在这里碰巧没有用。

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。

有限元方法代写

有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写

随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。

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多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

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