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• Statistical Inference 统计推断
• Statistical Computing 统计计算
• (Generalized) Linear Models 广义线性模型
• Statistical Machine Learning 统计机器学习
• Longitudinal Data Analysis 纵向数据分析
• Foundations of Data Science 数据科学基础

## 金融代写|金融微积分代写Finance Calculus代考|First Passage Time

1. Doob’s Maximal Inequality. Let $(\Omega, \mathscr{F}, \mathbb{P})$ be a probability space and let $\left{X_{t}: 0 \leq t \leq T\right}$ be a continuous non-negative submartingale with respect to the filtration $\mathscr{F}{t}, 0 \leq t \leq T$. Given $\lambda>0$ and $\tau=\min \left{t: X{t} \geq \lambda\right}$, show that
$$\mathbb{E}\left(X_{0}\right) \leq \mathbb{E}\left(X_{\min {\tau, T}}\right) \leq \mathbb{E}\left(X_{T}\right)$$
By writing
$$X_{\min {\tau, T}}=X_{\tau} \mathbb{I}{{\tau \leq T}}+X{T} \mathbb{I}{{\tau>T}}$$ show that $$\mathbb{P}\left(\sup {0 \leq t \leq T} X_{t} \geq \lambda\right) \leq \frac{\mathbb{E}\left(X_{T}\right)}{\lambda} .$$
Deduce that if $\left{Y_{t}: 0 \leq t \leq T\right}$ is a continuous non-negative supermartingale with respect to the filtration $\mathscr{F}{t}, 0 \leq t \leq T$ then $$\mathbb{P}\left(\sup {0 \leq t \leq T} Y_{t} \geq \lambda\right) \leq \frac{\mathbb{E}\left(Y_{0}\right)}{\lambda} .$$
Solution: For $\lambda>0$ we let $\tau=\min \left{t: X_{t} \geq \lambda\right}$ so that $0 \leq \min {\tau, T} \leq T$. Because $X_{t}$ is a non-negative submartingale we have
$$\mathbb{E}\left(X_{T} \mid \mathscr{F}{\min }{\tau, T}\right) \geq X{\min {\tau, T}}$$ or $$\mathbb{E}\left(X_{\min {\tau, T}}\right) \leq \mathbb{E}\left[\mathbb{E}\left(X_{T} \mid \mathscr{F}{\min {\tau, T}}\right)\right]=\mathbb{E}\left(X{T}\right) .$$
2. Using the same steps we can deduce
3. $$4. \mathbb{E}\left(X_{0}\right) \leq \mathbb{E}\left(X_{\min {\tau, T}}\right) \leq \mathbb{E}\left(X_{T}\right) . 5.$$
6. By definition
7. $$8. X_{\min {\tau, T}}=X_{\tau} \mathbb{I}{{\tau \leq T}}+X{T} \mathbb{I}{{\tau>T}}$$ where $$\mathbb{I}{{\tau \leq T}}=\left{\begin{array}{ll} 9. 1 & \tau \leq T \ 10. 0 & \tau>T 11. \end{array}, \quad \mathbb{I}_{{r>T}}= \begin{cases}1 & \tau>T \ 12. 0 & \tau \leq T .\end{cases}\right. 13.$$

## 金融代写|金融微积分代写Finance Calculus代考|Reflection Principle

1. Reflection Principle. Let $(\Omega, \mathscr{F}, \mathbb{P})$ be a probability space and let $\left{W_{t}: t \geq 0\right}$ be a standard Wiener process. By setting $T$ as a stopping time and defining
$$\tilde{W}{t}= \begin{cases}W{t} & \text { if } t \leq T \ 2 W_{T}-W_{t} & \text { if } t>T\end{cases}$$
show that $\left{\widetilde{W}{t}: t \geq 0\right}$ is also a standard Wiener process. Solution: If $T$ is finite then from the strong Markov property both the paths $Y{t}=\left{W_{t+T}-\right.$ $\left.W_{T}: t \geq 0\right}$ and $-Y_{t}=\left{-\left(W_{t+T}-W_{T}\right): t \geq 0\right}$ are standard Wiener processes and independent of $X_{t}=\left{W_{t}: 0 \leq t \leq T\right}$, and hence both $\left(X_{t}, Y_{t}\right)$ and $\left(X_{t},-Y_{t}\right)$ have the same distribution. Given the two processes defined on $[0, T]$ and $[0, \infty)$, respectively, we can paste them together as follows:
$$\phi:(X, Y) \mapsto\left{X_{t} \mathbb{I}{{t \leq T}}+\left(Y{t-T}+W_{T}\right) \mathbb{I}{{r \geq T}}: t \geq 0\right}$$ Thus, the process arising from pasting $X{t}=\left{W_{t}: 0 \leq t \leq T\right}$ to $Y_{t}=\left{W_{t+T}-W_{T}: t \geq\right.$ $0}$ has the same distribution, which is $\left{W_{t}: t \geq 0\right}$. In contrast, the process arising from pasting $X_{t}=\left{W_{t}: 0 \leq t \leq T\right}$ to $-Y_{t}=\left{-\left(W_{t+T}-W_{T}\right): t \geq 0\right}$ is $\left{\widetilde{W}{t}: t \geq 0\right}$. Thus, $\left{\widetilde{W}{t}: t \geq 0\right}$ is also a standard Wiener process.
2. Reflection Equality. Let $(\Omega, \mathscr{F}, \mathbb{P})$ be a probability space and let $\left{W_{t}: t \geq 0\right}$ be a standard Wiener process. By defining $T_{m}=\inf \left{t \geq 0: W_{t}=m\right}, m>0$ as the first passage time, then for $w \leq m, m>0$, show that
$$\mathbb{P}\left(T_{m} \leq t, W_{t} \leq w\right)=\mathbb{P}\left(W_{t} \geq 2 m-w\right) .$$
Solution: From the reflection principle in Problem 2.2.5.1 (page 84), since $W_{T_{m}}=m$,
\begin{aligned} \mathbb{P}\left(T_{m} \leq t, W_{t} \leq w\right) &=\mathbb{P}\left(T_{m} \leq t, 2 W_{T_{m}}-W_{t} \leq w\right) \ &=\mathbb{P}\left(W_{t} \geq 2 m-w\right) . \end{aligned}

