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数学代写|密码学代写cryptography theory代考|Types of S-Boxes

The first issue to discuss is that s-boxes can be divided into two types. These two types are substitution boxes and permutation boxes. A substitution box simply substitutes input bits for output bits. A permutation box transposes the bits. It is often the case that cryptologists simply refer to an “s-box” possibly meaning either type.

Let us first consider a simple 3-bit s-box. This s-box simply performs substitution. Each 3 bits of input are mapped with the 3 bits of output. This s-box is shown in Fig. 8.1. The first bit of input is on the left, the second two bits on the top. By matching those you will identify the output bits.

For example, an input of 110 would produce an output of 100 . An input of 100 would produce an output of 101 . This s-box is very simple and does not perform any transposition. The values of output were simply chosen at random. The other general type of s-box is the p-box or permutation box. A p-box is an s-box that transposes or permutes the input bits. It may, or may not, also perform substitution. You can see a p-box in Fig. 8.2.

Of course, in the process of permutation, the bit is also substituted. For example, if the least significant bit in the input is transposed with some other bit, then the least significant bit in the output is likely to have been changed. In the literature, you will often see the term s-box used to denote either a substitution box or a permutation box. This makes complete sense when you consider that, regardless of which type it is, one inputs some bits and the output is different bits. So, for the remainder of this chapter, we simply use the term s-box to denote either a substitution or permutation box.

Whether it is a simple s-box or a p-box there are three sub-classifications: straight, compressed, and expansion. A straight s-box takes in a given number of bits and puts out the same number of bits. This is the design approach used with the Rijndael cipher. This is frankly the easiest and most common form of s-box.

A compression s-box puts out fewer bits than it takes in. A good example of this is the s-box used in DES. In the case of DES, each s-box takes in 6 bits but only outputs 4 bits. However, keep in mind that in the DES algorithm there is a bit expansion phase earlier in the round function. In that case, the 32 input bits are expanded by 16 bits to create 48 bits. So, when 8 inputs of 6 bits each are put into each DES s-box, and only 4 produced, the difference is $16(8 \mathrm{X} 2)$. Therefore, the bits being dropped off are simply those that were previously added. You can see a compression s-box in Fig. 8.3.

The third type of s-box is similar compression s-box, it is the expansion s-box. The s-box puts out more bits than it takes in. One simple method whereby this can be accomplished is by simply duplicating some of the input bits. This is shown in Fig. 8.4.

There are significant issues associated with both compression and expansion s-boxes. The first issue is reversibility, or decryption. Since either type of s-box alters the total number of bits, reversing the process is difficult. One has to be very careful in the design of such an algorithm, or it is likely that decryption will not be possible. The second issue is a loss of information, particularly with compression s-boxes. In the case of DES, prior to the s-box, certain bits are replicated. Thus, what is lost in the compression step are duplicate bits and no information is lost.

数学代写|密码学代写cryptography theory代考|Strict Avalanche Criteria

Strict Avalanche Criteria (SAC) is an important feature of an s-box (Easttom $2018 \mathrm{a}$ ). Remember from Chap. 3 that avalanche is a term that indicates that when one bit in the plaintext is changed, multiple bits in the resultant ciphertext are changed. Consider the following example:
We begin with a plaintext 10110011
Then after applying our cipher we have this text 11100100.
But what if, prior to encrypting the plaintext, we change just one bit of the plaintext. For example, the third bit from the left we have 10010011.

In a cipher with no avalanche, the resulting ciphertext would only change by one bit, perhaps 11100101 . Note that the only difference between this ciphertext and the first ciphertext is the last or least significant bit. This shows that a change of 1 bit in the plaintext only changed 1 bit in the ciphertext. That is no avalanche. However, if our algorithm has some avalanche, then changing the plaintext from
10110011 to 10010011
will change more than one bit in the ciphertext. In this case, before the change in plaintext, remember our ciphertext was:
11100100
Now, if our cipher has some avalanche, we expect more than one bit in the ciphertext to change, perhaps two bits:

Notice the second and last bits are different. So, a change in one bit of the plaintext produced a change in two bits in the ciphertext. Ideally one would like to get more avalanche than this, as much as having a change in a single bit of plaintext change $1 / 2$ the ciphertext bits. Without some level of avalanche, a cryptanalyst can examine changes in input and the corresponding changes in output and make predictions about the key. It is therefore critical that any cipher exhibit at least some avalanche.

In most block ciphers, the primary way to achieve avalanche is the use of the s-box. Strict Avalanche Criteria is one way of measuring this phenomenon. Strict Avalanche Criteria requires that for any input bit, the output bit should be changed with a probability of $0.5$. In other words, if you change any given input bit, there is a $50 / 50$ chance that the corresponding output bit will change. One measurement of strict avalanche criteria is the Hamming weight. Remember from Chap. 3 that the Hamming weight of a specific binary vector, denoted by hwt( $\mathrm{x})$, is the number of ones in that vector. Therefore, if you have an input of 8 bits with 3 one’s and an output of 4 one’s, the Hamming weight of the output is 4 . Simply measuring the Hamming weight of the input and the output and comparing them will give one indication of whether or not SAC is satisfied. This is a simple test that one should subject any s-box too.

