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数学代写|凸优化作业代写Convex Optimization代考|MATH620

数学代写|凸优化作业代写Convex Optimization代考|Experiments with the P-Algorithm

The MATLAB implementations of the considered algorithms were used for experimentation. The results of minimization obtained by the uniform random search are presented for the comparison. Minimization was stopped after 100 computations of objective function values.

The sites for the first 50 computations of $\mathbf{f}(\mathbf{x})$ were chosen by the $\mathrm{P}$-algorithm randomly with a uniform distribution over the feasible region. That data were used to estimate the parameters of the statistical model as well as in planning of the next 50 observations according to (7.8). The maximization of the improvement probability was performed by a simple version of multistart. The values of the improvement probability (7.9) were computed at 1000 points, generated randomly with uniform distribution over the feasible region. A local descent was performed from the best point using the codes from the MATLAB Optimization Toolbox.

Let us start from the comments about the results of minimization of the functions of one variable. In the experiments with objective functions of a single variable, the algorithms can be assessed with respect to the solutions found in the true Pareto front, while in the case of several variables normally the approximate solutions are solely available for the assessment of the algorithms.

The feasible objective region of problem (6.46) is presented for the visual analysis in Figure 6.5. The (one hundred) points in the feasible objective region, generated by the method of random uniform search (RUS), are shown in Figure 7.1; the non-dominated solutions found (thicker points) do not represent the Pareto front well. The P-algorithm was applied to that problem with two values of the threshold vector. In Figure 7.2, the trial points in the feasible objective region are shown, and non-dominated points are denoted by thicker points. The left-side figure shows the results obtained with the threshold vector equal to $(-1,-1)^T$ (35 non-dominated points found), and the right-hand side figure shows the results obtained with the threshold vector equal to $(-0.75,-0.75)^T$ (51 non-dominated points found). In the first case, the threshold is the ideal point; that case is similar to the case of a single-objective minimization, where the threshold is considerably below the current record. Presumably, for such a case the globality of the search strategy prevails and implies the uniformity (over the Pareto front) of the distribution of the non-dominated solutions found. For the threshold closer to the Pareto front, some localization of observations can be expected in the sense of increased density of the non-dominated points closer to the threshold vector. Figure $7.2$ illustrates the realization of the hypothesized properties.

数学代写|凸优化作业代写Convex Optimization代考|Experiments with the Algorithm

A version of the bi-objective $\pi$-algorithm has been implemented as described in Section 7.4.2. A product of two arctangents was used for $\pi(\cdot)$. Then the $n+1$ step of the $\pi$-algorithm is defined as the following optimization problem
$$
\mathbf{x}{n+1}=\arg \max {\mathbf{x} \in \mathbf{A}} \arctan \left(\frac{y_1^n-m_1(\mathbf{x})}{s_1(\mathbf{x})}+\frac{\pi}{2}\right) \cdot \arctan \left(\frac{y_2^n-m_2(\mathbf{x})}{s_2(\mathbf{x})}+\frac{\pi}{2}\right),
$$
where the information collected at previous steps is taken into account when computing $m_i(\mathbf{x})=m_i\left(\mathbf{x} \mid \mathbf{x}_j, \mathbf{y}_j, j=1, \ldots, n\right)$ and $s_i(\mathbf{x})=s_i\left(\mathbf{x} \mid \mathbf{x}_j, \mathbf{y}_j, j=1, \ldots, n\right)$. The maximization in (7.26) was performed by a simple version of multistart: from the best of 1000 points, generated randomly with uniform distribution over the feasible region, a local descent was performed using the codes from the MATLAB Optimization Toolbox. By this implementation, we wanted to check whether the function $\arctan (\cdot) \cdot \arctan (\cdot)$ chosen rather arbitrarily could be as good as the Gaussian cumulative distribution function for constructing statistical model-based multi-objective optimization algorithms. The experimentation with this version of the algorithm can be helpful also in selecting the most appropriate statistical model for a further development where two alternatives seem competitive: a Gaussian random field versus a statistical model, based on the assumptions of subjective probability [216].

Some experiments have been done for the comparison of the $\pi$-algorithm with the multi-objective P-algorithm described in Section 7.3. The optimization results by RUS from Section 7.5.3 are included to highlight the properties of the selected test problems. The results obtained by a multi-objective genetic algorithm (the MATLAB implementation in [80]) are also provided for the comparison. Two examples are presented and commented; we think that extensive competitive testing would be premature, as argued in Section 7.5.1.

Since the considered approach is oriented to expensive problems, we are interested in the quality of the result obtained computing a modest number of the values of objectives. Following the concept of experimentation above, a termination condition of all the considered algorithms was defined by the maximum number of computations of the objective function values, equal to 100 . The parameters of the statistical model, needed by the $\pi$-algorithm, have heen estimated using a sample of $\mathbf{f}(\mathbf{x})$ values, chosen similarly to the experiments with the P-algorithm: the sites for the first 50 computations of $\mathbf{f}(\mathbf{x})$ were chosen randomly with a uniform distribution over the feasible region; the obtained data were used not only for to (7.26).

An important parameter of the $\pi$-algorithm is $\mathbf{y}^n$. The vector $\mathbf{y}^n$ should be not dominated by the known values $\mathbf{y}_1, \ldots, \mathbf{y}_n$. A heuristic recommendation is to select $\mathbf{y}^n$ at a possibly symmetric site with respect to the global minima of objectives. We have selected the values of $\mathbf{y}^n$ used in the P-algorithm above: $\mathbf{y}^n=(-0.6,-0.6)$ in the case of problem (1.6), and $\mathbf{y}^n=(0.6,0.6)$ in the case of problem (1.5). Typical results are illustrated in Figure 7.8.

