cs代写|复杂网络代写complex network代考|CMSC711

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cs代写|复杂网络代写complex network代考|CONSENSUS OF LINEAR CNSS

In the past decade, the consensus problem of general linear CNSs has received a lot of attention $[76,146,162,185,186,224]$. Specifically, the consensus problem of linear CNSs under a directed fixed communication topology has been addressed in $[76,224]$. In [162], the robust consensus of linear CNSs with additive perturbations of the transfer matrices of the nominal dynamics was studied. In [163] and a number of subsequent papers, the robust consensus was analyzed from the viewpoint of the $\mathcal{H}_{\infty}$ control theory. Among other relevant references, we mention [146] where, while assuming that the open loop systems are Lyapunov stable, the consensus problem of linear CNSs with undirected switching topologies has been investigated. In the situation where the CNS is equipped with a leader and the topology of the system belongs to the class of directed switching topologies, the consensus tracking problem has been studied in $[185,186]$. One feature of the results in these references is that the open loop agents’ dynamics do not have to be Lyapunov stable. Note that the presence of the leader in the CNSs considered in these references facilitate the derivations and the direct analyses of the consensus error system. However, when the open loop systems are not Lyapunov stable and/or there is no designated leader in the group, the consensus problem for linear CNSs with directed switching topologies remains challenging.

Motivated by the above discussion, this section aims to study the consensus problem for linear CNSs with directed switching topologies. Several aspects of the current study are worth mentioning. Firstly, some of the assumptions in the existing works are dismissed, e.g., the open loop dynamics of the agents do not have to be Lyapunov stable in this chapter. Furthermore, the CNSs under consideration are not required to have a leader. Compared with the consensus problems for linear CNSs with a designated leader, the point of difference here concerns the assumption on the system’s communication topology. In the previous work on the consensus tracking of linear CNSs such as [185], each possible augmented system graph was required to contain a directed spanning tree rooted at the leader. Compared with that work, the switching topologies in this section are allowed to have spanning trees rooted at different nodes. This is a significant relaxation of the previous conditions since it enables the system to be reconfigured if necessary (e.g., to allow different nodes to serve as the formation leader). This also has a potential to make the system more reliable.

cs代写|复杂网络代写complex network代考|Problem formulation

Consider a CNS consists of $N$ agents that are labelled as agents $1, \ldots, N$. The dynamics of agent $i$ are described by
$$
\dot{x}i(t)=A x_i(t)+B u_i(t), $$ where $x_i(t) \in \mathbb{R}^n$ is the state, $u_i(t) \in \mathbb{R}^m$ is the control input, $A \in \mathbb{R}^{n \times n}$ and $B \in \mathbb{R}^{n \times m}$ are, respectively, the state matrix and control input matrix. It is assumed that the matrix pair $(A, B)$ is stabilizable. And it is assumed that the communication topology of the CNS under consideration switches dynamically over a graph set $\widehat{\mathcal{G}}$, where $\widehat{\mathcal{G}}=\left{\mathcal{G}^1, \ldots, \mathcal{G}^\kappa\right}, \kappa \geq 1$, denotes the set of all possible directed topologies. Suppose that $\mathcal{G}(t) \in \widehat{\mathcal{G}}$ for all $t$. To describe the time-varying property of communication topology, assume that there exists an infinite sequence of non-overlapping time intervals $\left[t_k, t{k+1}\right), k=0,1, \ldots$, with $t_0=0,0<\tau_m \leq t_{k+1}-t_k \leq \tau_M<+\infty$, over which the communication topology is fixed. Here, $\tau_M>\tau_m>0$ and $\tau_m$ is called the dwell time. The introduction of the switching signal $\sigma(t):[0,+\infty) \mapsto{1, \ldots, \kappa}$ makes the communication topology of CNS (3.1) well defined at every time instant $t \geq 0$. For notational convenience, we will describe this communication topology using the time-varying graph $\mathcal{G}^{\sigma(t)}$.

Within the context of CNSs, only relative information among neighboring agents can be used for coordination. For each agent $i$, the following distributed consensus protocol is proposed
$$
u_i(t)=\alpha K \sum_{j=1}^N a_{i j}^{\sigma(t)}\left[x_j(t)-x_i(t)\right], \quad i=1, \ldots, N,
$$
where $\alpha>0$ represents the coupling strength, $K \in \mathbb{R}^{m \times n}$ is the feedback gain matrix to be designed, and $\mathcal{A}^{\sigma(t)}=\left[a_{i j}^{\sigma(t)}\right]{N \times N}$ is the adjacency matrix of graph $\mathcal{G}^{\sigma(t)}$. Then, it follows from (3.1) and (3.2) that $$ \dot{x}_i(t)=A x_i(t)+\alpha B K \sum{j=1}^N a_{i j}^{\sigma(t)}\left[x_j(t)-x_i(t)\right],
$$
where $i=1, \ldots, N$.
Let $x(t)=\left[x_1^T(t), \ldots, x_N^T(t)\right]^T$, it thus follows from (3.3) that
$$
\dot{x}(t)=\left[\left(I_N \otimes A\right)-\alpha\left(\mathcal{L}^{\sigma(t)} \otimes B K\right)\right] x(t),
$$
where $\mathcal{L}^{\sigma(t)}$ is the Laplacian matrix of communication topology $\mathcal{G}^{\sigma(t)}$.
Before concluding this section, the following assumption is presented which will be used in the derivation of the main results.

