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复分析是一个从复数到复数的函数。换句话说，它是一个以复数的一个子集为域，以复数为子域的函数。复数函数通常应该有一个包含复数平面的非空开放子集的域。
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数学代写|复分析作业代写Complex function代考|The Cauchy Estimates and Liouville’s Theorem
This section will establish some estimates for the derivatives of holomorphic functions in terms of bounds on the function itself. The possibility of such estimation is a feature of holomorphic function theory that has no analogue in the theory of real variables. For example: The functions $f_{k}(x)=\sin k x, x \in \mathbb{R}, k \in \mathbb{Z}$, are for all $k$ bounded in absolute value by 1 ; but their derivatives at 0 are not bounded since $f_{k}^{\prime}(0)=k$. The reader should think frequently about the ways in which real function theory and complex holomorphic function theory differ. In the subject matter of this section, the differences are particularly pronounced.
Theorem 3.4.1 (The Cauchy estimates). Let $f: U \rightarrow \mathbb{C}$ be a holomorphic function on an open $U, P \in U$, and assume that the closed disc $\bar{D}(P, r), r>0$, is contained in $U$. Set $M=\sup {z \in \bar{D}(P, r)}|f(z)|$. Then for $k=1,2,3 \ldots$ we have $$ \left|\frac{\partial^{k} f}{\partial z^{k}}(P)\right| \leq \frac{M k !}{r^{k}} . $$ Proof. By Theorem 3.1.1, $$ \frac{\partial^{k} f}{\partial z^{k}}(P)=\frac{k !}{2 \pi i} \oint{|\zeta-P|=r} \frac{f(\zeta)}{(\zeta-P)^{k+1}} d \zeta .
$$
Now we use Proposition 2.1.8 to see that
$$
\left|\frac{\partial^{k} f}{\partial z^{k}}(P)\right| \leq \frac{k !}{2 \pi} \cdot 2 \pi r \sup _{|\zeta-P|=r} \frac{|f|}{|\zeta-P|^{k+1}} \leq \frac{M k !}{r^{k}} .
$$
数学代写|复分析作业代写Complex function代考|Uniform Limits of Holomorphic Functions
We have already seen that a convergent power series (in $z$ ) defines a holomorphic function (Lemma 3.2.10). One can think of this fact as the assertion that a certain sequence of holomorphic functions, namely the finite partial sums of the series, has a holomorphic limit. This idea, that a limit of holomorphic functions is holomorphic, holds in almost unrestricted generality.
Theorem 3.5.1. Let $f_{j}: U \rightarrow \mathbb{C}, j=1,2,3 \ldots$, be a sequence of holomorphic functions on an open set $U$ in $\mathbb{C}$. Suppose that there is a function $f: U \rightarrow \mathbb{C}$ such that, for each compact subset $E$ of $U$, the sequence $\left.f_{j}\right|{E}$ converges uniformly to $\left.f\right|{E}$. Then $f$ is holomorphic on $U$. (In particular, $\left.f \in C^{\infty}(U) .\right)$
Before beginning the proof, we again note the contrast with the realvariable situation. Any continuous function from $\mathbb{R}$ to $\mathbb{R}$ is the limit, uniformly on compact subsets of $\mathbb{R}$, of some sequence of polynomials: This is the well-known Weierstrass approximation theorem. But, of course, a continuous function from $\mathbb{R}$ to $\mathbb{R}$ certainly need not be real analytic, or even $C^{\infty}$. The difference between the real-variable situation and that of the theorem is related to the Cauchy estimates. The convergence of a sequence of holomorphic functions implies convergence of their derivatives also. No such estimation holds in the real case, and a sequence of $C^{\infty}$ functions can converge uniformly without their derivatives having any convergence properties at all (see Exercise 1 and [RUD1]).
We shall give one detailed proof of Theorem 3.5.1 and sketch a second. The first method is especially brief.
