数学代写|凸优化作业代写Convex Optimization代考|MATH4071

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Longitudinal Data Analysis 纵向数据分析
Foundations of Data Science 数据科学基础

数学代写|凸优化作业代写Convex Optimization代考|MATH4071

数学代写|凸优化作业代写Convex Optimization代考|Properties of Local Lower Lipschitz Bound

As follows from Lemma 6.4, V(f(a $\left.(r)), \mathbf{f}(\mathbf{b}(r)), \mathbf{A}_r\right)$, presenting a local lower Lipschitz bound for $\mathbf{P}(\boldsymbol{f}, \mathbf{A})_o$, is also coincident with the similar bound of an onedimensional problem where the length of the feasible interval is equal to the length of the diagonal of $\mathbf{A}_r$. Therefore, some results concerning the properties of lower

Lipschitz bounds, proved in Section 6.2, are relevant and can be adapted to the considered here problem. Below we estimate the tightness of $\mathbf{V}\left(\mathbf{f}(\mathbf{a}(r)), \mathbf{f}(\mathbf{b}(r)), \mathbf{A}_r\right)$ using the data related only to the diagonal of $\mathbf{A}_r$.

Definition 6.7 The precision of local lower Lipschitz bound $\mathbf{V}\left(\mathbf{f}(\mathbf{a}(r)), \mathbf{f}(\mathbf{b}(r)), \mathbf{A}r\right)$ we assess by the tightness $\Delta(\cdot)$ which is defined by the formula $$ \begin{aligned} &\Delta\left(\mathbf{f}(\mathbf{a}(r)), \mathbf{f}(\mathbf{b}(r)), \mathbf{A}_r\right)= \ &\max \left(\min {\mathbf{w} \in \mathbf{V}\left(\mathbf{f}(\mathbf{a}(r)), \mathbf{f}(\mathbf{b}(r)), \mathbf{A}r\right)}|\mathbf{w}-\mathbf{f}(\mathbf{a}(r))|, \min {\mathbf{w} \in \mathbf{V}\left(\mathbf{f}(\mathbf{a}(r)), \mathbf{f}(\mathbf{b}(r)), \mathbf{A}r\right)} | \mathbf{w}-\mathbf{f}(\mathbf{b}(r) |)\right. \end{aligned} $$ in case $\mathbf{f}(\mathbf{a})$ and $\mathbf{f}(\mathbf{b})$ do not dominate each other, and by the formula $$ \Delta\left(\mathbf{f}(\mathbf{a}(r)), \mathbf{f}(\mathbf{b}(r)), \mathbf{A}_r\right)=\min {\mathbf{w} \in \mathbf{V}\left(\mathbf{f}(\mathbf{a}(r)), \mathbf{f}(\mathbf{b}(r)), \mathbf{A}r\right)}|\mathbf{w}-\mathbf{f}(\mathbf{a})|, $$ otherwise, i.e., in case $\mathbf{f}(\mathbf{a}) \succ \mathbf{f}(\mathbf{b})$. As mentioned above, the lower Lipschitz bound $\mathbf{V}\left(\mathbf{f}(\mathbf{a}(r)), \mathbf{f}(\mathbf{b}(r)), \mathbf{A}_r\right)$ is coincident with the similar bound for a vector function of one variable $$ \mathbf{F}(t)=\mathbf{f}(\mathbf{x}(t)), 0 \leq t \leq v, $$ where $$ \begin{aligned} \mathbf{x}(t) &=\mathbf{a}(r)+(\mathbf{b}(r)-\mathbf{a}(r)) t / v \ v &=\sum{j=1}^d\left(b_j(r)-a_j(r)\right)
\end{aligned}
$$

