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有限元法是一种系统的方法，将无限维函数空间中的函数首先转换为有限维函数空间中的函数，最后转换为用数值方法可以处理的普通向量。
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- Foundations of Data Science 数据科学基础
数学代写|有限元方法代写Finite Element Method代考|Mathematical background
Consider a vector field $\vec{v}$ acting over a domain $\Omega$ surrounded by a houndary $\Gamma$. The divergence of the vector field is given by,
$$
\operatorname{div}(\vec{v})=\nabla \cdot \vec{v}
$$
and it represents the quantity of the vector field variable emanating from any point of the vector field. In a two-dimensional Cartesian reference frame the del operator is defined as follows:
$$
\nabla=\frac{\partial}{\partial x} \hat{i}+\frac{\partial}{\partial y} \hat{j}
$$
where $\hat{i}$ and $\hat{j}$ are the unit normals along the $x$ and $y$-axes, respectively.
The divergence theorem (or Gauss theorem) states that the volume/area integral of the divergence of any continuously differentiable vector is the closed surface/contour integral of the outward normal component of the vector. The planar form of the theorem is expressed as follows [4],
$$
\int_{\Omega} \nabla \cdot \vec{v} d \Omega=\oint_{\Gamma} \vec{n} \cdot \vec{v} d \Gamma
$$
The Green-Gauss theorem states that for a continuously differentiable scalar function $w(x, y)$ and a vector $\vec{v}$ the following relationship holds [4],
$$
\int_{\Omega} \nabla \cdot(w \vec{v}) d \Omega=\oint_{\Gamma} w \vec{v} \cdot \vec{n} d \Gamma
$$
By using the product rule of differentiation the following relationship can be established,
$$
\nabla \cdot(w \vec{v})=(\nabla w) \cdot \vec{v}+w \nabla \cdot \vec{v}
$$
Then the Green-Gauss theorem in Eq. (3.7) can be expressed as follows [4]:
$$
\int_{\Omega} w \nabla \cdot \vec{v} d \Omega=\oint_{\Gamma} w \vec{v} \cdot \vec{n} d \Gamma-\int_{\Omega}(\nabla w) \cdot \vec{v} d \Omega
$$
数学代写|有限元方法代写Finite Element Method代考|Integration by parts
Consider the one-dimensional functions on $u(x)$ and $v(x)$. The derivative of the product $u v$ with respect to $x$ is found by using the product rule of differentiation as follows:
$$
\frac{d(u v)}{d x}=u \frac{d v}{d x}+v \frac{d u}{d x}
$$
Integrating this equation with respect to $x$ between $x_0$ and $x_L$ gives,
$$
[u v]{x_0}^{x_L}=\int{x_0}^{x_L}\left(u \frac{d v}{d x}+v \frac{d u}{d x}\right) d x
$$
The integration by parts formula is found by rearranging this equation as follows:
$$
\int_{x_0}^{x_L}\left(v \frac{d u}{d x}\right) d x=[v u]{x_0}^{x_L}-\int{x_0}^{x_L}\left(u \frac{d v}{d x}\right) d x
$$
This lemma is given without proof but used extensively in variational calculus and weighted residual methods [2].
Consider a continuous function $g(x)$ defined in $x_0 \leq x \leq x_L$, and an arbitrary function $w(x)$ defined in the same interval with homogenous end conditions such that, $w\left(x_0\right)=w\left(x_L\right)=0$. If
$$
\int_{x_0}^{x_L} w(x) g(x) d x=0
$$
then the fundamental lemma of calculus of variations states that $g(x)$ has to be zero in this interval, i.e., $g(x)=0$ in $x_0 \leq x \leq x_L$.
有限元方法代考
数学代写|有限元方法代写Finite Element Method代考|数学背景
考虑一个向量场$\vec{v}$作用在一个域$\Omega$上，它被一个边界$\Gamma$包围。向量场的散度由
$$
\operatorname{div}(\vec{v})=\nabla \cdot \vec{v}
$$
给出，它表示从向量场的任意一点发出的向量场变量的量。在二维笛卡尔参考系中，del算子的定义如下:
$$
\nabla=\frac{\partial}{\partial x} \hat{i}+\frac{\partial}{\partial y} \hat{j}
$$
其中$\hat{i}$和$\hat{j}$分别是沿$x$和$y$轴的单位法线。散度定理(或高斯定理)指出，任何连续可微向量的散度的体积/面积积分是该向量向外法向分量的封闭曲面/轮廓积分。该定理的平面形式表示为[4]，
$$
\int_{\Omega} \nabla \cdot \vec{v} d \Omega=\oint_{\Gamma} \vec{n} \cdot \vec{v} d \Gamma
$$
Green-Gauss定理指出，对于一个连续可微标量函数$w(x, y)$和一个向量$\vec{v}$，下述关系成立[4]，
$$
\int_{\Omega} \nabla \cdot(w \vec{v}) d \Omega=\oint_{\Gamma} w \vec{v} \cdot \vec{n} d \Gamma
$$
利用微分积法则可以建立下列关系，
$$
\nabla \cdot(w \vec{v})=(\nabla w) \cdot \vec{v}+w \nabla \cdot \vec{v}
$$
那么Eq.(3.7)中的Green-Gauss定理可以表示为[4]:
$$
\int_{\Omega} w \nabla \cdot \vec{v} d \Omega=\oint_{\Gamma} w \vec{v} \cdot \vec{n} d \Gamma-\int_{\Omega}(\nabla w) \cdot \vec{v} d \Omega
$$
数学代写|有限元方法代写Finite Element Method代考|局部积分
考虑$u(x)$和$v(x)$上的一维函数。乘积$u v$关于$x$的导数通过微分积法则得到:
$$
\frac{d(u v)}{d x}=u \frac{d v}{d x}+v \frac{d u}{d x}
$$
对$x_0$和$x_L$之间的$x$对这个方程积分得到，
$$
[u v]{x_0}^{x_L}=\int{x_0}^{x_L}\left(u \frac{d v}{d x}+v \frac{d u}{d x}\right) d x
$$
分部积分公式通过重新排列这个方程得到:
$$
\int_{x_0}^{x_L}\left(v \frac{d u}{d x}\right) d x=[v u]{x_0}^{x_L}-\int{x_0}^{x_L}\left(u \frac{d v}{d x}\right) d x
$$
这个引理是没有证明的，但在变分微积分和加权残差法中广泛使用
考虑一个在$x_0 \leq x \leq x_L$中定义的连续函数$g(x)$和一个在相同区间内定义的具有齐次结束条件的任意函数$w(x)$，使$w\left(x_0\right)=w\left(x_L\right)=0$。如果
$$
\int_{x_0}^{x_L} w(x) g(x) d x=0
$$
，则变分法的基本引理规定$g(x)$在此区间内必须为零，即$x_0 \leq x \leq x_L$中的$g(x)=0$
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金融工程代写
金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。
非参数统计代写
非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。
广义线性模型代考
广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。
术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。
有限元方法代写
有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。
有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。
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随机分析代写
随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。
时间序列分析代写
随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。
回归分析代写
多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。
MATLAB代写
MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。
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