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• Statistical Inference 统计推断
• Statistical Computing 统计计算
• (Generalized) Linear Models 广义线性模型
• Statistical Machine Learning 统计机器学习
• Longitudinal Data Analysis 纵向数据分析
• Foundations of Data Science 数据科学基础

1. Let $(\Omega, \mathscr{F}, \mathbb{P})$ be a probability space and let $\left{W_{t}: t \geq 0\right}$ be a standard Wiener process. Show that it has finite quadratic variation such that
2. $$3. \langle W, W\rangle_{t}=\lim {n \rightarrow \infty} \sum{i=0}^{n-1}\left(W_{t_{i+1}}-W_{t_{i}}\right)^{2}=t 4.$$
5. where $t_{i}=i t / n, 0=t_{0}<t_{1}<t_{2}<\ldots<t_{n-1}<t_{n}=t, n \in \mathbb{N}$.
6. Finally, deduce that $d W_{t} \cdot d W_{t}=d t$.

Solution: Since the quadratic variation is a sum of random variables, we need to show that its expected value is $t$ and its variance converges to zero as $n \rightarrow \infty$.

I.et $\Delta W_{t_{i}}=W_{t_{i+1}}-W_{t_{i}} \sim \mathcal{N}(0, t / n)$ where $\mathbb{F}\left(\Delta W_{t_{i}}^{2}\right)=t / n$ then, hy taking expectations we have
$$\mathrm{E}\left(\lim {n \rightarrow \infty} \sum{i=0}^{n-1} \Delta W_{t_{i}}^{2}\right)=\lim {n \rightarrow \infty} \sum{i=0}^{n-1} \mathbb{E}\left(\Delta W_{t_{i}}^{2}\right)=t .$$
Because $\Delta W_{t_{i}}^{2} /(t / n) \sim \chi^{2}(1)$ we have $\mathbb{E}\left(\Delta W_{t_{i}}^{4}\right)=3(t / n)^{2}$. Therefore, by independence of increments
\begin{aligned} \operatorname{Var}\left(\lim {n \rightarrow \infty} \sum{i=0}^{n-1} \Delta W_{t_{i}}^{2}\right) &=\mathbb{E}\left[\left(\lim {n \rightarrow \infty} \sum{i=0}^{n-1} \Delta W_{t_{i}}^{2}-t\right)^{2}\right] \ &=\lim {n \rightarrow \infty} \sum{i=0}^{n-1} \mathbb{E}\left[\left(\Delta W_{t_{i}}^{2}-\frac{t}{n}\right)^{2}\right] \ &=\lim {n \rightarrow \infty} \sum{i=0}^{n-1}\left(\frac{3 t^{2}}{n^{2}}-\frac{2 t^{2}}{n^{2}}+\frac{t^{2}}{n^{2}}\right) \ &=\lim {n \rightarrow \infty} \frac{2 t^{2}}{n} \ &=0 \end{aligned} Since $\lim {n \rightarrow \infty} \sum_{i=0}^{n-1}\left(W_{t_{i+1}}-W_{t_{i}}\right)^{2}=\int_{0}^{t} d W_{s} \cdot d W_{s}=t$ and $\int_{0}^{t} d s=t$, then by differentiating both sides with respect to $t$ we have $d W_{t} \cdot d W_{t}=d t$.