数学代写|凸优化作业代写Convex Optimization代考|Worst-Case Optimal Bisection

In the present section we consider the most important part of the multi-objective optimization algorithm hased on the partition of the feasihle region into hyperrectangles by means of the bisection of a selected hyper-rectangle. Let $\mathbf{A}r$ be selected according to a rule described below. We intend to define the worst-case optimal bisection of the selected hyper-rectangle. The notation used in the analysis of the bisection is explained in Figure 6.10. The worst-case optimal bisection is defined as follows: $(\hat{t}, \hat{j})=\arg \min {t, j} \max \left(\max {\mathbf{w}} \Delta\left(\mathbf{f}(\mathbf{a}(r)), \mathbf{w}, \mathbf{A}{r^{\prime}}\right), \max {\mathbf{v}} \Delta\left(\mathbf{v}, \mathbf{f}(\mathbf{b}(r)), \mathbf{A}{r^{\prime \prime}}\right)\right)$,
where the hyper-rectangles $\mathbf{A}{r^{\prime}}, \mathbf{A}{r^{\prime \prime}}$ are obtained by the bisection of $\mathbf{A}r, 0 \leq t \leq$ 1 is the cutting ratio of the interval $\left[a_j(r), b_j(r)\right], j$ defines the coordinate axis orthogonal to the cutting hyper-plane, the hyper-rectangles $\mathbf{A}{r^{\prime}}, \mathbf{A}{r^{\prime \prime}}$ are obtained by the bisection of $\mathbf{A}_r$, and the feasible regions for $\mathbf{w}=\mathbf{f}\left(\mathbf{b}^{\prime}\right)$ and $\mathbf{v}=\mathbf{f}\left(\mathbf{a}^{\prime \prime}\right)$ depend on the cutting parameters $t, j$ and other information related to $\mathbf{\Lambda}{\mathbf{r}}$.

Theorem 6.4 The cutting hyper-plane of the worst-case optimal bisection is orthogonal to the longest edge of the considered hyper-rectangle. The cutting point is defined by the equality
$$
x_j=a_j+\hat{t}\left(b_j-a_j\right),
$$
where $j$ is the index of the coordinate axis corresponding to the (longest) edge $\left[a_j, b_j\right]$, and $\hat{t}=\frac{1}{2}$.
Proof The equalities (6.61)-(6.67) imply the following formulas for $\Delta_r$
$$
\Delta_r=\max \left(v+y_1-z_1, v+z_2-y_2\right),
$$
if $\mathbf{F}(0)=\left(y_1, y_2\right)^T$ and $\mathbf{F}(v)=\left(z_1, z_2\right)^T$ do not dominate each other, and
$$
\Delta_r=v+y_1-z_1,
$$
otherwise.

凸优化代写

数学代写|凸优化作业代写凸优化代考|局部下Lipschitz边界的属性

由引理6.4可知，V(f(a $\left.(r)), \mathbf{f}(\mathbf{b}(r)), \mathbf{A}_r\right)$，表示$\mathbf{P}(\boldsymbol{f}, \mathbf{A})_o$的局部下Lipschitz界，也与一维问题的相似界一致，其中可行区间的长度等于$\mathbf{A}_r$的对角线的长度。因此，一些关于的性质的结果

Lipschitz界，在第6.2节中证明，是相关的，可以适用于这里考虑的问题。下面我们使用仅与$\mathbf{A}_r$对角线相关的数据来估计$\mathbf{V}\left(\mathbf{f}(\mathbf{a}(r)), \mathbf{f}(\mathbf{b}(r)), \mathbf{A}_r\right)$的紧密度。

