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数学代写|凸优化作业代写Convex Optimization代考|ELEC4631

数学代写|凸优化作业代写Convex Optimization代考|The Generalization to the Multi-Objective Case

Recently several papers have been published which propose multi-objective optimization algorithms that generalize single-objective optimization algorithms based on statistical models of objective functions [53, 101, 105, 106, 142, 224, 252]. The numerical results included there show the relevance of the proposed algorithms to the problems of multi-objective optimization with black-box expensive objectives. We present here a new idea for constructing relevant algorithms.

A multi-objective minimization problem can be stated almost identically to the single-objective problem considered in the previous subsection:
$$
\min _{\mathbf{x} \in \mathbf{A}} \mathbf{f}(\mathbf{x}), \mathbf{f}(\mathbf{x})=\left(f_1(\mathbf{x}), f_2(\mathbf{x}), \ldots, f_m(\mathbf{x})\right)^T, \mathbf{A} \subset \mathbb{R}^d,
$$ however, the concept of solution in this case is more complicated. For the definitions of the solution to a multi-objective optimization problem with nonlinear objectives, we refer to Chapter 1 .

In the case of multi-objective optimization, a vector objective function $\mathbf{f}(\mathbf{x})=$ $\left(f_1(\mathbf{x}), f_2(\mathbf{x}), \ldots, f_m(\mathbf{x})\right)^T$ is considered. The same arguments, as in the case of single-objective optimization, corroborate the applicability of statistical models. The assumptions on black-box information and expense of the objective functions together with the standard assumptions of rational decision making imply the acceptability of a family of random vectors $\Xi(\mathbf{x})=\left(\xi_1(\mathbf{x}), \ldots, \xi_m(\mathbf{x})\right)^T, x \in \mathbf{A}$, as a statistical model of $\mathbf{f}(\mathbf{x})$. Similarly, the location and spread parameters of $\xi_i(\mathbf{x})$, denoted by $m_i(\mathbf{x}), s_i(\mathbf{x}), i=1, \ldots, r$, are essential in the characterization of $\xi_i(\mathbf{x})$. For a more specific characterization of $\Xi(\mathbf{x})$, e.g., by a multidimensional distribution of $\Xi(\mathbf{x})$, the available information usually is insufficient. If the information on, e.g., the correlation between $\xi_i(\mathbf{x})$ and $\xi_j(\mathbf{x})$ were available, the covariance matrix could be included into the statistical model. However, here we assume that the objectives are independent, and the spread parameters are represented by a diagonal matrix $\Sigma(\mathbf{x})$ whose diagonal elements are equal to $s_1, \ldots, s_m$. Similarly to the case of single-objective optimization, we assume that the utility of choice of the point for the current computation of the vector value $\mathbf{f}(\mathbf{x})$ has the following structure
$$
v_{n+1}(\mathbf{x})=V_{n+1}\left(\mathbf{m}(\mathbf{x}), \Sigma(\mathbf{x}), \mathbf{y}^n\right),
$$
where $\mathbf{m}(\mathbf{x})=\left(m_1(\mathbf{x}), \ldots, m_m(\mathbf{x})\right)^T$, and $\mathbf{y}^n$ denotes a vector desired to improve.

数学代写|凸优化作业代写Convex Optimization代考|Optimization by Heuristic Methods

As shown in the previous sections, the guaranteed solutions of instances of the considered problem can be obtained by means of an algorithm of binary-linear programming. However, the binary-linear problems of interest involve large number of variables and restriction; see Table 10.1. It is clear, that in the case of larger problems, the solution time by that method can be too long for interactive systems. Therefore, the development of heuristic algorithms for this problem is important. In the discussion above, we have mentioned that the algorithm based on the idea of ant colony optimization [92, 93] was not quite satisfactory. One of the possible challenges for application of this algorithm is related to difficulties in assigning to an edge a proper value of “heuristic attractiveness” with respect to the criterion “number of bends.”

As potential alternatives we consider two following heuristic algorithms. The first algorithm is an extension of the classical shortest path algorithm for the specific multi-objective problem considered here. The second algorithm is a version of metaheuristic, called Harmony Search $\lfloor 67\rfloor$, which is claimed efficient in some recent publications. Harmony Search is a random search algorithm where moves are interpreted in musical terms. The similar in many respects random search algorithm, called Evolutionary Strategy, was proposed about 40 years ago (see, e.g., [187]) and was shown efficient in indeed many applications.

The problem considered is similar to the shortest path problem which is a classical problem of computer science. Here the vertices of the grid, presented in Figure 10.2, are vertices of the considered graph. The lengths of edges, the number of which is equal to $4 \times n \times p$, is assumed equal to 1 . Several paths should be found to connect the vertices which represent the shapes, and the appropriateness of a solution is assessed by the characteristics of the set of found paths. As the start and sink vertices of the paths in question can be only the intermediate vertices of the grid. Although the shortest path problem can be efficiently solved by, e.g., Dijkstra’s algorithm, this and other similar algorithms directly are not appropriate here. Our problem is more complicated, since we are interested not only in the total length of paths; the total number of bends, and the number of paths sharing the same edges, are also important. Nevertheless, the similarity between our problem and the shortest path problem induces an idea to construct a heuristic algorithm including the shortest path algorithm as a constituent.

