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电磁学是电荷、磁矩和电磁场之间的物理互动。电磁场可以是静态的,缓慢变化的,或形成波。电磁波一般被称为光,遵守光学定律。

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物理代写|电磁学代写electromagnetism代考|PHYC20011

物理代写|电磁学代写electromagnetism代考|Tangential Trace Revisited

Below, the tangential trace of elements of $\boldsymbol{H}(\mathbf{c u r l}, \Omega)$ is scrutinized, and refined generalized integration by parts à la (2.27) is established, involving two vector fields of $\boldsymbol{H}$ (curl, $\Omega$ ). Indeed, in the case of the tangential trace, the mapping $\gamma \tau$ from $\boldsymbol{H}($ curl, $\Omega)$ to $\boldsymbol{H}^{-1 / 2}(\Gamma)$ is not surjective. This seems obvious, since one has $(\gamma \top \boldsymbol{f}) \cdot \boldsymbol{n}=0$ in some sense, for instance, as soon as a pointwise $\gamma \top \boldsymbol{f}$ exists. But there are also more profound arguments, which allow us to prove that, even when one considers only the set of vector fields on $\Gamma$ that are orthogonal to $\boldsymbol{n}$, the mapping is nevertheless not surjective $[5,65,66,72]$.

In order to prove this, together with a number of useful results, let us consider, for simplicity, the case of a polyhedral domain, still called $\Omega$, with the notations of Definition 2.1.54. We follow here the path chosen by A. Buffa and the second author in [65, 66], where the case of a curved polyhedron is also addressed. Again for simplicity, we assume that its boundary $\Gamma$ is topologically trivial (the notion is defined in Sect. 3.2). See [64] for a topologically non-trivial boundary: in this case, decompositions of function spaces have to be modified, with the addition of a third-finite-dimensional-vector subspace. Along the way, representative proofs, establishing the continuity of the mappings, are provided. On the other hand, the results relating the surjectivity of the mappings are stated without proof. In the more general case of a domain, the reader is referred to $[68,188]$.

Looking at the integration-by-parts formula (2.27), it is clear that the normal component of $g$ does not play any role in the formula. Therefore, one can concentrate on the tangential components only.

Definition 3.1.1 Let $f$ be a smooth vector function defined on $\bar{\Omega}$. Its tangential components trace $\boldsymbol{n} \times(\boldsymbol{f} \times \boldsymbol{n}){\left.\right|{\Gamma}}$ on the houndary $\Gamma$ is denoted hy $\pi_{\top} \boldsymbol{f}$, and $\pi_{\top}$ is called the tangential components trace mapping.

In order to define the actual range of $\pi_{\top}$, starting from $\boldsymbol{H}^1(\Omega)$, let us introduce some spaces of vector fields, defined on $\Gamma$.

物理代写|电磁学代写electromagnetism代考|Scalar and Vector Potentials: The Analyst’s and Topologist’s Points of View