我们通过紧度$\Delta(\cdot)$来评估局部下Lipschitz界$\mathbf{V}\left(\mathbf{f}(\mathbf{a}(r)), \mathbf{f}(\mathbf{b}(r)), \mathbf{A}r\right)$的精度，该紧度在$\mathbf{f}(\mathbf{a})$和$\mathbf{f}(\mathbf{b})$互不支配的情况下由公式$$ \begin{aligned} &\Delta\left(\mathbf{f}(\mathbf{a}(r)), \mathbf{f}(\mathbf{b}(r)), \mathbf{A}_r\right)= \ &\max \left(\min {\mathbf{w} \in \mathbf{V}\left(\mathbf{f}(\mathbf{a}(r)), \mathbf{f}(\mathbf{b}(r)), \mathbf{A}r\right)}|\mathbf{w}-\mathbf{f}(\mathbf{a}(r))|, \min {\mathbf{w} \in \mathbf{V}\left(\mathbf{f}(\mathbf{a}(r)), \mathbf{f}(\mathbf{b}(r)), \mathbf{A}r\right)} | \mathbf{w}-\mathbf{f}(\mathbf{b}(r) |)\right. \end{aligned} $$定义，在$\mathbf{f}(\mathbf{a}) \succ \mathbf{f}(\mathbf{b})$的情况下由公式$$ \Delta\left(\mathbf{f}(\mathbf{a}(r)), \mathbf{f}(\mathbf{b}(r)), \mathbf{A}_r\right)=\min {\mathbf{w} \in \mathbf{V}\left(\mathbf{f}(\mathbf{a}(r)), \mathbf{f}(\mathbf{b}(r)), \mathbf{A}r\right)}|\mathbf{w}-\mathbf{f}(\mathbf{a})|, $$定义。如上所述，Lipschitz下界$\mathbf{V}\left(\mathbf{f}(\mathbf{a}(r)), \mathbf{f}(\mathbf{b}(r)), \mathbf{A}_r\right)$与单变量向量函数$$ \mathbf{F}(t)=\mathbf{f}(\mathbf{x}(t)), 0 \leq t \leq v, $$的类似下界一致，其中$$ \begin{aligned} \mathbf{x}(t) &=\mathbf{a}(r)+(\mathbf{b}(r)-\mathbf{a}(r)) t / v \ v &=\sum{j=1}^d\left(b_j(r)-a_j(r)\right)
\end{aligned}
$$

数学代写|凸优化作业代写凸面优化代考|最坏情况最优等分

在本节中，我们考虑多目标优化算法中最重要的部分，即通过对选定的超矩形进行等分，将可行区域划分为超矩形。根据下面描述的规则选择$\mathbf{A}r$。我们打算定义所选超矩形的最坏情况最优平分线。图6.10解释了二分法分析中使用的符号。最坏情况最优等分定义如下:$(\hat{t}, \hat{j})=\arg \min {t, j} \max \left(\max {\mathbf{w}} \Delta\left(\mathbf{f}(\mathbf{a}(r)), \mathbf{w}, \mathbf{A}{r^{\prime}}\right), \max {\mathbf{v}} \Delta\left(\mathbf{v}, \mathbf{f}(\mathbf{b}(r)), \mathbf{A}{r^{\prime \prime}}\right)\right)$，
其中超矩形$\mathbf{A}{r^{\prime}}, \mathbf{A}{r^{\prime \prime}}$是通过对$\mathbf{A}r, 0 \leq t \leq$的等分得到的，1是区间$\left[a_j(r), b_j(r)\right], j$的切割比，定义了正交于切割超平面的坐标轴，$\mathbf{A}{r^{\prime}}, \mathbf{A}{r^{\prime \prime}}$是通过对$\mathbf{A}_r$的等分得到的，$\mathbf{w}=\mathbf{f}\left(\mathbf{b}^{\prime}\right)$和$\mathbf{v}=\mathbf{f}\left(\mathbf{a}^{\prime \prime}\right)$的可行区域取决于切割参数$t, j$和其他与$\mathbf{\Lambda}{\mathbf{r}}$相关的信息

定理6.4最坏情况最优二分线的切割超平面正交于所考虑的超矩形的最长边。切割点由
定义$$
x_j=a_j+\hat{t}\left(b_j-a_j\right),
$$
where $j$ 坐标轴的下标是否对应于(最长)边 $\left[a_j, b_j\right]$，以及 $\hat{t}=\frac{1}{2}$
证明等式(6.61)-(6.67)表示下列公式 $\Delta_r$
$$
\Delta_r=\max \left(v+y_1-z_1, v+z_2-y_2\right),
$$
if $\mathbf{F}(0)=\left(y_1, y_2\right)^T$ 和 $\mathbf{F}(v)=\left(z_1, z_2\right)^T$ 不称霸对方，
$$
\Delta_r=v+y_1-z_1,
$$
否则

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。

有限元方法代写

有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写

随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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