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• Statistical Inference 统计推断
• Statistical Computing 统计计算
• (Generalized) Linear Models 广义线性模型
• Statistical Machine Learning 统计机器学习
• Longitudinal Data Analysis 纵向数据分析
• Foundations of Data Science 数据科学基础

## 物理代写|傅立叶光学代写Fourier optics代考|Fourier transform of a Gaussian

We note that it is easy to evaluate $J^2$ in $2 \mathrm{D}$ polar co-ordinates.
\begin{aligned} J^2 &=\iint d x d y \exp \left[-\pi\left(x^2+y^2\right)\right] \ &=\int_0^{2 \pi} d \theta \int_0^{\infty} d r r \exp \left(-\pi r^2\right) \ &=(2 \pi) \frac{1}{2 \pi} \ &=1 . \end{aligned}
This gives an interesting result:
$$\int_{-\infty}^{\infty} d x \exp \left(-\pi x^2\right)=1$$
We will now evaluate the Fourier transform of a Gaussian.
\begin{aligned} \int_{-\infty}^{\infty} d x & \exp \left(-\pi x^2-i 2 \pi f_x x\right) \ \quad=& \int_{-\infty}^{\infty} d x \exp \left[-\pi\left(x+i f_x\right)^2\right] \exp \left(-\pi f_x^2\right) \ \quad=\exp \left(-\pi f_x^2\right) \int_{-\infty+i f_x}^{\infty+i f_x} d u \exp \left(-\pi u^2\right) \end{aligned}
The contour to be used for evaluating the transform is shown in Fig. 2.4. The contour is in upper half plane for $f_x>0$ (shown in figure) and in the lower half plane when $f_x<0$. As $R \rightarrow \infty$ the contribution of the vertical parts of the integration paths vanishes as $\exp \left(-\pi(\pm R+i y)^2\right) \rightarrow 0$. The integral over the real line gives $-1$ (direction from + to -). The integral we want to evaluate is thus equal to $+1$ since the integrand is analytic on and inside the contour. The result is:
$$\mathcal{F}\left{\exp \left(-\pi x^2\right)\right}=\exp \left(-\pi f_x^2\right)$$

## 物理代写|傅立叶光学代写Fourier optics代考|Fourier transform of chirp phase

The Fourier transform of quadratic or chirp phase function is an important result as we shall see later in the context of Fresnel diffraction. The function of interest is $g(x)=\exp \left(i \pi x^2\right)$ whose Fourier transform is evaluated as follows.
\begin{aligned} G\left(f_x\right) &=\int_{-\infty}^{\infty} d x \exp \left(i \pi x^2-i 2 \pi f_x x\right) \ &=\exp \left(-i \pi f_x^2\right) \int_{-\infty}^{\infty} d x \exp \left[i \pi\left(x-f_x\right)^2\right] \ &=\exp \left(-i \pi f_x^2\right) \int_{-\infty}^{\infty} d x \exp \left(i \pi x^2\right) \ &=2 \exp \left(-i \pi f_x^2\right) \int_0^{\infty} d x \exp \left(i \pi x^2\right) \end{aligned}
Since we know the integral of $\exp \left(-\pi t^2\right)$ on the real line, let us make a substitution:
$$-\pi z^2=i \pi x^2 \Rightarrow z=\exp (-i \pi / 4) x .$$
As $x$ goes from 0 to $\infty$, the integration path for $z$ goes along a radial line through the origin at an angle $(-\pi / 4)$ with the $x$-axis. We will now evaluate the integral of $\exp \left(-\pi z^2\right)$ along the 45-degree wedge contour shown below. For the integral along the slant line $z=\exp (-i \pi / 4) x$, with $x$ increasing along real line from zero to $\infty$, we have: $\exp \left(-\pi z^2\right)=\exp \left(i \pi x^2\right)$ as is required for the Fourier transform that we are evaluating. The integral along the curved part of the contour vanishes as $R \rightarrow \infty$.

# 傅立叶光学代考

## 物理代写|傅立叶光学代写傅里叶光学代考|高斯函数的傅里叶变换

\begin{aligned} J^2 &=\iint d x d y \exp \left[-\pi\left(x^2+y^2\right)\right] \ &=\int_0^{2 \pi} d \theta \int_0^{\infty} d r r \exp \left(-\pi r^2\right) \ &=(2 \pi) \frac{1}{2 \pi} \ &=1 . \end{aligned}

$$\int_{-\infty}^{\infty} d x \exp \left(-\pi x^2\right)=1$$

\begin{aligned} \int_{-\infty}^{\infty} d x & \exp \left(-\pi x^2-i 2 \pi f_x x\right) \ \quad=& \int_{-\infty}^{\infty} d x \exp \left[-\pi\left(x+i f_x\right)^2\right] \exp \left(-\pi f_x^2\right) \ \quad=\exp \left(-\pi f_x^2\right) \int_{-\infty+i f_x}^{\infty+i f_x} d u \exp \left(-\pi u^2\right) \end{aligned}

$$\mathcal{F}\left{\exp \left(-\pi x^2\right)\right}=\exp \left(-\pi f_x^2\right)$$

## 物理代写|傅立叶光学代写傅里叶光学代考|啁啾相位的傅里叶变换

\begin{aligned} G\left(f_x\right) &=\int_{-\infty}^{\infty} d x \exp \left(i \pi x^2-i 2 \pi f_x x\right) \ &=\exp \left(-i \pi f_x^2\right) \int_{-\infty}^{\infty} d x \exp \left[i \pi\left(x-f_x\right)^2\right] \ &=\exp \left(-i \pi f_x^2\right) \int_{-\infty}^{\infty} d x \exp \left(i \pi x^2\right) \ &=2 \exp \left(-i \pi f_x^2\right) \int_0^{\infty} d x \exp \left(i \pi x^2\right) \end{aligned}

$$-\pi z^2=i \pi x^2 \Rightarrow z=\exp (-i \pi / 4) x .$$

## 有限元方法代写

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## MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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