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计量经济学，对经济关系的统计和数学分析，通常作为经济预测的基础。这种信息有时被政府用来制定经济政策，也被私人企业用来帮助价格、库存和生产方面的决策。

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经济代写|计量经济学代写Econometrics代考|The Method of Maximum Likelihood

The estimation techniques we have discussed so far – least squares and instrumental variables – are applicable only to regression models. But not every model can be written so that the dependent variable is equal to a regression function plus an additive error term or so that a set of dependent variables, arranged as a vector, is equal to a vector of regression functions plus a vector of errors (see Chapter 9). If not, then least squares and instrumental variables are simply not appropriate. In this chapter, we therefore introduce a third estimation method, which is much more widely applicable than the techniques we have discussed so far, but also requires fairly strong assumptions. This is the method of maximum likelihood, or ML, estimation.

As an extreme example of how inappropriate least squares can be, consider the model
$$
y_t^\gamma=\beta_0+\beta_1 x_t+u_t, \quad u_t \sim \operatorname{IID}\left(0, \sigma^2\right),
$$
which looks almost like a regression model. This model makes sense so long as the right-hand side of $(8.01)$ is always positive, and it may even be an attractive model in certain cases. ${ }^1$ For example, suppose that the observations on $y_t$ are skewed to the right but those on $x_t$ are not. Then a conventional regression model could reconcile these two facts only if the error terms $u_t$ were right-skewed, which one would probably not want to assume and which would make the use of least squares dubious. On the other hand, the model (8.01) with $\gamma<1$ might well be able to reconcile these facts while allowing the error terms to be symmetrically distributed.

If $\gamma$ were known, (8.01) would be a regression model. But if $\gamma$ is to be estimated, (8.01) is not a regression model. As a result, it cannot sensibly be estimated by least squares. The sum-of-squares function is
$$
\operatorname{SSR}(\boldsymbol{\beta}, \gamma)=\sum_{t=1}^n\left(y_t^\gamma-\beta_0-\beta_1 x_t\right)^2,
$$
1 Strictly speaking, of course, it is impossible to guarantee that the right-hand side of (8.01) will always be positive, but this model may be regarded as a very good approximation if $\beta_0+\beta_1 x_{\ell}$ is always much larger than $\sigma$.

经济代写|计量经济学代写Econometrics代考|Fundamental Concepts and Notation

Maximum likelihood estimation depends on the notion of the likelihood of a given set of observations relative to a model, or set of DGPs. A DGP, being a stochastic process, can be characterized in a number of ways. We now develop notation in which we can readily express one such characterization that is particularly useful for present purposes. We assume that each observation in any sample of size $n$ is a realization of a random variable $y_t, t=1, \ldots, n$, taking values in $\mathbb{R}^m$. Although the notation $y_t$ ignores the possibility that the observation is in general a vector, it is more convenient to let the vector notation $\boldsymbol{y}$ (or $\boldsymbol{y}^n$ if we wish to make the sample size explicit) denote the entire sample. Thus
$$
\boldsymbol{y}^n=\left[\begin{array}{l:l:l:l}
y_1 & y_2 & \cdots & y_n
\end{array}\right]
$$
If each observation is a scalar, $\boldsymbol{y}$ is an $n$-vector, while if each observation is an $m$-vector, $\boldsymbol{y}$ is an $n \times m$ matrix. The vector or matrix $\boldsymbol{y}$ may possess a probability density, namely, the joint density of its elements under the DGP. This density, if it exists, is a map to the real line from the set of possible realizations of $\boldsymbol{y}$, a set that we will denote by $\mathrm{y}^n$ and that is in general an arbitrary subset of $\mathbb{R}^{n m}$. It will be necessary to exercise some care over the definition of the density in certain cases, but for the present it is enough to suppose that it is the ordinary density with respect to Lebesgue measure on $\mathbb{R}^{n m} \cdot 3$ When other possibilities exist, it will turn out that the choice among them is irrelevant for our purposes.

We may now define formally the likelihood function associated with a given model for a given sample $\boldsymbol{y}$. This function is a function of both the parameters of the model and the given data set $\boldsymbol{y}$; its value is just the density associated with the DGP characterized by the parameter vector $\boldsymbol{\theta} \in \Theta$, evaluated at the sample point $\boldsymbol{y}$. Here $\Theta$ denotes the parameter space in which the parameter vector $\theta$ lies; we will assume that it is a subset of $\mathbb{R}^k$. We will denote the likelihood function by $L: y^n \times \Theta \rightarrow \mathbb{R}$ and its value for $\boldsymbol{\theta}$ and $\boldsymbol{y}$ by $L(\boldsymbol{y}, \boldsymbol{\theta})$. In many practical cases, such as the one examined in the preceding section, the $y_t$ ‘s are independent and each $y_t$ has probability density $L_t\left(y_t, \boldsymbol{\theta}\right)$. The likelihood function for this special case is then
$$
L(\boldsymbol{y}, \boldsymbol{\theta})=\prod_{t=1}^n L_t\left(y_t, \boldsymbol{\theta}\right) .
$$
The likelihood function (8.03) of the preceding section is evidently a special case of this special case. When each of the $y_t$ ‘s is identically distributed with density $f\left(y_t, \boldsymbol{\theta}\right)$, as in that example, $L_t\left(y_t, \boldsymbol{\theta}\right)$ is equal to $f\left(y_t, \boldsymbol{\theta}\right)$ for all $t$.

