数学代写|凸优化作业代写Convex Optimization代考|MATH4071

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凸优化是数学优化的一个子领域，研究的是凸集上凸函数最小化的问题。许多类凸优化问题都有多项时间算法，而数学优化一般来说是NP困难的。

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数学代写|凸优化作业代写Convex Optimization代考|A Brief Review of Non-convex Single-Objective

Single-objective optimization methods are among the mathematical methods most widely used in various applications. The classical methods starting with linear programming have been proved very valuable tools for solving various economic and engineering problems. However, the growing complexity of the applied problems demanded the development of new ideas, methods, and algorithms. The classical mathematical optimization methods are based on the assumption that an objective function is convex. The convexity assumption, which is very fruitful for theoretical investigation, is hardly provable in many practical applications. Moreover, it is not truth very frequently. Therefore in the 1960 s of the last century there begun active research in global optimization of non-convex problems. Naturally, single-objective problems foremost attracted attention of researchers. In this section we briefly review the approaches to single-objective global optimization, the multi-objective presentation we refer to the representative monographs.

The fundamental difficulty of non-convex problems is the possibility of existence of many local optima. Classical methods are not aimed at finding the best of them, the global optimum, but an arbitrary local optimum corresponding to some initial search conditions. Difficulties in extending the classical optimization theory to nonconvex problems motivated a vast development of heuristic methods. Many of these methods exploited randomization of search and ideas from nature. An early development of a heuristic approach was represented, e.g., in [81, 175, 186]. During the initial period, the development of theoretically substantiated methods was considerably slower than that of various heuristics. Nevertheless, several theoretic approaches have emerged, e.g., based on statistics of extreme values [138]. An example of a heuristic method with subsequently well-developed theory is simulated annealing [1, 221]. During the past years research in heuristic and theoretically substantiated global optimization expanded. Very important impact to intensify the theory of global optimization has made the Journal of Global Optimization, the publication of which started in 1990 . The results of the last century are summarized in $[84,152]$. Further in the present book we consider extensions of theoretically substantiated methods of single-objective global optimization to the multi-objective case. Therefore, in this brief review of single-objective global optimization we do not consider heuristic methods, and refer to $[8,69]$ for thorough presentation of that subject.

数学代写|凸优化作业代写Convex Optimization代考|Lipschitz Optimization

Lipschitz optimization $[78,86,87,159,168,208]$ is based on the assumption that the real-valued objective function $f(\mathbf{x})$ is Lipschitz continuous, i.e.,
$$
|f(\mathbf{x})-f(\mathbf{y})| \leq L|\mathbf{x}-\mathbf{y}|, \forall \mathbf{x}, \mathbf{y} \in \mathbf{A}, \quad 0<L<\infty
$$
where $L$ is the Lipschitz constant, $\mathbf{A} \subset \mathbb{R}^{d}$ is compact, and $|\cdot|$ denotes a norm. Sometimes it is also assumed that the first derivative of the objective is also Lipschitz continuous. In Lipschitz optimization the Euclidean norm is used most often, but other norms can also be considered [157, 158].

Lipschitz optimization algorithms can estimate how far the current approximation is from the optimal function value, and hence can use stopping criteria that are more meaningful than a simple iteration limit. The methods can guarantee to find an approximation of the solution to a specified accuracy within finite time. Lipschitz optimization may be used in situations when an analytical description of the objective function is not available.

An important question in Lipschitz optimization is how to obtain the Lipschitz constant of the objective function or at least its estimate. There are several approaches [195]:

1. The Lipschitz constant is assumed given a priori $[10,86,136,170]$. This case is very important from the theoretical viewpoint although in practice it is often difficult to use.
2. Adaptive global estimate over the whole search region is used $[86,109,167,208]$.
3. Local Lipschitz constants are estimated adaptively $[112,119,189,190,194,197$, $208]$
4. A set of possible values for the Lipschitz constant is used $[59,96,160,193,194]$.

凸优化代写

数学代写|凸优化作业代写Convex Optimization代考|A Brief Review of Non-convex Single-Objective

单目标优化方法是在各种应用中使用最广泛的数学方法之一。从线性规划开始的经典方法已被证明是解决各种经济和工程问题的非常有价值的工具。然而，应用问题的日益复杂性要求开发新的思想、方法和算法。经典的数学优化方法基于目标函数是凸函数的假设。对理论研究非常有成果的凸性假设在许多实际应用中几乎无法证明。而且，这不是很常见的真理。因此在上世纪 60 年代开始积极研究非凸问题的全局优化。自然，单目标问题首先引起了研究人员的关注。在本节中，我们简要回顾单目标全局优化的方法，多目标介绍我们参考代表性专着。

非凸问题的根本难点在于存在许多局部最优解的可能性。经典方法的目的不是找到其中的最佳值，即全局最优值，而是与某些初始搜索条件相对应的任意局部最优值。将经典优化理论扩展到非凸问题的困难推动了启发式方法的巨大发展。其中许多方法利用了来自自然的搜索和想法的随机化。例如，在 [81, 175, 186] 中代表了启发式方法的早期发展。在最初阶段，理论证实的方法的发展比各种启发式方法的发展要慢得多。然而，已经出现了几种理论方法，例如，基于极值的统计[138]。启发式方法的一个例子是模拟退火 [1, 221]。在过去的几年中，启发式和理论上证实的全局优化的研究得到了扩展。1990年创刊的Journal of Global Optimization对加强全局优化理论产生了重要影响。上个世纪的成果总结在[84,152]. 在本书中，我们进一步考虑将理论上证实的单目标全局优化方法扩展到多目标情况。因此，在对单目标全局优化的简要回顾中，我们不考虑启发式方法，而是参考[8,69]全面介绍该主题。

数学代写|凸优化作业代写Convex Optimization代考|Lipschitz Optimization

Lipschitz 优化 $[78,86,87,159,168,208]$ 基于实值目标函数的假设 $f(\mathbf{x})$ 是 Lipschitz 连续的，即
$$
|f(\mathbf{x})-f(\mathbf{y})| \leq L|\mathbf{x}-\mathbf{y}|, \forall \mathbf{x}, \mathbf{y} \in \mathbf{A}, \quad 0<L<\infty
$$
在哪里 $L$ 是 Lipschitz 常数， $\mathbf{A} \subset \mathbb{R}^{d}$ 是紧湊的，并且|俵示一个规范。有时还假设目标的一阶导数也是 Lipschitz 连续的。在 Lipschitz 优化中，最常使用欧几里 得范数，但也可以考虑其他范数 $[157,158]$ 。

Lipschitz 优化算法可以估计当前近似值与最优函数值的距离，因此可以使用比简单迭代限制更有意义的停止标准。这些方法可以保证在有限时间内找到解的近似 值到指定的精度。Lipschitz 优化可用于目标函数的分析描述不可用的情况。
Lipschitz 优化中的一个重要问题是如何获得目标函数的 Lipschitz 常数或至少是其估计值。有几种方法 [195]:

1. 假设 Lipschitz 常数是先验的 $[10,86,136,170]$. 从理论角度来看，这种情况非常重要，尽管在实践中通常很难使用。
2. 使用整个搜索区域的自适应全局估计 $[86,109,167,208]$.
3. 自适应估计局部 Lipschitz 常数 $[112,119,189,190,194,197,208]$
4. 使用 Lipschitz 常数的一组可能值 $[59,96,160,193,194]$.

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。

有限元方法代写

有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写

随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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