凸优化代写

数学代写|凸优化作业代写凸优化代考|对多目标情况的概化

最近有几篇论文提出了基于目标函数统计模型的多目标优化算法，这些算法推广了单目标优化算法[53,101,105,106,142,224,252]。数值结果表明所提出的算法与带黑盒昂贵目标的多目标优化问题的相关性。本文提出了一种构造相关算法的新思路

一个多目标最小化问题几乎可以表述为与上一小节中考虑的单目标问题完全相同:$$
\min _{\mathbf{x} \in \mathbf{A}} \mathbf{f}(\mathbf{x}), \mathbf{f}(\mathbf{x})=\left(f_1(\mathbf{x}), f_2(\mathbf{x}), \ldots, f_m(\mathbf{x})\right)^T, \mathbf{A} \subset \mathbb{R}^d,
$$然而，在这种情况下，解的概念更加复杂。关于带非线性目标的多目标优化问题的解的定义，请参见第一章

在多目标优化的情况下，考虑向量目标函数$\mathbf{f}(\mathbf{x})=$$\left(f_1(\mathbf{x}), f_2(\mathbf{x}), \ldots, f_m(\mathbf{x})\right)^T$。在单目标优化的情况下，同样的论点证实了统计模型的适用性。对目标函数的黑箱信息和费用的假设以及理性决策的标准假设暗示了随机向量族$\Xi(\mathbf{x})=\left(\xi_1(\mathbf{x}), \ldots, \xi_m(\mathbf{x})\right)^T, x \in \mathbf{A}$作为$\mathbf{f}(\mathbf{x})$的统计模型的可接受性。同样，$\xi_i(\mathbf{x})$的位置和传播参数(由$m_i(\mathbf{x}), s_i(\mathbf{x}), i=1, \ldots, r$表示)在$\xi_i(\mathbf{x})$的描述中也是必不可少的。对于$\Xi(\mathbf{x})$的更具体的描述，例如通过$\Xi(\mathbf{x})$的多维分布，现有的信息通常是不够的。如果可以获得$\xi_i(\mathbf{x})$和$\xi_j(\mathbf{x})$之间的相关信息，则可以将协方差矩阵纳入统计模型。然而，这里我们假设目标是独立的，传播参数由对角矩阵$\Sigma(\mathbf{x})$表示，其对角元素等于$s_1, \ldots, s_m$。与单目标优化的情况类似，我们假设当前计算向量值$\mathbf{f}(\mathbf{x})$的点的效用选择具有以下结构
$$
v_{n+1}(\mathbf{x})=V_{n+1}\left(\mathbf{m}(\mathbf{x}), \Sigma(\mathbf{x}), \mathbf{y}^n\right),
$$
，其中$\mathbf{m}(\mathbf{x})=\left(m_1(\mathbf{x}), \ldots, m_m(\mathbf{x})\right)^T$，而$\mathbf{y}^n$表示希望改进的向量

数学代写|凸优化作业代写凸优化代考|启发式方法优化

如前几节所示，所考虑问题的实例的保证解可以通过二值线性规划的算法得到。然而，感兴趣的二元线性问题涉及大量的变量和限制;见表10.1。很明显，对于更大的问题，用这种方法解决问题的时间对于交互系统来说可能太长了。因此，开发针对该问题的启发式算法是非常重要的。在上面的讨论中，我们已经提到了基于蚁群优化思想的算法[92,93]并不十分令人满意。该算法的应用可能面临的挑战之一是，难以根据“弯曲次数”的标准，为一条边分配适当的“启发式吸引力”值。

作为潜在的替代方案，我们考虑以下两种启发式算法。第一种算法是针对本文考虑的具体多目标问题的经典最短路径算法的扩展。第二种算法是元启发式的一个版本，称为和谐搜索$\lfloor 67\rfloor$，在最近的一些出版物中被认为是有效的。和谐搜索是一种随机搜索算法，在该算法中，动作被解释为音乐术语。在许多方面类似的随机搜索算法，称为进化策略，大约在40年前被提出(参见，例如，[187])，并在许多应用中被证明是有效的

所考虑的问题类似于计算机科学中的经典问题——最短路径问题。图10.2中所示的网格顶点是所考虑的图的顶点。假设数为$4 \times n \times p$的边的长度为1。应该找到几条路径来连接代表形状的顶点，并通过找到的路径集的特征来评估一个解决方案的适当性。由于所述路径的起始顶点和汇聚顶点只能是网格的中间顶点。虽然最短路径问题可以用Dijkstra的算法来有效地解决，但是这种算法和其他类似的算法在这里并不适用。我们的问题更加复杂，因为我们不仅关心路径的总长度;弯道的总数和共享相同边缘的路径的数量也很重要。尽管如此，我们的问题与最短路径问题之间的相似性引出了一个想法，即构造一个包含最短路径算法作为组成部分的启发式算法

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。

有限元方法代写

有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写

随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

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MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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