复杂网络代写

cs代写|复杂网络代写complex network代考|CONSENSUS OF LINEAR CNSS

在过去十年中，一般线性中枢神经系统的共识问题受到了很多关注[76,146,162,185,186,224]. 具体来说，在有向固定通信拓扑下的线性 CNS 的共识问题已在[76,224]. 在 [162] 中，研究了线性 CNS 与标称动力学的传递矩阵的加性扰动的稳健共识。在 [163] 和随后的一些论文中，稳健的共识是从H∞控制理论。在其他相关参考文献中，我们提到了[146]，其中假设开环系统是 Lyapunov 稳定的，研究了具有无向切换拓扑的线性 CNS 的共识问题。在CNS配备leader且系统拓扑属于有向交换拓扑类的情况下，研究了共识跟踪问题[185,186]. 这些参考文献中结果的一个特点是开环代理的动力学不必是李雅普诺夫稳定的。请注意，这些参考文献中考虑的 CNS 中领导者的存在有助于推导和直接分析共识错误系统。然而，当开环系统不是李雅普诺夫稳定和/或组中没有指定的领导者时，具有定向切换拓扑的线性 CNS 的共识问题仍然具有挑战性。

受上述讨论的启发，本节旨在研究具有定向切换拓扑的线性 CNS 的共识问题。当前研究的几个方面值得一提。首先，现有工作中的一些假设被驳回，例如，在本章中，代理的开环动力学不必是 Lyapunov 稳定的。此外，正在考虑的 CNS 不需要有领导者。与具有指定领导者的线性 CNS 的共识问题相比，这里的不同之处在于对系统通信拓扑的假设。在之前关于线性 CNS 一致性跟踪的工作（如 [185]）中，每个可能的增强系统图都需要包含一个以领导者为根的有向生成树。与那部作品相比，本节中的交换拓扑允许具有植根于不同节点的生成树。这是对先前条件的显着放宽，因为它使系统能够在必要时重新配置（例如，允许不同的节点充当编队领导者）。这也有可能使系统更可靠。

cs代写|复杂网络代写complex network代考|Problem formulation

考虑一个 $\mathrm{CNS}$ 由 $N$ 被标记为代理的代理 $1, \ldots, N$. 代理的动态 $i$ 被描述为
$$
\dot{x} i(t)=A x_i(t)+B u_i(t),
$$
在哪里 $x_i(t) \in \mathbb{R}^n$ 是状态， $u_i(t) \in \mathbb{R}^m$ 是控制输入， $A \in \mathbb{R}^{n \times n}$ 和 $B \in \mathbb{R}^{n \times m}$ 分别是状态矩阵和控制输入矩阵。假设矩阵对 $(A, B)$ 是稳定的。并且假设所考虑的 CNS 的通信拓扑在图集上动态切换 $\widehat{\mathcal{G}}$ ，在哪里 \1eft 的分隔符缺失或无法识别，表示所有可能的有向拓扑的集合。假设 $\mathcal{G}(t) \in \widehat{\mathcal{G}}$ 对所有人 $t$. 为了描述通信拓扑的时变特性，假设存在无限序列的非重菷时间间隔 $\left[t_k, t k+1\right), k=0,1, \ldots$ ，和 $t_0=0,0<\tau_m \leq t_{k+1}-t_k \leq \tau_M<+\infty$ ，其上的通信拓扑是固定的。这里， $\tau_M>\tau_m>0$ 和 $\tau_m$ 称为停留时间。开关信号的引入 $\sigma(t):[0,+\infty) \mapsto 1, \ldots, \kappa$ 使CNS (3.1) 的通信拓扑在每个时刻都得到很好的定义 $t \geq 0$. 为了符号方便，我们将使用时变图来描述这种通信拓扑 $\mathcal{G}^{\sigma(t)}$.
在 CNS 的上下文中，只有相邻代理之间的相关信息可用于协调。对于每个代理 $i$, 提出以下分布式共识协议
$$
u_i(t)=\alpha K \sum_{j=1}^N a_{i j}^{\sigma(t)}\left[x_j(t)-x_i(t)\right], \quad i=1, \ldots, N,
$$
在哪里 $\alpha>0$ 表示耦合强度， $K \in \mathbb{R}^{m \times n}$ 是要设计的反馈增益矩阵，并且 $\mathcal{A}^{\sigma(t)}=\left[a_{i j}^{\sigma(t)}\right] N \times N$ 是图的邻接矩阵 $\mathcal{G}^{\sigma(t)}$. 然后，从 (3.1) 和 (3.2) 得出
$$
\dot{x}i(t)=A x_i(t)+\alpha B K \sum j=1^N a{i j}^{\sigma(t)}\left[x_j(t)-x_i(t)\right],
$$
在哪里 $i=1, \ldots, N$.
让 $x(t)=\left[x_1^T(t), \ldots, x_N^T(t)\right]^T$ ，因此从 (3.3) 得出
$$
\dot{x}(t)=\left[\left(I_N \otimes A\right)-\alpha\left(\mathcal{L}^{\sigma(t)} \otimes B K\right)\right] x(t),
$$
在哪里 $\mathcal{L}^{\sigma(t)}$ 是通信拓扑的拉普拉斯矩阵 $\mathcal{G}^{\sigma(t)}$.
在结束本节之前，提出以下假设，该假设将用于推导主要结果。

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。

有限元方法代写

有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

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随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。

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多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

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