We discuss two different mathematical points of view, namely the analyst’s and topologist’s, concerning the existence of potentials for curl-free fields. We then reconcile these two points of view and define a general framework.
For the analyst [124], the main issue is the regularity of the boundary. Accordingly, the analyst’s hypothesis on $\Omega$ is:
(Ana) ” $\Omega$ is an open set of $\mathbb{R}^3$ with a Lipschitz boundary”.
For the topologist $[126,127]$, the main issue is (co)homology and, of particular interest for our purpose, the existence of single-valued potentials to curl-free smooth fields. In other words, given a vector field $v$ defined on $\Omega$ such that $\operatorname{curl} v=0$ in $\Omega$, does there exist a continuous single-valued function $p$ such that $\boldsymbol{v}=\operatorname{grad} p$ ? The answer to this question can be found in (co)homology theory, which results in the topologist’s dual hypothesis:
either (Top) $){I=0} \quad$ “given any vector field $v \in \boldsymbol{C}^1(\Omega)$ such that curl $v=0$ in $\Omega$, there exists $p \in C^0(\Omega)$ such that $v=\operatorname{grad} p$ on $\Omega^{\prime \prime}$; or $\quad(\text { Top }){I>0} \quad$ “there exist I non-intersecting manifolds, $\Sigma_1, \ldots, \Sigma_I$, with boundaries $\partial \Sigma_i \subset \Gamma$ such that, if we let $\dot{\Omega}=\Omega \backslash \bigcup_{i=1}^l \Sigma_i$, given any vector field $v \in C^1(\Omega)$ such that curl $v=0$ in $\Omega$, there exists $\dot{p} \in C^0(\dot{\Omega})$ such that $v=\operatorname{grad} \dot{p}$ on $\Omega^{\prime \prime}$.
Here, $I$ is equal to the minimal number of required cuts $\left(\Sigma_i\right)_i$. Mathematically, $I$ is equal to $\beta_1(\Omega)$, the first Betti number. Note that according to the above, $I=0$ is an admissible value, in which case the existence of continuous single-valued potentials is guaranteed on $\Omega$, whereas $I>0$ corresponds to the case when cuts must be introduced. This is the reason why we use the notations $(\mathbf{T o p}){I=0}$ and (Top) $I>0$ to discriminate the two cases. When $I=0$, the set $\Omega$ is said to be topologically trivial. Remark 3.2.1 Recall that, according to homotopy theory, a connected set is simply connected if every closed curve can be contracted to a point via continuous transformations. It is often assumed that each connected component of $\Omega$ must be simply connected to guarantee the existence of the continuous single-valued potential: in other words, one usually states in (Top) $){I=0}$ (respectively $(\text { Top })_{I>0}$ ) that $\Omega$ (respectively $\dot{\Omega}$ ) is simply connected. However, this property is only a sufficient condition and, from a topologist’s point of view [126], the correct assumption is of a (co)homological nature, cf. (Top) as stated above.

物理代写|电磁学代写electromagnetism代考|PHYC20011

电磁学代考

物理代写|电磁学代写electromagnetism代考|Tangential Trace Revisited

下面是元素的切线轨迹 $\boldsymbol{H}(\operatorname{curl}, \Omega$ ) 仔细检查,并通过部分 à la (2.27) 建立了精细的广义积分,涉及两个向量场 $\boldsymbol{H}$ (卷曲, $\Omega$ ) 。实际上,在切线轨 迹的情况下,映射 $\gamma \tau$ 从 $\boldsymbol{H}$ (卷曲, $\Omega$ )至 $\boldsymbol{H}^{-1 / 2}(\Gamma)$ 不是主观的。这似乎很明显,因为有 $(\gamma \top \boldsymbol{f}) \cdot \boldsymbol{n}=0$ 在某种意义上,例如,一旦逐点 $\gamma \top \boldsymbol{f}$ 存在。但 也有更深刻的论据,这使我们能够证明,即使只考虑向量场的集合 $\Gamma$ 正交于 $\boldsymbol{n}$ ,映射仍然不是满射的 $[5,65,66,72]$.
为了证明这一点,连同一些有用的结果,为简单起见,让我们考虑一个多面体域的情况,仍然称为 $\Omega$ ,使用定义 $2.1 .54$ 的符号。我们在这里遵循 $A$. Buffa 和第二作者在 [65,66] 中选择的路径,其中还解决了弯曲多面体的情况。再次为简单起见,我们假设它的边界 $\Gamma$ 在拓扑上是微不足道的(这个 概念在第 $3.2$ 节中定义)。有关拓扑非平凡边界,请参见 [64]:在这种情况下,必须修改函数空间的分解,并添加第三有限维向量子空间。在此过程 中,提供了建立映射连续性的代表性证明。另一方面,有关映射的满射性的结果是在没有证据的情况下陈述的。在更一般的领域情况下,读者被称为 $[68,188]$.
查看按部分积分公式 (2.27),很明显,g在公式中没有任何作用。因此,可以只关注切向分量。 《伽玛isdenotedhy $\backslash$ pi_{top} \boldsymbol{f}, and \pi_{top}\$ 称为切向分量轨迹映射。
为了定义实际的范围 $\pi_T$ ,从…开始 $\boldsymbol{H}^1(\Omega)$ ,让我们介绍一些向量场空间,定义在 $\Gamma$.