## 金融代写|金融微积分代写Finance Calculus代考|Ito Calculus

1. Itō Integral. Let $(\Omega, \mathscr{F}, \mathbb{P})$ be a probability space and let $\left{W_{t}: t \geq 0\right}$ be a standard Wiener process. Let the Itō integral of $W_{t} d W_{t}$ be defined as the following limit
2. $$3. I(t)=\int_{0}^{t} W_{s} d W_{s}=\lim {n \rightarrow \infty} \sum{i=0}^{n-1} W_{t_{i}}\left(W_{t_{i+1}}-W_{t_{i}}\right) 4.$$
5. where $t_{i}=i t / n, 0=t_{0}<t_{1}<t_{2}<\ldots<t_{n-1}<t_{n}=t$ for $n \in \mathbb{N}$.
6. Show that the quadratic variation of $W_{t}$ is
7. $$8. \langle W, W\rangle_{t}=\lim {n \rightarrow \infty} \sum{i=0}^{n-1}\left(W_{t_{i+1}}-W_{t_{i}}\right)^{2}=t 9.$$
10. and hence
11. $$12. I(t)=\frac{1}{2}\left(W_{t}^{2}-t\right) . 13.$$
14. Finally, show that the Itō integral is a martingale.
15. Solution: For the first part of the solution, see Problem 2.2.6.1 (page 89).
16. Given $\lim {n \rightarrow \infty} \sum{i=0}^{n-1}\left(W_{t_{i+1}}-W_{t_{i}}\right)^{2}=t$ and by expanding,
17. $$18. I(t)=\lim {n \rightarrow \infty} \sum{i=0}^{n-1} W_{t_{i}}\left(W_{t_{i+1}}-W_{t_{i}}\right) 19.$$

\begin{aligned} &=\lim {n \rightarrow \infty} \sum{i=0}^{n-1}\left{\frac{1}{2}\left(W_{t_{i+1}}^{2}-W_{t_{i}}^{2}\right)-\frac{1}{2}\left(W_{t_{i+1}}-W_{t_{i}}\right)^{2}\right} \ &=\frac{1}{2}\left\lfloor\lim {n \rightarrow \infty}\left(W{t_{n}}^{2}-W_{0}^{2}\right)-t\right\rfloor \ &=\frac{1}{2}\left(W_{t}^{2}-t\right) . \end{aligned}
To show that $I(t)$ is a martingale, see Problem 2.2.3.2 (page 72).
N.B. Without going through first principles, we can also show that $\int_{0}^{t} W_{s} d W_{s}=$ $\frac{1}{2}\left(W_{t}^{2}-t\right)$ by using Itō’s formula on $X_{t}=\frac{1}{2} W_{t}^{2}$, where
\begin{aligned} d X_{t} &=\frac{\partial X_{t}}{\partial t} d t+\frac{\partial X_{t}}{\partial W_{t}} d W_{t}+\frac{1}{2} \frac{\partial^{2} X_{t}}{\partial W_{t}^{2}} d W_{t}^{2}+\ldots \ &=W_{t} d W_{t}+\frac{1}{2} d t \end{aligned}
Taking integrals,
\begin{aligned} &\int_{0}^{t} d X_{s}=\int_{0}^{t} W_{s} d W_{s}+\frac{1}{2} \int_{0}^{t} d s \ &X_{t}-X_{0}=\int_{0}^{t} W_{s} d W_{s}+\frac{1}{2} t \end{aligned}
and since $W_{0}=0$, so $\int_{0}^{t} W_{s} d W_{s}=\frac{1}{2}\left(W_{t}^{2}-t\right)$.

