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## 数学代写|傅里叶分析代写Fourier analysis代考|Two-Dimensional DFT

In 1-D Fourier analysis, an arbitrary waveform, which is a curve, is represented in terms of sinusoidal waveforms of harmonic frequencies. For example, the DFT coefficient $X(k)$ is the coefficient of the complex exponential with frequency index $k$. Fourier analysis can be extended to higher dimensions. The $L$-dimensional DFT of
\begin{aligned} &x\left(n_1, n_2, \ldots, n_L\right), n_1=0,1, \ldots, N_1-1 \ &n_2=0,1, \ldots, N_2-1, \ldots, n_L=0,1, \ldots, N_L-1 \end{aligned}
is defined as
$$X\left(k_1, k_2, \ldots, k_L\right)=\sum_{n_1=0}^{N_1-1} \sum_{n_2=0}^{N_2-1} \cdots \sum_{n_L=0}^{N_L-1} x\left(n_1, n_2, \ldots, n_L\right) e^{-j 2 \pi\left(\frac{k_1}{N_1} n_1+\frac{k_2}{N_2} n_2+\cdots+\frac{k_L}{N_L} n_L\right)}$$
In 2-D Fourier analysis, an arbitrary waveform, which is a surface, is represented in terms of sinusoidal surfaces of harmonic frequencies in two orthogonal directions. For example, the 2-D DFT coefficient $X(k, l)$ is the coefficient of the 2-D complex exponential with frequency indices $(k, l)$. In determining the coefficients, the orthogonality principle is used, as in the case of 1-D signals. However, it is easier to interpret and compute the 2-D DF’ as two sets of 1-D DFI’s in two orthogonal directions. The 1-D DFT can be generalized to three or more dimensions in a way similar to that of the 2-DFT. The task in 2-D DFT is to represent images, such as that shown in Fig. 4.1, in terms of sinusoidal surfaces.

## 数学代写|傅里叶分析代写Fourier analysis代考|Two-Dimensional DFT as Two Sets of 1-D DFTs

The samples of a $N$-point 1-D sinusoid
$$x(m)=\cos \left(\frac{2 \pi}{N}(m k)\right), m=0,1, \ldots, N-1$$
constitute a 1-D sequence of numbers. The samples of a $N \times N$ 2-D sinusoid
$$x(m, n)=\cos \left(\frac{2 \pi}{N}(m k+n l)\right), m, n=0,1, \ldots, N-1$$
constitute a 2-D sequence of numbers. A 2-D sinusoidal sequence is a stack of a number of phase-shifted 1-D sinusoidal sequences.
$\left{x_0(m)=\cos \left(\frac{2 \pi}{N}(m k+0 l)\right), \quad x_1(m)=\cos \left(\frac{2 \pi}{N}(m k+1 l)\right)\right.$,
$\left.x_2(m)=\cos \left(\frac{2 \pi}{N}(m k+2 l)\right), \quad \ldots\right}$
The complex exponential
$$x(m, n)-e^{j\left(\frac{2 \pi}{N}(m k+n l)\right)}$$

constitute a 2-D sequence of complex numbers. A 2-D complex exponential sequence is a stack of a number of phase-shifted 1-D complex exponential sequences.
$$\left{x_0(m)=e^{j\left(\frac{2 \pi}{N}(m k+0 l)\right)}, \quad x_1(m)=e^{j\left(\frac{2 \pi}{N}(m k+1 l)\right)}, \quad x_2(m)=e^{j\left(\frac{2 \pi}{N}(m k+2 l)\right)}, \quad \ldots\right}$$
The $8 \times 8$ complex exponential, with $k, l=1$,
$$x(m, n)=e^{j\left(\frac{2 \pi}{8}(m+n)\right)}, m, n=0,1, \ldots, 7$$
can be expressed as a stack of eight phase-shifted 1-D complex exponential sequences.
\begin{aligned} &\left{x_0(m)=e^{j\left(\frac{2 \pi}{8}(m+0)\right)}=e^{j \frac{2 \pi}{8} 0} e^{j \frac{2 \pi}{8} m}, \quad x_1(m)=e^{j\left(\frac{2 \pi}{8}(m+1)\right)}=e^{j \frac{2 \pi}{8} 1} e^{j \frac{2 \pi}{8} m},\right. \ &x_2(m)=e^{j\left(\frac{2 \pi}{8}(m+2)\right)}=e^{j \frac{2 \pi}{8}} e^{j \frac{2 \pi}{\frac{2 \pi}{x} m}}, \quad x_3(m)=e^{j\left(\frac{2 \pi}{8}(m+3)\right)}=e^{j \frac{2 \pi}{\frac{2 \pi}{2}} 3} e^{j \frac{2 \pi}{\frac{2 \pi}{2} m}}, \ &x_4(m)=e^{j\left(\frac{2 \pi}{8}(m+4)\right)}=e^{j \frac{2 \pi}{8} 4} e^{j \frac{2 \pi}{8} m}, \quad x_5(m)=e^{j\left(\frac{2 \pi}{8}(m+5)\right)}=e^{j \frac{2 \pi}{8} 5} e^{j \frac{2 \pi}{8} m}, \ &\left.x_6(m)=e^{j\left(\frac{2 \pi}{8 \pi}(m+6)\right)}=e^{j \frac{2 \pi}{8}} e^{j \frac{2 \pi}{8} m}, \quad x_7(m)=e^{j\left(\frac{2 \pi}{8 \pi}(m+7)\right)}=e^{j \frac{2 \pi}{8} 7} e^{j \frac{2 \pi}{8} m}\right} \end{aligned}

# 傅里叶分析代写

## 数学代写|傅里叶分析代写傅立叶分析代考|二维DFT

\begin{aligned} &x\left(n_1, n_2, \ldots, n_L\right), n_1=0,1, \ldots, N_1-1 \ &n_2=0,1, \ldots, N_2-1, \ldots, n_L=0,1, \ldots, N_L-1 \end{aligned}

$$X\left(k_1, k_2, \ldots, k_L\right)=\sum_{n_1=0}^{N_1-1} \sum_{n_2=0}^{N_2-1} \cdots \sum_{n_L=0}^{N_L-1} x\left(n_1, n_2, \ldots, n_L\right) e^{-j 2 \pi\left(\frac{k_1}{N_1} n_1+\frac{k_2}{N_2} n_2+\cdots+\frac{k_L}{N_L} n_L\right)}$$

## 数学代写|傅里叶分析代写傅立叶分析代考|二维DFT作为两组一维DFT

$N$ -point一维正弦信号
$$x(m)=\cos \left(\frac{2 \pi}{N}(m k)\right), m=0,1, \ldots, N-1$$

$$x(m, n)=\cos \left(\frac{2 \pi}{N}(m k+n l)\right), m, n=0,1, \ldots, N-1$$

$\left{x_0(m)=\cos \left(\frac{2 \pi}{N}(m k+0 l)\right), \quad x_1(m)=\cos \left(\frac{2 \pi}{N}(m k+1 l)\right)\right.$，
$\left.x_2(m)=\cos \left(\frac{2 \pi}{N}(m k+2 l)\right), \quad \ldots\right}$

$$x(m, n)-e^{j\left(\frac{2 \pi}{N}(m k+n l)\right)}$$

The $8 \times 8$ 复指数，与 $k, l=1$，
$$x(m, n)=e^{j\left(\frac{2 \pi}{8}(m+n)\right)}, m, n=0,1, \ldots, 7$$

## 有限元方法代写

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## MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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