物理代写|电磁学代写electromagnetism代考|Scalar and Vector Potentials: The Analyst’s and Topologist’s Points of View

我们讨论了两种不同的数学观点,即分析师的和拓扑学家的,关于无旋场势的存在。然后我们调和这两种观点并定义一个通用框架。 对于分析师 [124],主要问题是边界的规律性。因此,分析师的假设 $\Omega$ 是: ( 安娜) ” $\Omega$ 是一个开集 $\mathbb{R}^3$ 具有 Lipschitz 边界”。
对于拓扑学家 $[126,127]$ ,主要问题是 (共) 同调性,并且对我们的目的特别感兴趣,单值势的存在无卷曲平滑场。换句话说,给定一个向量场 $v$ 定 义于 $\Omega$ 这样 $\operatorname{curl} v=0$ 在 $\Omega$ ,是否存在一个连续的单值函数 $p$ 这样 $\boldsymbol{v}=\operatorname{grad} p$ ? 这个问题的答案可以在 (共) 同调理论中找到,这导致了拓扑学家的对 偶假设:
要么 (上) ) $I=0$ “给定任何向量场 $v \in \boldsymbol{C}^1(\Omega)$ 这样卷曲 $v=0$ 在 $\Omega$ ,那里存在 $p \in C^0(\Omega)$ 这样 $v=\operatorname{grad} p$ 上 $\Omega^{\prime \prime}$; 或者 ( Top ) $I>0$ “存在我 不相交的流形, $\Sigma_1, \ldots, \Sigma_I$, 有边界 $\partial \Sigma_i \subset \Gamma$ 这样,如果我们让 $\dot{\Omega}=\Omega \backslash \bigcup_{i=1}^l \Sigma_i$ ,给定任何向量场 $v \in C^1(\Omega)$ 这样卷曲 $v=0$ 在 $\Omega$ ,那里存在 $\dot{p} \in C^0(\dot{\Omega})$ 这样 $v=\operatorname{grad} \dot{p}$ 上 $\Omega^{\prime \prime}$.
这里,I等于所需切割的最小数量 $\left(\Sigma_i\right)_i$. 数学上, $I$ 等于 $\beta_1(\Omega)$ ,第一个贝蒂数。请注意,根据上述, $I=0$ 是一个可接受的值,在这种情况下,连续 单值势的存在保证 $\Omega$ ,然而 $I>0$ 对应于必须引入削减的情况。这就是我们使用符号的原因 (Top) $I=0$ 和 (上) $I>0$ 区分这两种情况。什么时候 $I=0$, 集合 $\Omega$ 据脱是拓扑平凡的。备注 3.2.1 回想一下,根据同伦理论,如果每条闭合曲线都可以通过连续变换收缩到一个点,则一个连通集是简单 连通的。通常假设每个连通分量 $\Omega$ 必须简单连接以保证连续单值电位的存在: 换句话说,通常在 $(T \mathrm{Top})) I=0$ (分别 $(\mathrm{Top})$ ) $I>0$ ) 那 $\Omega$ (分别 $\Omega$ ) 是简 单连接的。然而,这个性质只是一个充分条件,从拓扑学家的角度来看[126],正确的假设是 (共) 同调性质的,参见。(上)如上所述。

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题,以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法,其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型;这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型(GLM)归属统计学领域,是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型(GLM)通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归,以及方差分析和方差分析(仅含固定效应)。

有限元方法代写

有限元方法(FEM)是一种流行的方法,用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法,用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程(即一些边界值问题)。为了解决一个问题,有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分,称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的,它是通过构建对象的网格来实现的:用于求解的数值域,它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统,以模拟整个问题。然后,有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写


随机微积分是数学的一个分支,对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程,是依赖于参数的一组随机变量的全体,参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现,其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值(如1秒,5分钟,12小时,7天,1年),因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中,往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录,以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进(Multiple Regression Analysis Asymptotics)属于计量经济学领域,主要是一种数学上的统计分析方法,可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系,在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中,其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括:数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发,包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统,其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题,尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题,而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问,这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展,得到了许多用户的投入。在大学环境中,它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域,MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要,工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数(M 文件)的综合集合,可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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