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复分析是一个从复数到复数的函数。换句话说,它是一个以复数的一个子集为域,以复数为子域的函数。复数函数通常应该有一个包含复数平面的非空开放子集的域。
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数学代写|复分析作业代写Complex function代考|Complex Power Series
The theory of Taylor series in real-variable calculus associates to each infinitely differentiable function $f$ from $\mathbb{R}$ to $\mathbb{R}$ a formal power series expansion at each point of $\mathbb{R}$, namely
$$
\sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(p)}{n !}(x-p)^{n}, \quad p \in \mathbb{R} .
$$
There is no general guarantee that this series converges for any $x$ other than $x=p$. Moreover, there is also no general guarantee that, even if it does converge at some $x \neq p$, its sum is actually equal to $f(x)$. An instance of this latter phenomenon is the function
$$
f(x)=\left{\begin{array}{lll}
e^{-1 / x^{2}} & \text { if } & x \neq 0 \
0 & \text { if } & x=0 .
\end{array}\right.
$$
This function can be easily checked to be $C^{\infty}$ on $\mathbb{R}$ with $0=f(0)=$ $f^{\prime}(0)=f^{\prime \prime}(0)=\ldots$ (use l’Hôpital’s rule to verify this assertion). So the Taylor expansion of $f$ at 0 is
$$
0+0 x+0 x^{2}+0 x^{3}+\cdots,
$$
which obviously converges for all $x$ with sum $\equiv 0$. But $f(x)$ is 0 only if $x=0$. (An example of the phenomenon that the Taylor series need not even converge except at $x=p$ is given in Exercise 64.) The familiar functions of calculus – $\sin , \cos , e^{x}$, and so forth-all have convergent power series. But most $C^{\infty}$ functions on $\mathbb{R}$ do not. Real functions $f$ that have, at each point $p \in \mathbb{R}$, a Taylor expansion that converges to $f$ for all $x$ near enough to $p$ are called real analytic on $\mathbb{R}$.
数学代写|复分析作业代写Complex function代考|The Power Series Expansion
As previously discussed, we first demonstrate that a holomorphic function has a convergent complex power series expansion (locally) about any point in its domain. Note that since a holomorphic function is defined on an arbitrary open set $U$ while a power series converges on a disc, we cannot expect a single power series expanded about a fixed point $P$ to converge to $f$ on all of $U$.
Theorem 3.3.1. Let $U \subseteq \mathbb{C}$ be an open set and let $f$ be holomorphic on $U$. Let $P \in U$ and suppose that $D(P, r) \subseteq U$. Then the complex power series
$$
\sum_{k=0}^{\infty} \frac{\left(\partial^{k} f / \partial z^{k}\right)(P)}{k !}(z-P)^{k}
$$
has radius of convergence at least $r$. It converges to $f(z)$ on $D(P, r)$.
Proof. Recall that from Theorem 3.1.1 we know that $f$ is $C^{\infty}$. So the coefficients of the power series expansion make sense. Given an arbitrary $z \in D(P, r)$, we shall now prove convergence of the series at this $z$. Let $r^{\prime}$ be a positive number greater than $|z-P|$ but less than $r$ so that
$$
z \in D\left(P, r^{\prime}\right) \subseteq \bar{D}\left(P, r^{\prime}\right) \subseteq D(P, r)
$$
Assume without loss of generality that $P=0$ (this simplifies the notation considerably, but does not change the mathematics) and apply the Cauchy integral formula to $f$ on $D\left(P, r^{\prime}\right)$. Thus for $z \in D\left(P, r^{\prime}\right)=D\left(0, r^{\prime}\right)$ we have
$$
f(z)=\frac{1}{2 \pi i} \oint_{|\zeta|=r^{\prime}} \frac{f(\zeta)}{\zeta-z} d \zeta
$$
$=\frac{1}{2 \pi i} \oint_{|\zeta|=r^{\prime}} \frac{f(\zeta)}{\zeta} \frac{1}{1-z \cdot \zeta^{-1}} d \zeta$
$=\frac{1}{2 \pi i} \oint_{|\zeta|=r^{\prime}} \frac{f(\zeta)}{\zeta} \sum_{k=0}^{\infty}\left(z \cdot \zeta^{-1}\right)^{k} d \zeta .$

复分析代写
数学代写|复分析作业代写Complex function代考|Complex Power Series
实变微积分中的泰勒级数理论与每个无限可微函数相关联 $f$ 从 $\mathbb{R}$ 至 $\mathbb{R}$ 在每个点的正式幂级数展开 $\mathbb{R}$ ,即
$$
\sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(p)}{n !}(x-p)^{n}, \quad p \in \mathbb{R} .