计量经济学代考

经济代写|计量经济学代写econometrics代考|The Method of The Maximum Likelihood

到目前为止我们讨论的估计技术-最小二乘和工具变量-只适用于回归模型。但并不是每个模型都可以写成因变量等于一个回归函数加上一个附加误差项，或者一组因变量，排列成一个向量，等于一个回归函数的向量加上一个误差向量(见第9章)。如果不是这样，那么最小二乘和工具变量就是不合适的。因此，在本章中，我们将介绍第三种估计方法，它比我们迄今为止讨论的技术更适用，但也需要相当强的假设。这就是最大似然估计(ML)方法

作为最小二乘的不恰当程度的一个极端例子，考虑模型
$$
y_t^\gamma=\beta_0+\beta_1 x_t+u_t, \quad u_t \sim \operatorname{IID}\left(0, \sigma^2\right),
$$
，它看起来几乎像一个回归模型。只要$(8.01)$的右边总是正的，这个模型就有意义，在某些情况下，它甚至可能是一个有吸引力的模型。${ }^1$例如，假设$y_t$上的观察结果向右倾斜，而$x_t$上的观察结果没有。传统的回归模型只有在误差项$u_t$是右偏的情况下才能调和这两个事实，这可能是人们不希望假设的，并且会使最小二乘的使用令人怀疑。另一方面，带有$\gamma<1$的模型(8.01)可能很好地调和了这些事实，同时允许错误项对称分布

If $\gamma$ 如果已知，(8.01)将是一个回归模型。但是如果 $\gamma$ 是估计的，(8.01)不是一个回归模型。因此，它不能合理地用最小二乘估计。平方和函数是
$$
\operatorname{SSR}(\boldsymbol{\beta}, \gamma)=\sum_{t=1}^n\left(y_t^\gamma-\beta_0-\beta_1 x_t\right)^2,
$$当然，严格地说，不可能保证(8.01)的右边总是正的，但是这个模型可以被认为是一个非常好的近似，如果 $\beta_0+\beta_1 x_{\ell}$ 总是比 $\sigma$.

经济代写|计量经济学代写econometrics代考|基本概念和符号

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最大似然估计依赖于给定观察集相对于模型或DGPs集的似然概念。DGP是一个随机过程，可以用许多方法来表征。我们现在开发了一种表示法，我们可以很容易地用它来表示对目前的目的特别有用的一个这样的描述。我们假设大小为$n$的任何样本中的每个观察结果都是随机变量$y_t, t=1, \ldots, n$的实现，该变量取$\mathbb{R}^m$中的值。尽管表示$y_t$忽略了观察结果通常是一个向量的可能性，但更方便的方法是用表示整个样本的向量表示$\boldsymbol{y}$(或$\boldsymbol{y}^n$，如果我们希望明确表示样本的大小)。
$$
\boldsymbol{y}^n=\left[\begin{array}{l:l:l:l}
y_1 & y_2 & \cdots & y_n
\end{array}\right]
$$
如果每个观察结果是一个标量，$\boldsymbol{y}$是一个$n$ -向量，而如果每个观察结果是一个$m$ -向量，$\boldsymbol{y}$是一个$n \times m$矩阵。向量或矩阵$\boldsymbol{y}$可能具有一个概率密度，即DGP下其元素的联合密度。这个密度，如果它存在，就是从$\boldsymbol{y}$的可能实现集到实线的映射，是一个集合，我们用$\mathrm{y}^n$来表示，它通常是$\mathbb{R}^{n m}$的任意子集。在某些情况下，有必要对密度的定义进行一些注意，但就目前而言，假设它是$\mathbb{R}^{n m} \cdot 3$上关于勒贝格测度的普通密度就足够了。当存在其他可能性时，结果将证明在它们之间的选择与我们的目的无关

我们现在可以正式地定义与给定样本的给定模型相关的似然函数 $\boldsymbol{y}$。该函数是模型参数和给定数据集的函数 $\boldsymbol{y}$;它的值就是由参数向量表征的DGP相关的密度 $\boldsymbol{\theta} \in \Theta$，在样本点处求值 $\boldsymbol{y}$。这里 $\Theta$ 表示参数向量所在的参数空间 $\theta$ 谎言;我们假设它是 $\mathbb{R}^k$。我们把似然函数表示为 $L: y^n \times \Theta \rightarrow \mathbb{R}$ 它的价值 $\boldsymbol{\theta}$ 和 $\boldsymbol{y}$ 通过 $L(\boldsymbol{y}, \boldsymbol{\theta})$。在许多实际情况中，例如前一节所讨论的情况 $y_t$ 的是独立的，每个 $y_t$ 有概率密度 $L_t\left(y_t, \boldsymbol{\theta}\right)$。这种特殊情况的似然函数为
$$
L(\boldsymbol{y}, \boldsymbol{\theta})=\prod_{t=1}^n L_t\left(y_t, \boldsymbol{\theta}\right) .
$$上一节的似然函数(8.03)显然是这个特例中的特例。当每一个 $y_t$ 的密度与密度分布相同 $f\left(y_t, \boldsymbol{\theta}\right)$，就像在那个例子中， $L_t\left(y_t, \boldsymbol{\theta}\right)$ 等于 $f\left(y_t, \boldsymbol{\theta}\right)$ 为所有人 $t$.

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。

有限元方法代写

有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写

随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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