# 金融微积分代考

1. 让 $(\Omega, \mathscr{F}, \mathbb{P})$ 是一个概率空间，让 \1eft 的分隔符缺失或无法识别
是一个标准的维纳过程。证明它具有有限的二次变化，使得
2. $\$ \$$3. \ \$$
4. 在哪里 $t_{i}=i t / n, 0=t_{0}<t_{1}<t_{2}<\ldots<t_{n-1}<t_{n}=t, n \in \mathbb{N}$.
5. 最后，推断 $d W_{t} \cdot d W_{t}=d t$.
解: 由于二次变异是随机变量的和，我们需要证明它的期望值为 $t$ 并且它的方差收敛到零，因为 $n \rightarrow \infty$.
l.et $\Delta W_{t_{i}}=W_{t_{i+1}}-W_{t_{i}} \sim \mathcal{N}(0, t / n)$ 在哪里 $\mathbb{F}\left(\Delta W_{t_{i}}^{2}\right)=t / n$ 那么，我们的期望值
$$\mathrm{E}\left(\lim n \rightarrow \infty \sum i=0^{n-1} \Delta W_{t_{i}}^{2}\right)=\lim n \rightarrow \infty \sum i=0^{n-1} \mathbb{E}\left(\Delta W_{t_{i}}^{2}\right)=t .$$
因为 $\Delta W_{t_{i}}^{2} /(t / n) \sim \chi^{2}(1)$ 我们有 $\mathbb{E}\left(\Delta W_{t_{i}}^{4}\right)=3(t / n)^{2}$. 因此，通过增量的独立性
$$\operatorname{Var}\left(\lim n \rightarrow \infty \sum i=0^{n-1} \Delta W_{t_{i}}^{2}\right)=\mathbb{E}\left[\left(\lim n \rightarrow \infty \sum i=0^{n-1} \Delta W_{t_{i}}^{2}-t\right)^{2}\right] \quad=\lim n \rightarrow \infty \sum i=0^{n-1} \mathbb{E}\left[\left(\Delta W_{t_{i}}^{2}-\frac{t}{n}\right)^{2}\right]=\lim n \rightarrow \infty$$
自从 $\lim n \rightarrow \infty \sum_{i=0}^{n-1}\left(W_{t_{i+1}}-W_{t_{i}}\right)^{2}=\int_{0}^{t} d W_{s} \cdot d W_{s}=t$ 和 $\int_{0}^{t} d s=t$ ，然后通过对两边进行微分 $t$ 我们有 $d W_{t} \cdot d W_{t}=d t$.

## 金融代写|金融微积分代写Finance Calculus代考|Ito Calculus

1. 伊藤积分。让 $(\Omega, \mathscr{F}, \mathbb{P})$ 是一个概率空间，让 $\backslash 1 \mathrm{eft}$ 的分隔符缺失或无法识别
是一个标准的维纳过程。让 Itō 积分为 $W_{t} d W_{t}$ 被定义为以下限 制
2. $\$ \$$3. \ \$$
4. 在哪里 $t_{i}=i t / n, 0=t_{0}<t_{1}<t_{2}<\ldots<t_{n-1}<t_{n}=t$ 为了 $n \in \mathbb{N}$.
5. 证明的二次变化 $W_{t}$ 是
6. $\$ \$$7. \ \$$
8. 因此
9. \$\$
10. \$\$
11. 最后，证明伊藤积分是鞅。
12. 解决方案：关于解决方案的第一部分，请参见问题 2.2.6.1 (第 89 页)。
13. 给定 $\lim n \rightarrow \infty \sum i=0^{n-1}\left(W_{t i+1}-W_{t i}\right)^{2}=t$ 并通过扩展，
14. $\$ \$$15. \ \$$
为了表明 $I(t)$ 是鞅，见习题 2.2.3.2 (第 72 页)。
NB 不通过第一原理，我们也可以证明 $\int_{0}^{t} W_{s} d W_{s}=\frac{1}{2}\left(W_{t}^{2}-t\right)$ 使用伊藤公式 $X_{t}=\frac{1}{2} W_{t}^{2}$ ， 在哪里
$$d X_{t}=\frac{\partial X_{t}}{\partial t} d t+\frac{\partial X_{t}}{\partial W_{t}} d W_{t}+\frac{1}{2} \frac{\partial^{2} X_{t}}{\partial W_{t}^{2}} d W_{t}^{2}+\ldots \quad=W_{t} d W_{t}+\frac{1}{2} d t$$
取积分，
$$\int_{0}^{t} d X_{s}=\int_{0}^{t} W_{s} d W_{s}+\frac{1}{2} \int_{0}^{t} d s \quad X_{t}-X_{0}=\int_{0}^{t} W_{s} d W_{s}+\frac{1}{2} t$$
并且因为 $W_{0}=0$ ， 所以 $\int_{0}^{t} W_{s} d W_{s}=\frac{1}{2}\left(W_{t}^{2}-t\right)$.

## 有限元方法代写

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## MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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