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数学代写|基础数据分析代写Elementary data Analysis代考|Collinearity
The formula $\beta=\mathbf{v}^{-1} \operatorname{Cov}[\vec{X}, Y]$ makes no sense if $\mathbf{v}$ has no inverse. This will happen if, and only if, the predictor variables are linearly dependent on each other – if one of the predictors is really a linear combination of the others. Then (as we learned in linear algebra) the covariance matrix is of less than “full rank” (i.e., “rank deficient”) and it doesn’t have an inverse. Equivalently, $v$ has at least one eigenvalue which is exactly zero.
So much for the algebra; what does that mean statistically? Let’s take an easy case where one of the predictors is just a multiple of the others – say you’ve included people’s weight in pounds $\left(X_1\right)$ and mass in kilograms $\left(X_2\right)$, so $X_1=2.2 X_2$. Then if we try to predict $Y$, we’d have
$$
\begin{aligned}
\widehat{\mu}(\vec{X}) &=\beta_1 X_1+\beta_2 X_2+\beta_3 X_3+\ldots+\beta_p X_p \
&=0 X_1+\left(2.2 \beta_1+\beta_2\right) X_2+\sum_{i=3}^p \beta_i X_i \
&=\left(\beta_1+\beta_2 / 2.2\right) X_1+0 X_2+\sum_{i=3}^p \beta_i X_i \
&=-2200 X_1+\left(1000+\beta_1+\beta_2\right) X_2+\sum_{i=3}^p \beta_i X_i
\end{aligned}
$$
In other words, because there’s a linear relationship between $X_1$ and $X_2$, we make the coefficient for $X_1$ whatever we like, provided we make a corresponding adjustment to the coefficient for $X_2$, and it has no effect at all on our prediction. So rather than having one optimal linear predictor, we have infinitely many of them. ${ }^3$
There are three ways of dealing with collinearity. One is to get a different data set where the predictor variables are no longer collinear. A second is to identify one of the collinear variables (it usually doesn’t matter which) and drop it from the data set. This can get complicated; principal components analysis (Chapter 16) can help here. Thirdly, since the issue is that there are infinitely many different coefficient vectors which all minimize the MSE, we could appeal to some extra principle, beyond prediction accuracy, to select just one of them. We might, for instance, prefer smaller coefficient vectors (all else being equal), or ones where more of the coefficients were exactly zero. Using some quality other than the squared error to pick out a unique solution is called “regularizing” the optimization problem, and a lot of attention has been given to regularized regression, especially in the “high dimensional” setting where the number of coefficients is comparable to, or even greater than, the number of data points. See Appendix H.5.5, and exercise 2 in Chapter 8.
数学代写|基础数据分析代写Elementary data Analysis代考|The Prediction and Its Error
Once we have coefficients $\beta$, we can use them to make predictions for the expected value of $Y$ at arbitrary values of $\vec{X}$, whether we’ve an observation there before or not. How good are these?
If we have the optimal coefficients, then the prediction error will be uncorrelated with the predictor variables:
$$
\begin{aligned}
\operatorname{Cov}[Y-\vec{X} \cdot \beta, \vec{X}] &=\operatorname{Cov}[Y, \vec{X}]-\operatorname{Cov}\left\vec{X} \cdot\left(\mathbf{v}^{-1} \operatorname{Cov}[\vec{X}, Y]\right), \vec{X}\right \
&=\operatorname{Cov}[Y, \vec{X}]-\mathbf{v v}^{-1} \operatorname{Cov}[Y, \vec{X}] \
&=0
\end{aligned}
$$
Moreover, the expected prediction error, averaged over all $\vec{X}$, will be zero (Exercise
2). In general, however, the conditional expectation of the error is not zero,
$$
\mathbb{E}[Y-\vec{X} \cdot \beta \mid \vec{X}=\vec{x}] \neq 0
$$
and the conditional variance is not constant in $\vec{x}$,
$$
\mathbb{V}\left[Y-\vec{X} \cdot \beta \mid \vec{X}=\vec{x}_1\right] \neq \mathbb{V}\left[Y-\vec{X} \cdot \beta \mid \vec{X}=\vec{x}_2\right]
$$
The optimal linear predictor can be arbitrarily bad, and it can make arbitrarily big systematic mistakes. It is generally very biased ${ }^4$.
基础数据分析代考
数学代写|基础数据分析代写Elementary data Analysis代考| collinear
.
