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• Statistical Inference 统计推断
• Statistical Computing 统计计算
• (Generalized) Linear Models 广义线性模型
• Statistical Machine Learning 统计机器学习
• Longitudinal Data Analysis 纵向数据分析
• Foundations of Data Science 数据科学基础

## 物理代写|宇宙学代写cosmology代考|Densities and pressure

Weighting each state by its probability distribution, and integrating over momentum, we obtain the number density of particles
$$n(T)=\frac{g}{(2 \pi)^{3}} \int \mathrm{d}^{3} p f(p, T) .$$
Moreover, the energy density and pressure of the gas are then given by the following integrals
\begin{aligned} \rho(T) &=\frac{g}{(2 \pi)^{3}} \int \mathrm{d}^{3} p f(p, T) E(p) \ P(T) &=\frac{g}{(2 \pi)^{3}} \int \mathrm{d}^{3} p f(p, T) \frac{p^{2}}{3 E(p)} \end{aligned}
where $E(p)=\sqrt{m^{2}+p^{2}}$, if we can ignore the interaction energies between the particles. $^{5}$ The expression for the energy density should be fairly intuitive. Each momentum eigenstate is simply weighted by its energy. The origin of the factor of $p^{2} / 3 E$ in the pressure, on the other hand, requires a bit more explanation. Recall that pressure is defined as force per unit area, or momentum change per unit time per unit area. Let the momentum in the $x$-direction be $p_{x}$ per particle. This results in a change in momentum of $2\left|p_{x}\right|$ if a particle hits a perpendicular area element $\mathrm{d} A$. The volume swept out in unit time is $\left|v_{x}\right| \mathrm{d} A=\left|p_{x}\right| \mathrm{d} A / E$, so we want the average of $2 p_{x}^{2} / E$ over the distribution for particles moving in the right direction $\left(p_{x}>0\right)$, which for an isotropic distribution is $\frac{1}{2} \times 2\left\langle p_{x}^{2}\right\rangle / E=p^{2} / 3 E$.

## 物理代写|宇宙学代写cosmology代考|Non-relativistic limit

At temperatures below the particle mass, we take the limit $x \gg 1$ and the integral in (3.13) is the same for bosons and fermions
$$I_{\pm}(x) \approx \int_{0}^{\infty} \mathrm{d} \xi \frac{\xi^{2}}{e^{\sqrt{\xi^{2}+x^{2}}}} .$$
Most of the contribution to the integral comes from $\xi \ll x$ and we can Taylor expand the square root in the exponential to lowest order in $\xi$,
\begin{aligned} I_{\pm}(x) \approx \int_{0}^{\infty} \mathrm{d} \xi \frac{\xi^{2}}{e^{x+\xi^{2} /(2 x)}} &=e^{-x} \int_{0}^{\infty} \mathrm{d} \xi \xi^{2} e^{-\xi^{2} /(2 x)} \ &=(2 x)^{3 / 2} e^{-x} \int_{0}^{\infty} \mathrm{d} \xi \xi^{2} e^{-\xi^{2}} \end{aligned}
Performing the Gaussian integral, we then get
$$I_{\pm}(x)=\sqrt{\frac{\pi}{2}} x^{3 / 2} e^{-x}$$
and, using (3.18), we find
$$\frac{I_{\pm}(x)}{I_{-}(0)} \approx 0.5 x^{3 / 2} e^{-x} \ll 1 .$$
As expected, massive particles are exponentially rare at low temperatures.

# 宇宙学代考

## 物理代写|宇宙学代写cosmology代考|Densities and pressure

$$n(T)=\frac{g}{(2 \pi)^{3}} \int \mathrm{d}^{3} p f(p, T) .$$

$$\rho(T)=\frac{g}{(2 \pi)^{3}} \int \mathrm{d}^{3} p f(p, T) E(p) P(T) \quad=\frac{g}{(2 \pi)^{3}} \int \mathrm{d}^{3} p f(p, T) \frac{p^{2}}{3 E(p)}$$

## 物理代写|宇宙学代写cosmology代考|Non-relativistic limit

$$I_{\pm}(x) \approx \int_{0}^{\infty} \mathrm{d} \xi \frac{\xi^{2}}{e^{\sqrt{\xi^{2}+x^{2}}}} .$$

$$I_{\pm}(x) \approx \int_{0}^{\infty} \mathrm{d} \xi \frac{\xi^{2}}{e^{x+\xi^{2} /(2 x)}}=e^{-x} \int_{0}^{\infty} \mathrm{d} \xi \xi^{2} e^{-\xi^{2} /(2 x)} \quad=(2 x)^{3 / 2} e^{-x} \int_{0}^{\infty} \mathrm{d} \xi \xi^{2} e^{-\xi^{2}}$$

$$I_{\pm}(x)=\sqrt{\frac{\pi}{2}} x^{3 / 2} e^{-x}$$

$$\frac{I_{\pm}(x)}{I_{-}(0)} \approx 0.5 x^{3 / 2} e^{-x} \ll 1 .$$

## 有限元方法代写

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## MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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