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• Statistical Inference 统计推断
• Statistical Computing 统计计算
• (Generalized) Linear Models 广义线性模型
• Statistical Machine Learning 统计机器学习
• Longitudinal Data Analysis 纵向数据分析
• Foundations of Data Science 数据科学基础

## 物理代写|电磁学代写electromagnetism代考|Some Potential Theory

We have seen that the equation
$$\nabla^2 \phi(\mathbf{x})=-4 \pi \rho(\mathbf{x})$$ has the particular solution
$$\phi(\mathbf{x})=\int d \tau \frac{\rho\left(\mathbf{x}^{\prime}\right)}{\left|\mathbf{x}-\mathbf{x}^{\prime}\right|}$$
To find other solutions, we may add to the expression above any solution of the Laplace equation
$$\nabla^2 \phi(\mathbf{x})=0$$
Examples of solutions of the Laplace equation are given next.
(1) Expressions of the type
$$\sin k_1 x \sin k_2 y \sinh k_3 z$$
which are solutions, provided
$$-k_1^2-k_2^2+k_3^2=0$$
(2) Polynomial solutions
$$\phi^l(x, y, z)=\sum_{n_1+n_2+n_3=l} C_{n_1 n_2 n_3} x^{n_1} y^{n_2} z^{n_3}$$
These solutions are homogeneous polynomials of rank $l$. There are $(1 / 2)\left(l^2+3 l+2\right)$ possible $x^{n_1} y^{n_2} z^{n_3}$ products with $n_1+n_2+n_3=l$ (three for $l=1$, six for $l=2$, ten for $l=3$, and so on). The conditions on these polynomials are
$$\nabla^2 \phi^l=0$$
$\nabla^2 \phi^l$ are homogeneous polynomials of rank $l-2$; there are
$$\frac{1}{2}\left[(l-2)^2+3(l-2)+2\right]$$
such polynomials, all equal to zero.

## 物理代写|电磁学代写electromagnetism代考|The Mean Value Theorem

The second form of Green’s theorem [see Eq. (1.4.20)] gives us
$$\int_V d \tau\left(\psi \nabla^2 \phi-\phi \nabla^2 \psi\right)=\int_S d S\left(\psi \frac{\partial \phi}{\partial n}-\phi \frac{\partial \psi}{\partial n}\right)$$
for two functions $\psi$ and $\phi$. If we assume that
\begin{aligned} \nabla^2 \phi(\mathbf{x}) &=0 \ \psi &=\mathrm{const} \end{aligned}
relation (2.7.1) gives
$$\int_S d S \frac{\partial \phi}{\partial n}=0$$
If we assume that
\begin{aligned} \nabla^2 \phi &=0 \ \psi &=\frac{1}{r}=\frac{1}{\left|\mathbf{x}-\mathbf{x}_0\right|} \end{aligned}
relation (2.7.1) gives, for a spherical volume of radius $R$ around $\mathbf{x}_0$,
\begin{aligned} \int_V d \tau\left(\frac{1}{r} \nabla^2 \phi-\phi \nabla^2 \frac{1}{r}\right) &=\int_S d S\left(\frac{1}{R} \frac{\partial \phi}{\partial n}+\phi \frac{1}{R^2}\right) \ \int_V d \tau 4 \pi \delta\left(\mathbf{x}-\mathbf{x}_0\right) \phi(\mathbf{x}) &=\int_S \frac{d S}{R^2} \phi(S) \end{aligned}
or
$$\phi\left(\mathbf{x}_0\right)=\frac{1}{4 \pi R^2} \int_S d S \phi(S)$$
This relation expresses the mean value theorem, which can also be stated as follows: for charge-free space the value of the electrostatic potential at any point is equal to the average of the potential over a sphere centered on that point. Several conclusions can be derived from this theorem:
(1) If $\nabla^2 \phi(\mathbf{x})=0$ in a spherical volume $V$, the maximum value of $\phi(\mathbf{x})$ is on the boundaries of $V$. If the maximum value were in the center, all the values on the surface would be smaller, and this would not be in accordance with the mean value theorem.

# 电磁学代考

## 物理代写|电磁学代写electromagnetism代考|Some Potential Theory

$$\phi(\mathbf{x})=\int d \tau \frac{\rho\left(\mathbf{x}^{\prime}\right)}{\left|\mathbf{x}-\mathbf{x}^{\prime}\right|}$$

$$\nabla^2 \phi(\mathbf{x})=0$$

(1) 类型的表达式
$$\sin k_1 x \sin k_2 y \sinh k_3 z$$

$$-k_1^2-k_2^2+k_3^2=0$$
(2) 多项式解
$$\phi^l(x, y, z)=\sum_{n_1+n_2+n_3=l} C_{n_{11} n_2 3^3} x^{n_1} y^{n_2} z^{n_3}$$

$$\nabla^2 \phi^l=0$$

## 物理代写|电磁学代写electromagnetism代考|The Mean Value Theorem

$$\int_V d \tau\left(\psi \nabla^2 \phi-\phi \nabla^2 \psi\right)=\int_S d S\left(\psi \frac{\partial \phi}{\partial n}-\phi \frac{\partial \psi}{\partial n}\right)$$

$$\nabla^2 \phi(\mathbf{x})=0 \psi \quad=\text { const }$$

$$\int_S d S \frac{\partial \phi}{\partial n}=0$$

$$\nabla^2 \phi=0 \psi \quad=\frac{1}{r}=\frac{1}{\left|\mathbf{x}-\mathbf{x}_0\right|}$$

$$\int_V d \tau\left(\frac{1}{r} \nabla^2 \phi-\phi \nabla^2 \frac{1}{r}\right)=\int_S d S\left(\frac{1}{R} \frac{\partial \phi}{\partial n}+\phi \frac{1}{R^2}\right) \int_V d \tau 4 \pi \delta\left(\mathbf{x}-\mathbf{x}_0\right) \phi(\mathbf{x}) \quad=\int_S \frac{d S}{R^2} \phi(S)$$

$$\phi\left(\mathbf{x}_0\right)=\frac{1}{4 \pi R^2} \int_S d S \phi(S)$$

## 有限元方法代写

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## MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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