凸优化代写

数学代写|凸优化作业代写凸优化代考|实验与P-Algorithm

所考虑的算法的MATLAB实现被用于实验。用均匀随机搜索得到的最小值结果进行了比较。在目标函数值计算100次后停止最小化

$\mathbf{f}(\mathbf{x})$的前50次计算的站点由$\mathrm{P}$ -算法随机选择，并在可行区域内均匀分布。这些数据被用来估计统计模型的参数，以及根据(7.8)规划接下来的50个观察结果。改进概率的最大化是由一个简单版本的multistart执行的。改进概率(7.9)的值在1000点处计算，随机生成，在可行区域内分布均匀。使用MATLAB优化工具箱中的代码从最佳点执行局部下降

让我们从单变量函数最小化结果的注释开始。在单变量目标函数的实验中，算法可以根据在真帕累托前沿找到的解来进行评估，而在有多个变量的情况下，通常近似解只能用于评估算法

图6.5给出了问题(6.46)的可行目标区域，用于可视化分析。通过随机均匀搜索(RUS)方法生成的可行目标区域内(100)个点如图7.1所示;发现的非支配解(较厚的点)不能很好地代表帕累托前沿。对该问题采用了p算法，并给出了两个阈值向量。图7.2显示了可行目标区域内的试验点，非支配点用较粗的点表示。左边的图显示了阈值向量为$(-1,-1)^T$时获得的结果(发现了35个非主导点)，右边的图显示了阈值向量为$(-0.75,-0.75)^T$时获得的结果(发现了51个非主导点)。在第一种情况下，阈值是理想点;这种情况类似于单一目标最小化的情况，其中阈值大大低于当前记录。假设，在这种情况下，搜索策略的全局性占主导地位，并意味着所找到的非支配解的分布的一致性(在帕累托前沿)。对于更接近帕累托前沿的阈值，在更接近阈值向量的非支配点的密度增加的意义上，可以预期一些观测的局部化。图$7.2$说明了假设属性的实现

数学代写|凸优化作业代写凸优化代考|实验与算法

双目标$\pi$算法的一个版本已经实现，如第7.4.2节所述。两个arctan的乘积被用于$\pi(\cdot)$。然后将$\pi$ -算法的$n+1$步骤定义为以下优化问题
$$
\mathbf{x}{n+1}=\arg \max {\mathbf{x} \in \mathbf{A}} \arctan \left(\frac{y_1^n-m_1(\mathbf{x})}{s_1(\mathbf{x})}+\frac{\pi}{2}\right) \cdot \arctan \left(\frac{y_2^n-m_2(\mathbf{x})}{s_2(\mathbf{x})}+\frac{\pi}{2}\right),
$$
，其中在计算$m_i(\mathbf{x})=m_i\left(\mathbf{x} \mid \mathbf{x}_j, \mathbf{y}_j, j=1, \ldots, n\right)$和$s_i(\mathbf{x})=s_i\left(\mathbf{x} \mid \mathbf{x}_j, \mathbf{y}_j, j=1, \ldots, n\right)$时将考虑前面步骤收集的信息。(7.26)中的最大化是通过multistart的一个简单版本实现的:从1000个点中的最佳点(在可行区域内随机生成且分布均匀)开始，使用MATLAB优化工具箱中的代码进行局部下降。通过这个实现，我们想检验任意选择的函数$\arctan (\cdot) \cdot \arctan (\cdot)$是否可以与高斯累积分布函数一样好地构建基于统计模型的多目标优化算法。该算法版本的实验也有助于为进一步发展选择最合适的统计模型，当两个备选方案看起来具有竞争性时:基于主观概率假设的高斯随机场与统计模型[216]

已经做了一些实验，将$\pi$ -算法与7.3节描述的多目标p -算法进行比较。包括RUS从7.5.3节得到的优化结果，以突出所选测试问题的属性。通过多目标遗传算法(MATLAB实现，见[80])得到的结果也提供了比较。给出了两个例子并进行了评论;我们认为广泛的竞争性测试是不成熟的，如第7.5.1节所述

由于所考虑的方法面向的是代价昂贵的问题，我们感兴趣的是计算目标的适度数量的值所获得的结果的质量。根据上述实验的概念，所有考虑的算法的终止条件定义为目标函数值的最大计算次数为100。统计模型的参数，所需要的 $\pi$-算法，已经估计使用的样本 $\mathbf{f}(\mathbf{x})$ 的值，选择与p算法实验相似:用于前50次计算的站点 $\mathbf{f}(\mathbf{x})$ were chosen randomly with a uniform distribution over the feasible region; the obtained data were used not only for to (7.26).

$\pi$ -algorithm的一个重要参数是$\mathbf{y}^n$。向量$\mathbf{y}^n$不应该被已知值$\mathbf{y}_1, \ldots, \mathbf{y}_n$所支配。一个启发式的建议是在一个可能对称的站点上选择$\mathbf{y}^n$，相对于目标的全局最小值。我们选择了上面p算法中使用的$\mathbf{y}^n$的值:在问题(1.6)的情况下是$\mathbf{y}^n=(-0.6,-0.6)$，在问题(1.5)的情况下是$\mathbf{y}^n=(0.6,0.6)$。典型结果如图7.8所示

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。

有限元方法代写

有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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