# 金融微积分代考

## 金融代写|金融微积分代写Finance Calculus代考|First Passage Time

1. Doob 的最大不等式。让 $(\Omega, \mathscr{F}, \mathbb{P})$ 是一个概率空间，让 \left 的分隔符缺失或无法识别
2. 是关于过澞的连续非负亚鞅 $\mathscr{F} t, 0 \leq t \leq T$. 给定 $\lambda>0$ 和 \1eft 的分隔符缺失或无法识别
3. 显示
4. $$5. \mathbb{E}\left(X_{0}\right) \leq \mathbb{E}\left(X_{\min \tau, T}\right) \leq \mathbb{E}\left(X_{T}\right) 6.$$
7. 通过写作
8. $$9. X_{\min \tau, T}=X_{\tau} \mathbb{I} \tau \leq T+X T | \tau>T 10.$$
11. 显示
12. $$13. \mathbb{P}\left(\sup 0 \leq t \leq T X_{t} \geq \lambda\right) \leq \frac{\mathbb{E}\left(X_{T}\right)}{\lambda} . 14.$$
15. 推断如果 $\backslash$ left 的分隔符缺失或无法识别
16. 是关于过滤的连续非负上鞅 $\mathscr{F} t, 0 \leq t \leq T$ 然后
17. $$18. \mathbb{P}\left(\sup 0 \leq t \leq T Y_{t} \geq \lambda\right) \leq \frac{\mathbb{E}\left(Y_{0}\right)}{\lambda} 19.$$
20. 解决方案: 对于 $\lambda>0$ 我们让 \left 的分隔符缺失或无法识别 以便 $0 \leq \min \tau, T \leq T$. 因为 $X_{t}$ 是我们有的非负子鞅
21. $$22. \mathbb{E}\left(X_{T} \mid \mathscr{F} \min \tau, T\right) \geq X \min \tau, T 23.$$
24. 或者
25. $$26. \mathbb{E}\left(X_{\min \tau, T}\right) \leq \mathbb{E}\left[\mathbb{E}\left(X_{T} \mid \mathscr{F} \min \tau, T\right)\right]=\mathbb{E}(X T) 27.$$
28. 使用相同的步骤，我们可以推断

## 金融代写|金融微积分代写Finance Calculus代考|Reflection Principle

1. 反射原理。让 $(\Omega, \mathscr{F}, \mathbb{P})$ 是一个概率空间，让 \1eft 的分隔符缺失或无法识别
2. 是一个标准的维纳过程。通过设置 $T$ 作为停止时间并定义
3. $$4. \tilde{W} t=\left{W t \quad \text { if } t \leq T 2 W_{T}-W_{t} \quad \text { if } t>T\right. 5.$$
6. 显示 1 left 的分隔符缺失或无法识别 也是一个标准的维纳过程。解决方案: 如果 $T$ 是有限的，那么从强马尔可夫属性两条路径
7. $\begin{array}{lll}\backslash 1 \mathrm{eft} \text { 的分隔符缺失或无法识别 } & \text { 和 \1eft 的分隔符缺失或无法识别 } & \text { 是标准的维纳过程并且独立于 } \ \ 1 \mathrm{eft} \text { 的分隔符缺失或无法识别 } & \text { ，因此两者 }\left(X_{t}, Y_{t}\right) \text { 和 }\left(X_{t},-Y_{t}\right) \text { 具有相同的分布。鉴于定义的两个过程 }[0, T] \text { 和 }[0, \infty) ， \text { 我们可以分别将它 }\end{array}$ 们粘贴在一起，如下所示:
8. \left 的分隔符缺失或无法识别
9. \left 的分隔符缺失或无法识别
10. 作为第一次通过时间，那么对于 $w \leq m, m>0$ ，显示
11. $$12. \mathbb{P}\left(T_{m} \leq t, W_{t} \leq w\right)=\mathbb{P}\left(W_{t} \geq 2 m-w\right) . 13.$$
14. 解: 根据问题 2.2.5.1 (第 84 页) 中的反射原理，由于 $W_{T_{m}}=m$ ，
15. $$16. \mathbb{P}\left(T_{m} \leq t, W_{t} \leq w\right)=\mathbb{P}\left(T_{m} \leq t, 2 W_{T_{m}}-W_{t} \leq w\right) \quad=\mathbb{P}\left(W_{t} \geq 2 m-w\right) 17.$$

## 有限元方法代写

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## MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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