密码学代写

数学代写|密码学代写cryptography theory代考| S-Boxes的类型

第一个要讨论的问题是s-box可以分为两种类型。这两种类型是替换框和排列框。替换框只是用输入位替换输出位。置换盒将位位进行置换。通常情况下，密码学家只是简单地提到一个“s-box”，可能意味着这两种类型中的任何一种

让我们首先考虑一个简单的3位s-box。这个s框只是执行替换。每3位输入都映射到3位输出。这个s框如图8.1所示。输入的第一个比特在左边，第二个比特在上面。通过匹配这些，您将识别输出位

例如，输入110将产生输出100。100的输入将产生101的输出。这个s-box非常简单，不执行任何换位操作。输出值只是随机选择的。另一种一般类型的s-box是p-box或排列框。p-box是一个s-box，它对输入位进行转置或排列。它也可以执行替换，也可以不执行替换。你可以在图8.2中看到一个p框

当然，在置换的过程中，位也是被替换的。例如，如果输入中的最低有效位与其他位调换了位置，那么输出中的最低有效位很可能已经被更改了。在文献中，你会经常看到s-box这个术语用来表示替换框或排列框。当你考虑到，不管它是哪种类型，一个输入的是一些位，而输出的是不同的位时，这是完全有意义的。因此，在本章的其余部分，我们只使用术语s-box来表示替换框或排列框

无论它是简单的s-box还是p-box，都有三个子分类:直的、压缩的和展开的。直s框接收的比特数和输出的比特数都是相同的。这就是Rijndael密码的设计方法。坦率地说，这是s-box最简单、最常见的形式

压缩s-box输出的比特比它吸收的比特要少。一个很好的例子是DES中使用的s-box。在DES中，每个s-box占用6位，但只输出4位。然而，请记住，在DES算法中，在轮函数的前面有一个扩展阶段。在这种情况下，32个输入位扩展16位，生成48位。因此，当每个DES s-box分别输入6位的8个输入时，只产生4个输入，其差值为$16(8 \mathrm{X} 2)$。因此，被丢弃的比特仅仅是先前添加的比特。你可以在图8.3中看到一个压缩s框

第三种s-box类似于压缩s-box，它是扩展s-box。s框输出的比特比它吸收的比特多。一个简单的方法就是复制一些输入位。如图8.4所示。

压缩和扩展s盒都存在一些重要的问题。第一个问题是可逆性或解密。因为任何一种类型的s-box都会改变总位数，所以反转这个过程是很困难的。在设计这种算法时必须非常小心，否则很可能无法解密。第二个问题是信息丢失，特别是使用压缩s框时。在DES的情况下，在s框之前，某些位被复制。因此，在压缩步骤中丢失的是重复的位，而没有丢失任何信息。

数学代写|密码学代写cryptography theory代考|Strict Avalanche Criteria

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严格雪崩标准(SAC)是s-box的一个重要特性(Easttom $2018 \mathrm{a}$)。请记住，在第3章中，雪崩是一个术语，表示当明文中的一个位发生变化时，结果密文中的多个位也会发生变化。
从明文10110011开始
然后在应用我们的密码后，我们有这个文本11100100。但如果，在加密明文之前，我们只改变明文的一个比特。例如，左边第三位是10010011.

在没有雪崩的密码中，生成的密文只会改变一个比特，可能是11100101。注意，这个密文和第一个密文之间的唯一区别是最后或最低有效位。这表明，明文中1位的变化只会改变密文中的1位。这不是雪崩。然而，如果我们的算法存在雪崩，那么将明文从
10110011更改为10010011
将改变密文中的不止一位。在这种情况下，在明文发生变化之前，记住我们的密文是:
11100100
现在，如果我们的密码有一些雪崩，我们期望密文中不止一个位发生变化，可能是两个位:< /p>

注意，第2位和最后1位是不同的。因此，明文中一个位的变化会导致密文中两个位的变化。理想情况下，人们希望得到比这更多的雪崩，就像有一个纯文本的单一位改变$1 / 2$密文位。如果没有某种程度的雪崩，密码分析师可以检查输入的变化和输出的相应变化，并对密钥做出预测。因此，任何密码至少表现出某种雪崩是至关重要的

在大多数块密码中，实现雪崩的主要方法是使用s框。“严格雪崩标准”是衡量这种现象的一种方法。严格雪崩准则要求，对于任何输入位，输出位都应该以$0.5$的概率进行更改。换句话说，如果您更改任何给定的输入位，相应的输出位将有$50 / 50$的机会更改。严格雪崩准则的一种测量方法是汉明权。还记得第三章中提到的特定二进制向量的汉明权值，用hwt($\mathrm{x})$)表示，是该向量中的1的个数。因此，如果输入是8位，有3个1，输出是4个1，输出的汉明权值是4。简单地测量输入和输出的汉明权值并进行比较，就可以给出SAC是否令人满意的一个指标。这是一个简单的测试，你也应该服从任何s-box

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金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。

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非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。

有限元方法代写

有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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