$$
没有一般保证这个系列收敛于任何 $x$ 以外 $x=p$. 此外,也没有一般的保证,即使它确实收敛于某个 $x \neq p$ ,它的总和实际上等于 $f(x)$. 后一种现象的一个例子是函数 $\$ \$$
$f(x)=\backslash$ left {
$e^{-1 / x^{2}} \quad$ if $\quad x \neq 00 \quad$ if $\quad x=0$
正确的。
Thisfunctioncanbeeasilycheckedtobe $\$ C^{\infty} \$$ on $\$ \mathbb{R} \$$ with $\$ 0=f(0)=\$ \$ f^{\prime}(0)=f^{\prime \prime}(0)=\ldots \$\left(u s e l^{\prime} H\right.$ \$pital’suletoverifythisassertion). SotheTayl
$0+0 x+0 x^{\wedge}{2}+0 x^{\wedge}{3}+\backslash$ cdots,
$\$ \$$
显然收敛于所有 $x$ 与总和三 0 . 但 $f(x)$ 仅当为 $0 x=0$. (泰勒级数甚至不需要收敛的现象的一个例子,除了在 $x=p$ 在练习 64 中给出。) 微积分的熟恙函数一
$\sin , \cos , e^{x}$ ,等等一都有收敛的幂级数。但最 $C^{\infty}$ 上的功能 $\mathbb{R}$ 不要。实函数 $f$ 在每一点都有 $p \in \mathbb{R}$ ,泰勒展开式收敛到 $f$ 对所有人 $x$ 足够接近 $p$ 被称为实分析 $\mathbb{R}$.
数学代写|复分析作业代写Complex function代考|The Power Series Expansion
如前所述,我们首先证明了一个全纯函数在其域中的任何点上都有一个收敛的复幂级数展开(局部)。请注意,由于全纯函数是在任意开集上定义的 $U$ 虽然募级数 会聚在圆盘上,但我们不能期望单个幂级数围绕固定点展开 $P$ 收玫到 $f$ 在所有 $U$.
定理 3.3.1。让 $U \subseteq \mathbb{C}$ 是一个开集并且让 $f$ 全纯 $U$. 让 $P \in U$ 并假设 $D(P, r) \subseteq U$. 那么复幂级数
$$
\sum_{k=0}^{\infty} \frac{\left(\partial^{k} f / \partial z^{k}\right)(P)}{k !}(z-P)^{k}
$$
至少有收敛半径 $r$. 它收敛到 $f(z)$ 上 $D(P, r)$.
证明。回想一下,从定理 3.1.1 我们知道 $f$ 是 $C^{\infty}$. 所以幂级数展开的系数是有意义的。给定一个任意 $z \in D(P, r)$ ,我们现在将证明级数的收敛性 $z$. 让 $r^{\prime}$ 是大于的正 数 $|z-P|$ 但小于 $r$ 以便
$$
z \in D\left(P, r^{\prime}\right) \subseteq \bar{D}\left(P, r^{\prime}\right) \subseteq D(P, r)
$$
不失一般性假设 $P=0$ (这大大简化了符号,但不会改变数学) 并将柯西积分公式应用于 $f$ 上 $D\left(P, r^{\prime}\right)$. 因此对于 $z \in D\left(P, r^{\prime}\right)=D\left(0, r^{\prime}\right)$ 我们有
$$
f(z)=\frac{1}{2 \pi i} \oint_{|\zeta|=r^{\prime}} \frac{f(\zeta)}{\zeta-z} d \zeta
$$
$$
\begin{aligned}
&=\frac{1}{2 \pi i} \oint_{|\zeta|=r^{\prime}} \frac{f(\zeta)}{\zeta} \frac{1}{1-2 \cdot \zeta^{-1}} d \zeta \
&=\frac{1}{2 \pi i} \oint_{|\zeta|=r^{\prime}} \frac{f(\zeta)}{\zeta} \sum_{k=0}^{\infty}\left(z \cdot \zeta^{-1}\right)^{k} d \zeta .
\end{aligned}
$$

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金融工程代写
金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题,以及设计新的和创新的金融产品。
非参数统计代写
非参数统计指的是一种统计方法,其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型;这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。
广义线性模型代考
广义线性模型(GLM)归属统计学领域,是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。
术语 广义线性模型(GLM)通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归,以及方差分析和方差分析(仅含固定效应)。
有限元方法代写
有限元方法(FEM)是一种流行的方法,用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。
有限元是一种通用的数值方法,用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程(即一些边界值问题)。为了解决一个问题,有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分,称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的,它是通过构建对象的网格来实现的:用于求解的数值域,它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统,以模拟整个问题。然后,有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。
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