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## 数学代写|交换代数代写commutative algebra代考|A Fundamental Notiona

A ring $\mathbf{A}$ is called coherent if every linear equation
$$L X=0 \text { with } L \in \mathbf{A}^{1 \times n} \text { and } X \in \mathbf{A}^{n \times 1}$$
has for solutions the elements of a finitely generated $\mathbf{A}$-submodule of $\mathbf{A}^{n \times 1}$. In other words,
\left{\begin{aligned} \forall n \in \mathbb{N}, \forall L \in \mathbf{A}^{1 \times n}, & \exists m \in \mathbb{N}, \exists G \in \mathbf{A}^{n \times m}, \forall X \in \mathbf{A}^{n \times 1}, \ L X=0 & \Longleftrightarrow \exists Y \in \mathbf{A}^{m \times 1}, X=G Y . \end{aligned}\right.
This means that we have some control over the solution space of the homogeneous system of linear equations $L X=0$.

Clearly, a finite product of rings is coherent if and only if each factor is coherent. More generally, given $V=\left(v_{1}, \ldots, v_{n}\right) \in M^{n}$ where $M$ is an $\mathbf{A}$-module, the $\mathbf{A}$-submodule of $\mathbf{A}^{n}$ defined as the kernel of the linear map
$$\breve{V}: \mathbf{A}^{n} \longrightarrow M, \quad\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right) \longmapsto \sum_{i} x_{i} v_{i}$$
is called the syzygy module between the $v_{i}$ ‘s. More specifically, we say that it is the syzygy module of (the vector) $V$. An element $\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)$ of this kernel is called a linear dependence relation or a syzygy between the $v_{i}$ ‘s. When $V$ is a generator set of $M$ the syzygy module between the $v_{i}$ ‘s is often called the (first) syzygy module of $M$.

By slight abuse of terminology, we indifferently refer to the term syzygy to mean the equality $\sum_{i} x_{i} v_{i}=0$ or the element $\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right) \in \mathbf{A}^{n}$. The $\mathbf{A}$-module $M$ is said to be coherent if for every $V \in M^{n}$ the syzygy module is finitely generated, in other words if we have:
$$\left{\begin{array}{c} \forall n \in \mathbb{N}, \forall V \in M^{n \times 1}, \exists m \in \mathbb{N}, \exists G \in \mathbf{A}^{m \times n}, \forall X \in \mathbf{A}^{1 \times n}, \ X V=0 \Longleftrightarrow \exists Y \in \mathbf{A}^{1 \times m}, X=Y G \end{array}\right.$$
A ring $\mathbf{A}$ is then coherent if and only if it is coherent as an $\mathbf{A}$-module.

## 数学代写|交换代数代写commutative algebra代考|Local Character of Coherence

3.5 Concrete local-global principle (Coherent modules) Consider a ring $\mathbf{A}$, let $S_{1}, \ldots, S_{n}$ be comaximal monoids and $M$ an A-module.

1. The module $M$ is coherent if and only if each $M_{S_{i}}$ is coherent.
2. The ring $\mathbf{A}$ is coherent if and only if each $\mathbf{A}{S{i}}$ is coherent.
$D$ Let $a=\left(a_{1}, \ldots, a_{m}\right) \in M^{m}$, and $N \subseteq \mathbf{A}^{m}$ be the syzygy module of $a$. We find that for any monoid $S, N_{S}$ is the syzygy module of $a$ in $M_{S}$. This brings us to prove the following concrete local-global principle.
3.6 Concrete local-global principle (Finitely generated modules) Let $S_{1}, \ldots, S_{n}$ be comaximal monoids of $\mathbf{A}$ and $M$ an $\mathbf{A}$-module. Then, $M$ is finitely generated if and only if each $M_{S_{i}}$ is finitely generated.

D Suppose that $M_{S_{i}}$ is a finitely generated $\mathbf{A}{S{i}}$-module for each $i$. Let us prove that $M$ is finitely generated. Let $g_{i, 1}, \ldots, g_{i, q_{i}}$ be elements of $M$ which generate $M_{S_{i}}$. Let $x \in M$ be arbitrary. For each $i$ we have some $s_{i} \in S_{i}$ and some $a_{i, j} \in \mathbf{A}$ such that:
$$s_{i} x=a_{i, 1} g_{i, 1}+\cdots+a_{i, q_{i}} g_{i, q_{i}} \text { in } M .$$
When writing $\sum_{i=1}^{n} b_{i} s_{i}=1$, we observe that $x$ is a linear combination of the $g_{i, j}$ ‘s.