如果$\mathbf{v}$没有倒数，公式$\beta=\mathbf{v}^{-1} \operatorname{Cov}[\vec{X}, Y]$就没有意义。当且仅当预测变量之间是线性相关的——如果其中一个预测变量是其他预测变量的线性组合，那么这种情况就会发生。然后(正如我们在线性代数中所学的)协方差矩阵小于“满秩”(即“缺秩”)，并且它没有逆。等价地，$v$至少有一个特征值为零
代数说得太多了;这在统计上意味着什么?让我们举一个简单的例子，其中一个预测因子只是其他预测因子的倍数——假设你把人们的体重(磅)包括进去$\left(X_1\right)$，质量(公斤)包括进去$\left(X_2\right)$，所以是$X_1=2.2 X_2$。然后，如果我们尝试预测$Y$，我们将得到
$$
\begin{aligned}
\widehat{\mu}(\vec{X}) &=\beta_1 X_1+\beta_2 X_2+\beta_3 X_3+\ldots+\beta_p X_p \
&=0 X_1+\left(2.2 \beta_1+\beta_2\right) X_2+\sum_{i=3}^p \beta_i X_i \
&=\left(\beta_1+\beta_2 / 2.2\right) X_1+0 X_2+\sum_{i=3}^p \beta_i X_i \
&=-2200 X_1+\left(1000+\beta_1+\beta_2\right) X_2+\sum_{i=3}^p \beta_i X_i
\end{aligned}
$$
换句话说，因为$X_1$和$X_2$之间存在线性关系，我们让$X_1$的系数随我们喜欢，只要我们对$X_2$的系数做相应的调整，它对我们的预测完全没有影响。所以我们不是只有一个最佳线性预测器，而是有无限多个。${ }^3$
有三种处理共线性的方法。一种是得到一个不同的数据集，其中预测变量不再共线。第二种方法是确定其中一个共线变量(通常是哪个并不重要)，然后将其从数据集中删除。这可能会很复杂;主成分分析(第16章)在这里会有所帮助。第三，由于问题是有无限多个不同的系数向量，它们都使MSE最小化，我们可以求助于一些额外的原则，而不是预测精度，只选择其中一个。例如，我们可能更喜欢系数较小的向量(其他条件都相等)，或者更多系数为零的向量。使用除平方误差之外的一些性质来挑选一个唯一的解被称为优化问题的“正则化”，并且已经给予了正则化回归很多关注，特别是在“高维”设置中，系数的数量与数据点的数量相当，甚至大于数据点的数量。参见附录H.5.5和第八章的练习2
数学代写|基础数据分析代写Elementary data Analysis代考|The forecast and Its – Error
.预测和错误
一旦我们有了系数$\beta$，我们就可以用它们来预测$Y$在$\vec{X}$的任意值处的期望值，不管我们之前有没有观察到。这些有多好?
如果我们有最优系数，那么预测误差将与预测变量不相关:
$$
\begin{aligned}
\operatorname{Cov}[Y-\vec{X} \cdot \beta, \vec{X}] &=\operatorname{Cov}[Y, \vec{X}]-\operatorname{Cov}\left\vec{X} \cdot\left(\mathbf{v}^{-1} \operatorname{Cov}[\vec{X}, Y]\right), \vec{X}\right \
&=\operatorname{Cov}[Y, \vec{X}]-\mathbf{v v}^{-1} \operatorname{Cov}[Y, \vec{X}] \
&=0
\end{aligned}
$$
此外，预期预测误差，对所有$\vec{X}$的平均，将为零(练习
2)。然而，一般来说，误差的条件期望不为零，
$$
\mathbb{E}[Y-\vec{X} \cdot \beta \mid \vec{X}=\vec{x}] \neq 0
$$
并且条件方差在$\vec{x}$中不是常数，
$$
\mathbb{V}\left[Y-\vec{X} \cdot \beta \mid \vec{X}=\vec{x}_1\right] \neq \mathbb{V}\left[Y-\vec{X} \cdot \beta \mid \vec{X}=\vec{x}_2\right]
$$
最优线性预测器可以是任意坏的，它可以犯任意大的系统错误。它通常是很有偏见的${ }^4$ . . .
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金融工程代写
金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。
非参数统计代写
非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。
广义线性模型代考
广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。
术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。
有限元方法代写
有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。
有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。
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随机分析代写
随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。
时间序列分析代写
随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。
回归分析代写
多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。
MATLAB代写
MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。
