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## 物理代写|电磁学代写electromagnetism代考|Electromagnetic Plane Waves

Let us study a particular class of periodic solutions to Maxwell’s equations, the plane waves solutions, in a homogeneous medium (again, $\mathbb{R}^3$ ).

Introduce the time-space Fourier Transform of complex-valued fields, for instance,
$$\tilde{\boldsymbol{E}}\left(\omega^{\prime}, \boldsymbol{k}^{\prime}\right)=(2 \pi)^{-4} \int_{\boldsymbol{y} \in \mathbb{R}^3} \int_{s \in \mathbb{R}} \boldsymbol{E}^c(s, \boldsymbol{y}) \exp \left(-\imath\left(\boldsymbol{k}^{\prime} \cdot \boldsymbol{y}-\omega^{\prime} s\right)\right) d s d \boldsymbol{y} .$$
The plane waves can be viewed as the reverse time-space Fourier transform of fields, which possess the following form in the phase space $\left(\omega^{\prime}, \boldsymbol{k}^{\prime}\right)$ :
$\tilde{\boldsymbol{E}}\left(\omega^{\prime}, \boldsymbol{k}^{\prime}\right)=\boldsymbol{E}_0 \delta\left(\omega^{\prime}-\omega\right) \otimes \delta\left(\boldsymbol{k}^{\prime}-\boldsymbol{k}\right), \quad \tilde{\boldsymbol{B}}\left(\omega^{\prime}, \boldsymbol{k}^{\prime}\right)=\boldsymbol{B}_0 \delta\left(\omega^{\prime}-\omega\right) \otimes \delta\left(\boldsymbol{k}^{\prime}-\boldsymbol{k}\right) .$
( $\boldsymbol{E}_0$ and $\boldsymbol{B}_0$ both belong to $\mathbb{C}^3$, and $\boldsymbol{k}$ is a vector of $\mathbb{R}^3$, called the wave vector).
From the above, we deduce that the complex-valued plane waves consist of solutions of the form
\begin{aligned} \boldsymbol{E}^c(t, \boldsymbol{x}) &=\boldsymbol{E}_0 \exp (t(\boldsymbol{k} \cdot \boldsymbol{x}-\omega t)), \ \boldsymbol{B}^c(t, \boldsymbol{x}) &=\boldsymbol{B}_0 \exp (t(\boldsymbol{k} \cdot \boldsymbol{x}-\omega t)) \end{aligned}
We keep the convention, according to which the physical electromagnetic fields are obtained by taking the real part of (1.64-1.65): for instance,
$$\frac{1}{2}\left{\boldsymbol{E}_0 \exp (t(\boldsymbol{k} \cdot \boldsymbol{x}-\omega t))+\overline{\boldsymbol{E}}_0 \exp (-t(\boldsymbol{k} \cdot \boldsymbol{x}-\omega t))\right} .$$
Again, the pulsation $\omega$ takes only positive values.