复分析代写
数学代写|复分析作业代写Complex function代考|The Cauchy Estimates and Liouville’s Theorem
本节将根据函数本身的界限对全纯函数的导数建立一些估计。这种估计的可能性是全纯函数理论的一个特征，在实变量理论中没有类似物。例如：函数 $f_{k}(x)=\sin k x, x \in \mathbb{R}, k \in \mathbb{Z}$, 适用于所有人 $k$ 绝对值以 1 为界；但它们在 0 处的导数是无界的，因为 $f_{k}^{\prime}(0)=k$. 读者应该经常思考实函数论和复全纯函数论的不 同之处。在本节的主题中，差异尤其明显。
定理 3.4.1 (柯西估计) 。让 $f: U \rightarrow \mathbb{C}$ 是一个全纯函数 $U, P \in U$ ，并假设闭合圆盘 $\bar{D}(P, r), r>0$ ，包含在 $U$. 放 $M=\sup z \in \bar{D}(P, r)|f(z)|$. 那么对于 $k=1,2,3 \ldots$ 我们有
$$
\left|\frac{\partial^{k} f}{\partial z^{k}}(P)\right| \leq \frac{M k !}{r^{k}} .
$$
证明。根据定理 3.1.1，
$$
\frac{\partial^{k} f}{\partial z^{k}}(P)=\frac{k !}{2 \pi i} \oint|\zeta-P|=r \frac{f(\zeta)}{(\zeta-P)^{k+1}} d \zeta
$$
现在我们使用命题 2.1.8 来看看
$$
\left|\frac{\partial^{k} f}{\partial z^{k}}(P)\right| \leq \frac{k !}{2 \pi} \cdot 2 \pi r \sup _{|\zeta-P|=r} \frac{|f|}{|\zeta-P|^{k+1}} \leq \frac{M k !}{r^{k}}
$$
数学代写|复分析作业代写Complex function代考|Uniform Limits of Holomorphic Functions
我们已经看到收玫幂级数 (在 $z$ ) 定义了一个全纯函数（引理 3.2.10）。人们可以将这一事实视为断言某个全纯函数序列，即该级数的有限部分和，具有全纯极限。 这个想法，即全纯函数的极限是全纯的，几乎没有限制的普遍性。
定理 3.5.1。让 $f_{j}: U \rightarrow \mathbb{C}, j=1,2,3 \ldots$, 是一个开集上的全纯函数序列 $U$ 在 $\mathbb{C}$. 假设有一个函数 $f: U \rightarrow \mathbb{C}$ 这样，对于每个紧凑子集 $E$ 的 $U$ ，序列 $f_{j} \mid E$ 均匀地收敛 到 $f \mid E$. 然后 $f$ 是全纯的 $U$. (尤其是， $f \in C^{\infty}(U)$.)
在开始证明之前，我们再次注意与实变量请况的对比。从任何连续函数 $1 \mathbb{R}$ 至 $\mathbb{R}$ 是限制，一致地在紧凑子集上 $\mathbb{R}$,一些多项式序列: 这是著名的 Weierstrass 逼近定 理。但是，当然，一个连续的函数 $\mathbb{R}$ 至 $\mathbb{R}$ 当然不必是真正的分析，甚至 $C^{\infty}$. 实变量情况与定理的区别与柯西估计有关。一系列全纯函数的收敛也意味着它们的导数 的收敛。在实际情况中没有这样的估计，并且一系列 $C^{\infty}$ 函数可以均匀收敛，而它们的导数根本不具有任何收敛特性（参见练习 1 和 [RUD1])。
我们将给出定理 $3.5 .1$ 的一个详细证明，并画出第二个。第一种方法特别简短。
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金融工程代写
金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。
非参数统计代写
非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。
广义线性模型代考
广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。
术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。
有限元方法代写
有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。
有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。
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随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。
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随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。
回归分析代写
多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。
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MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。
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