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复分析是一个从复数到复数的函数。换句话说，它是一个以复数的一个子集为域，以复数为子域的函数。复数函数通常应该有一个包含复数平面的非空开放子集的域。
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数学代写|复分析作业代写Complex function代考|Harmonic Functions
Let $F$ be a holomorphic function on an open set $U \subseteq \mathbb{C}$. Write $F=u+i v$, where $u$ and $v$ are real-valued. We have already observed that the real part $u$ satisfies a certain partial differential equation known as Laplace’s equation:
$$
\left(\frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2}}{\partial y^{2}}\right) u=0 .
$$
(Of course the imaginary part $v$ satisfies the same equation.) In this chapter we shall examine systematically those $C^{2}$ functions that satisfy this equation. They are called harmonic functions.
There are two main justifications for this study: First, the consideration of harmonic functions illuminates the behavior of holomorphic functions: If two holomorphic functions on a connected open set have the same real part, then the difference of the functions attains only imaginary values and, by the open mapping theorem, the difference is therefore an imaginary constant. Thus the real part (or the imaginary part) of a holomorphic function already contains essentially complete information about the holomorphic function itself. Second, harmonic functions are the most classical and fundamental instance of solutions of what are known as linear, elliptic partial differential equations. The detailed consideration of any general results from the theory of partial differential equations far exceeds the scope of this text. But it is important that harmonic function theory fits into this larger context (see [KRA2] for more on these matters). One of the most fascinating features of basic complex function theory is that it is the birthplace of a number of other branches of mathematics. The theory of elliptic partial differential equations is one of these.
数学代写|复分析作业代写Complex function代考|Basic Properties of Harmonic Functions
Recall from Section $1.4$ the precise definition of harmonic function:
Definition 7.1.1. A real-valued function $u: U \rightarrow \mathbb{R}$ on an open set $U \subseteq \mathbb{C}$ is harmonic if it is $C^{2}$ on $U$ and
$$
\Delta u \equiv 0,
$$
where the Laplacian $\Delta u$ is defined by
$$
\Delta u=\left(\frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2}}{\partial y^{2}}\right) u .
$$
This definition applies as well to complex-valued functions. A complexvalued function is harmonic if and only if its real and imaginary parts are each harmonic (Exercise 16). There is hardly any reason, at least iny this text, to consider complex-valued har nic functions in their own right; we seldom do so.
The first thing that we need to check is that real-valued harmonic functions really are just those functions that arise as the real parts of holomorphic functions-at least locally. (We shall see later that certain complications arise when the harmonic function is defined on a set that is not holomorphically simply connected; for now we confine ourselves to the disc.)
Lemma 7.1.2. If $u: \mathcal{D} \rightarrow \mathbb{R}$ is a harmonic function on a disc $\mathcal{D}$, then there is a holomorphic function $F: \mathcal{D} \rightarrow \mathbb{C}$ such that $\operatorname{Re} F \equiv u$ on $\mathcal{D}$.
Proof. (Corollary 1.5.2. For convenience, we recall the proof.) We want to find a $v: \mathcal{D} \rightarrow \mathbb{R}$ such that
$$
u+i v: \mathcal{D} \rightarrow \mathbb{C}
$$
is holomorphic. Note that a $C^{1}$ function $v: \mathcal{D} \rightarrow \mathbb{R}$ will make $u+i v$ holomorphic if and only if
$$
\frac{\partial v}{\partial x}=-\frac{\partial u}{\partial y} \quad \text { and } \quad \frac{\partial v}{\partial y}=\frac{\partial u}{\partial x} .
$$
复分析代写
数学代写|复分析作业代写Complex function代考|Harmonic Functions
让 $F$ 是开集上的全纯函数 $U \subseteq \mathbb{C}$. 写 $F=u+i v$ ，在哪里 $u$ 和 $v$ 是实值的。我们已经观察到实部 $u$ 满足称为拉普拉斯方程的某个偏微分方程:
$$
\left(\frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2}}{\partial y^{2}}\right) u=0
$$
(当然是虚部 $v$ 满足相同的方程。) 在本章中，我们将系统地研究那些 $C^{2}$ 满足这个方程的函数。它们被称为调和函数。
这项研究有两个主要理由：首先，调和函数的考虑阐明了全纯函数的行为：如果连通开集上的两个全纯函数具有相同的实部，则函数的差仅获得虚值，并且，根据开 映射定理，差因此是一个虚常数。因此，全纯函数的实部（或虚部）已经包含了关于全纯函数本身的基本完整信息。其次，调和函数是已知的线性椭圆偏微分方程解 的最经典和基本的实例。对偏微分方程理论的任何一般结果的详细考虑远远超出了本文的范围。但重要的是调和函数理论适合这个更大的背景（有关这些问题的更多 信息，请参见 [KRA2]) 。基本复函数理论最引人入胜的特征之一是它是许多其他数学分支的发源地。椭圆偏微分方程的理论就是其中之一。
数学代写|复分析作业代写Complex function代考|Basic Properties of Harmonic Functions
从部分召回 $1.4$ 调和函数的精确定义:
定义7.1.1。实值函数 $u: U \rightarrow \mathbb{R}$ 在开集上 $U \subseteq \mathbb{C}$ 是皆波，如果它是 $C^{2}$ 上 $U$ 和
$$
\Delta u \equiv 0,
$$
拉普拉斯算子在哪里 $\Delta u$ 定义为
$$
\Delta u=\left(\frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2}}{\partial y^{2}}\right) u
$$
这个定义也适用于复值函数。复值函数是调和的当且仅当它的实部和虚部都是调和的（练习 16)。至少在本文中，几平没有任何理由单独考虑复值谐波函数。我们很 、这样做。
我们需要检查的第一件事是，实值调和函数真的只是那些作为全纯函数的实部出现的函数一一至少在局部是这样。（稍后我们将看到，当调和函数定义在非全纯单联 的集合上时，会出现某些复杂情况；现在我们将自己限制在圆盘上。）
引理 7.1.2。如果 $u: \mathcal{D} \rightarrow \mathbb{R}$ 是圆盘上的调和函数 $\mathcal{D}$ ，那么有一个全纯函数 $F: \mathcal{D} \rightarrow \mathbb{C}$ 这样 $R e F \equiv u$ 上 $\mathcal{D}$.
证明。（推论 1.5.2。为方便起见，我们回忆一下证明。）我们想找到一个 $v: \mathcal{D} \rightarrow \mathbb{R}$ 这样
$$
u+i v: \mathcal{D} \rightarrow \mathbb{C}
$$
是全纯的。请注意，一个 $C^{1}$ 功能 $v: \mathcal{D} \rightarrow \mathbb{R}$ 会让 $u+i v$ 全纯当且仅当
$$
\frac{\partial v}{\partial x}=-\frac{\partial u}{\partial y} \quad \text { and } \quad \frac{\partial v}{\partial y}=\frac{\partial u}{\partial x} .
$$
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术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。
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有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。
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