## 物理代写|电磁学代写electromagnetism代考|Electromagnetic Plane Waves Inside a Conductor

Let us focus on the time-harmonic Maxwell equations inside an inhomogeneous conductor. In this case, it holds that $j(x)=\sigma(x) e(x)$, in the absence of an externally imposed current. The time-harmonic Maxwell equations (1.52-1.55) become
\begin{aligned} \imath \omega \varepsilon_\sigma \boldsymbol{e}+\operatorname{curl}\left(\mu^{-1} \boldsymbol{b}\right) &=0, \ -\imath \omega \boldsymbol{b}+\operatorname{curl} \boldsymbol{e} &=0, \ \operatorname{div} \varepsilon_\sigma \boldsymbol{e} &=0, \ \operatorname{div} \boldsymbol{b} &=0, \end{aligned}
with the complex-valued $\varepsilon_\sigma=\varepsilon+\imath \sigma \omega^{-1}$. From now on, the medium is assumed to be spatially homogeneous. Consider an electromagnetic plane wave as in (1.641.65), that is, $\boldsymbol{e}(\boldsymbol{x})=\boldsymbol{E}0 \exp (l \boldsymbol{k} \cdot \boldsymbol{x})$ and $\boldsymbol{b}(\boldsymbol{x})=\boldsymbol{B}_0 \exp (l \boldsymbol{k} \cdot \boldsymbol{x})$, with $\boldsymbol{k} \in \mathbb{C}^3$ of the form $\boldsymbol{k}=k \boldsymbol{d}$, where $\boldsymbol{d}$ is a real unit vector and $k=k{+}+\imath k_{-} \in \mathbb{C}$. Note that one can write
$$\exp (t(\boldsymbol{k} \cdot \boldsymbol{x}-\omega t))=\exp \left(-k_{-} \boldsymbol{d} \cdot \boldsymbol{x}\right) \exp \left(t\left(k_{+} \boldsymbol{d} \cdot \boldsymbol{x}-\omega t\right)\right),$$
so $d$ can be considered as the actual direction of propagation, if $k_{+}>0$. This is the convention we adopt below.

# 电磁学代考

## 物理代写|电磁学代写electromagnetism代考|Electromagnetic Plane Waves

$$\tilde{\boldsymbol{E}}\left(\omega^{\prime}, \boldsymbol{k}^{\prime}\right)=(2 \pi)^{-4} \int_{\boldsymbol{y} \in \mathbb{R}^3} \int_{s \in \mathbb{R}} \boldsymbol{E}^c(s, \boldsymbol{y}) \exp \left(-\imath\left(\boldsymbol{k}^{\prime} \cdot \boldsymbol{y}-\omega^{\prime} s\right)\right) d s d \boldsymbol{y} .$$

$\tilde{\boldsymbol{E}}\left(\omega^{\prime}, \boldsymbol{k}^{\prime}\right)=\boldsymbol{E}_0 \delta\left(\omega^{\prime}-\omega\right) \otimes \delta\left(\boldsymbol{k}^{\prime}-\boldsymbol{k}\right), \quad \tilde{\boldsymbol{B}}\left(\omega^{\prime}, \boldsymbol{k}^{\prime}\right)=\boldsymbol{B}_0 \delta\left(\omega^{\prime}-\omega\right) \otimes \delta\left(\boldsymbol{k}^{\prime}-\boldsymbol{k}\right) .$
( $\boldsymbol{E}_0$ 和 $\boldsymbol{B}_0$ 都属于 $\mathbb{C}^3$ ，和 $\boldsymbol{k}$ 是一个向量 $\mathbb{R}^3$ ，称为波矢量)。

$$\boldsymbol{E}^c(t, \boldsymbol{x})=\boldsymbol{E}_0 \exp (t(\boldsymbol{k} \cdot \boldsymbol{x}-\omega t)), \boldsymbol{B}^c(t, \boldsymbol{x}) \quad=\boldsymbol{B}_0 \exp (t(\boldsymbol{k} \cdot \boldsymbol{x}-\omega t))$$

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## 物理代写|电磁学代写electromagnetism代考|Electromagnetic Plane Waves Inside a Conductor

$$\imath \omega \varepsilon_\sigma \boldsymbol{e}+\operatorname{curl}\left(\mu^{-1} \boldsymbol{b}\right)=0,-\imath \omega b+\operatorname{curl} \boldsymbol{e} \quad=0, \operatorname{div} \varepsilon_\sigma \boldsymbol{e}=0, \operatorname{div} \boldsymbol{b}=0$$

$$\exp (t(\boldsymbol{k} \cdot \boldsymbol{x}-\omega t))=\exp \left(-k_{-} \boldsymbol{d} \cdot \boldsymbol{x}\right) \exp \left(t\left(k_{+} \boldsymbol{d} \cdot \boldsymbol{x}-\omega t\right)\right),$$

## 有限元方法代写

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## MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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