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• Foundations of Data Science 数据科学基础

## 数学代写|傅里叶分析代写Fourier analysis代考|Symmetry Properties

Let the $N$-point sequence and its DFT be complex-valued. Writing the DFT definition in the more explicit form using the rectangular form of the complex numbers with
\begin{aligned} x(n) &=x_r(n)+j x_i(n), \quad X(k)=X_r(k)+j X_i(k), \ e^{-j \frac{2 \pi}{N} n k} &=\cos \left(\frac{2 \pi}{N} n k\right)-j \sin \left(\frac{2 \pi}{N} n k\right) \end{aligned}
we get
$$X_r(k)+j X_i(k)=\sum_{n=0}^{N-1}\left(x_r(n)+j x_i(n)\right)\left(\cos \left(\frac{2 \pi}{N} n k\right)-j \sin \left(\frac{2 \pi}{N} n k\right)\right)$$
With $x(n)$ real-valued and even, the definition reduces to
$$X(k)=\sum_{n=0}^{N-1} x_r(n) \cos \left(\frac{2 \pi}{N} n k\right)$$
and $X(k)$ is real and even, as $x_r(n) \cos \left(\frac{2 \pi}{N} n k\right)$ is even and $x_r(n) \sin \left(\frac{2 \pi}{N} n k\right)$ is odd. $x(n)$ real and even $\leftrightarrow X(k)$ real and even

Figure 3.4c, d shows a real and even-symmetric signal and its real and even-symmetric spectrum. For example,
$$x(n)={1,2,3,2} \leftrightarrow X(k)={8,-2,0,-2}$$
With $x(n)$ real-valued and odd, the definition reduces to
$$X(k)=-j \sum_{n=0}^{N-1} x_r(n) \sin \left(\frac{2 \pi}{N} n k\right)$$
and $X(k)$ is purely imaginary and odd, as $x_r(n) \cos \left(\frac{2 \pi}{N} n k\right)$ is odd and $x_r(n)$ $\sin \left(\frac{2 \pi}{N} n k\right)$ is even.
$x(n)$ real and odd $\leftrightarrow X(k)$ imaginary and odd.

## 数学代写|傅里叶分析代写Fourier analysis代考|Parseval’s Theorem

The representation of $x(n)$ by the DFT coefficients $X(k)$, which is obtained by an orthogonal transform, is the specification of the same signal $x(n)$ in the frequency domain. Therefore, $X(k)$ is, in every respect, just as complete and specific representation of $x(n)$. It is just a representation of $x(n)$ in another domain or just change of the independent variable. Consequently, the power of the signal over one period can be uniquely determined in either representation.

Let $x(n) \leftrightarrow X(k)$ with sequence length $N$. In the $\mathrm{DFl}$; a signal is represented by complex exponentials with harmonic frequencies. Since the samples of a complex exponential lies on the unit circle, the power of an exponential over one period is $N$. The DFT coefficients $X(k) / N$ are the actual amplitudes of the exponentials. Therefore, the power of a complex exponential is $\frac{|X(k)|^2}{N^2} N=\frac{|X(k)|^2}{N}$. Summing the powers of all the constituent complex exponentials of the signal, we get the power over one period. Therefore,
$$\sum_{n=0}^{N-1}|x(n)|^2=\frac{1}{N} \sum_{k=0}^{N-1}|X(k)|^2$$
Orthogonal transforms, such as the Fourier analysis, have the power preservation property.
Example 3.3 Consider the DFT pair
$$x(n)={3+j 2,-1+j 2,2-j 1,-4+j 2} \leftrightarrow X(k)={j 5,1,10-j 3,1+j 6}$$
The sums of the squared magnitude of the data sequence and that of the DFT coefficients divided by 4 are equal and it is 43 .

# 傅里叶分析代写

## 数学代写|傅里叶分析代写傅里叶分析代考|对称性属性

. Properties . Properties

\begin{aligned} x(n) &=x_r(n)+j x_i(n), \quad X(k)=X_r(k)+j X_i(k), \ e^{-j \frac{2 \pi}{N} n k} &=\cos \left(\frac{2 \pi}{N} n k\right)-j \sin \left(\frac{2 \pi}{N} n k\right) \end{aligned}
，我们得到
$$X_r(k)+j X_i(k)=\sum_{n=0}^{N-1}\left(x_r(n)+j x_i(n)\right)\left(\cos \left(\frac{2 \pi}{N} n k\right)-j \sin \left(\frac{2 \pi}{N} n k\right)\right)$$

$$X(k)=\sum_{n=0}^{N-1} x_r(n) \cos \left(\frac{2 \pi}{N} n k\right)$$
， $X(k)$是实数和偶，因为$x_r(n) \cos \left(\frac{2 \pi}{N} n k\right)$是偶数，$x_r(n) \sin \left(\frac{2 \pi}{N} n k\right)$是奇数。$x(n)$ real和even $\leftrightarrow X(k)$ real和even

$$x(n)={1,2,3,2} \leftrightarrow X(k)={8,-2,0,-2}$$

$$X(k)=-j \sum_{n=0}^{N-1} x_r(n) \sin \left(\frac{2 \pi}{N} n k\right)$$

## 有限元方法代写

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## MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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