Remark Consider the $\mathbb{Z}$-submodule $M$ of $\mathbb{Q}$ generated by the elements $1 / p$ where $p$ ranges over the set of prime numbers. We can easily check that $M$ is not finitely generated but that it becomes finitely generated after localization at any prime ideal. This means that the Concrete local-global principle $3.6$ does not have a corresponding “abstract” version, in which the localization at some comaximal monoids would be replaced by the localization at every prime ideal. Actually, the property P for a module to be finitely generated is not a finite character property, as we can see with the module $M$ above and the monoids $\mathbb{Z} \backslash{0}$ or $1+p \mathbb{Z}$. Moreover, the property satisfies the transfer principle, but it so happens here that it is of no use.

# 交换代数代考

## 数学代写|交换代数代写commutative algebra代考|A Fundamental Notiona

$L X=0$ with $L \in \mathbf{A}^{1 \times n}$ and $X \in \mathbf{A}^{n \times 1}$

$\$ \$$Neft {$$
\forall n \in \mathbb{N}, \forall L \in \mathbf{A}^{1 \times n}, \exists m \in \mathbb{N}, \exists G \in \mathbf{A}^{n \times m}, \forall X \in \mathbf{A}^{n \times 1}, L X=0 \quad \Longleftrightarrow \exists Y \in \mathbf{A}^{m \times 1}, X=G Y
$$正确的。 \ \$$ 这意味着我们可以控制齐次线性方程组的解空间 $L X=0$.

$$\breve{V}: \mathbf{A}^{n} \longrightarrow M, \quad\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right) \longmapsto \sum_{i} x_{i} v_{i}$$

$\$ 1 \mathrm{eft}{$$$\forall n \in \mathbb{N}, \forall V \in M^{n \times 1}, \exists m \in \mathbb{N}, \exists G \in \mathbf{A}^{m \times n}, \forall X \in \mathbf{A}^{1 \times n}, X V=0 \Longleftrightarrow \exists Y \in \mathbf{A}^{1 \times m}, X=Y G$$ 正确的。 \$\$枚 戒指$\mathbf{A}$那么是连贯的当且仅当它作为一个连贯的$\mathbf{A}$-模块。 ## 数学代写|交换代数代写commutative algebra代考|Local Character of Coherence$3.5$具体的局部-全局原理（相干模块）考虑一个环$\mathbf{A}$，让$S_{1}, \ldots, S_{n}$是共极大么半群和$M A$模块。 1. 模块$M$是连贯的当且仅当每个$M_{S}$是连贯的。 2. 戒指$\mathbf{A}$是连畀的当且仅当每个$\mathbf{A} S i$是连贯的。$D$让$a=\left(a_{1}, \ldots, a_{m}\right) \in M^{m}$，和$N \subseteq \mathbf{A}^{m}$成为 syzygy 模块$a$. 我们发现对于任何么半群$S, N_{S}$是 syzygy 模块$a$在$M_{S}$. 这使我们证明了以下具体的局部-全局 原则。$3.6$具体的local-global原理 (有限生成模块) 让$S_{1}, \ldots, S_{n}$是共极大的么半群和$M 一 个 \mathbf{A}$-模块。然后，$M$当且仅当每个$M_{S i}$是有限生成的。$s_{i} x=a_{i, 1} g_{i, 1}+\cdots+a_{i, q} g_{i, q i}$in$M .$Whenwriting$\backslash$sum_{i=1}^{n} b_{i} s_{i}=1, weobservethatXisalinearcombinationoftheg_{i, j}\$ 的。
备注 考虑 $\mathbb{Z}$-子模块 $M$ 的 $\mathbb{Q}$ 由元素生成 $1 / p$ 在哪里 $p$ 范围在质数集合上。我们可以很容易地检查 $M$ 不是有限生成的，而是在任何素理想定位后成为有限生成的。这意 味着具体的局部-全局原则 $3.6$ 没有相应的”抽象”版本，其中一些共极大半群的定位将被每个素理想的定位所取代。实际上，要有限生成的模块的属性 $P$ 不是有限 字符属性，正如我们在模块中看到的那样 $M$ 上面和么半群取 $\backslash 0$ 或者 $1+p \mathbb{Z}$. 再者，财产满足转移原则，但在这里碰巧没有用。

## 有限元方法代写

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## MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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