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## 数学代写|泛函分析作业代写Functional Analysis代考|The Adjoint of an Unbounded Operator

In the proof of the existence of an adjoint for a bounded operator, the Riesz’ representation theorem was the essential ingredient, since the functional $\varphi_{y}(x)=(T x, y)$ was bounded for all $x$ and $y$ in $H$. When $T$ is not bounded, we can of course define the functional $\varphi_{y}(x)=(T x, y)$ for $x \in D(T) \subset H$, but it is not bounded on $H$ and it is not clear if we can find $z \in H$ such that $(T x, y)=(x, z)$ for all $x \in D(T)$. Now assume that $D(T)$ is dense in $H$ and let $x \in D(T)$. If $y \in H$ has the property that there exists a $z \in H$ such that $(T x, y)=(x, z)$, we see that this $z \in H$ is unique by the density of $D(T)$. (Since $\left(x, z_{1}\right)=\left(x, z_{2}\right)$ implies that $z_{1}-z_{2} \in D(T)^{\perp}={0}$.) But then the pair $(y, z)$ (not inner product) belongs to the graph of an operator which we will denote $T^{}$. We have then DEFINITION $5.5$ Let $T$ be a densely defined linear operator in the Hilbert space $H$. The adjoint of $T$ is the operator $T^{}$, given by
$$(T x, y)=\left(x, T^{} y\right) \quad \text { for } \quad x \in D(T) \quad \text { and } \quad y \in D\left(T^{}\right)$$
where $D\left(T^{}\right)$ is the subspace of $H$ for which there exists a $z \in H$ satisfying $(T x, y)=(x, z)$ whenever $y \in D\left(T^{}\right)$ and $x \in D(T)$, and then $T^{} y=z$. If $T=T^{}$ we say that $T$ is self-adjoint.

## 数学代写|泛函分析作业代写Functional Analysis代考|Spectral Theory

In this chapter we will use the theory developed so far to introduce the concept of eigenvalues and eigenvectors for linear operators on Hilbert spaces. From linear algebra we know how a self-adjoint matrix can be diagonalized; this means that there is an orthonormal basis $\left{e_{j}\right}$ for the (finite dimensional) vector space such that the linear mapping $f: C^{k} \rightarrow C^{k}$ corresponding to the matrix can be expressed as
$$f(x)=\sum_{j=1}^{k} \lambda_{j}\left(x, e_{j}\right) e_{j}$$
Here we recognize $\left(x, e_{j}\right)=x_{j}, j=1,2, \ldots, k$ as the coordinates of $x$, and the $\lambda_{j}, j=1,2, \ldots, k$ are the eigenvalues with corresponding eigenvectors $e_{j}, j=$ $1,2, \ldots, k$. Recall that these are the nontrivial solutions to the equation
$$f(x)=\lambda x .$$
We will examine the corresponding results for linear operators on infinite dimensional spaces, and as we have seen before, the infinite dimension causes not only technical problems. The finite dimensional results can be extended to the self-adjoint and compact operators for which we have the celebrated spectral theorem. If a vector $x$ is the eigenvector for a linear mapping $T$ that is injective with corresponding eigenvalue $\lambda$, then $x$ is also eigenvector for $T^{-1}$ with corresponding eigenvalue $\lambda^{-1}$. This fact gives us also a spectral theorem for the unbounded operators with compact and selfadjoint inverses, a property shared by a large class of interesting differential operators.

# 泛函分析代写

## 数学代写|泛函分析作业代写Functional Analysis代考|The Adjoint of an Unbounded Operator

$z_{1}-z_{2} \in D(T)^{\perp}=0$.) 但是那对 $(y, z)$ (不是内积) 属于我们将表示的运算符的图 $T$. 然后我们有定义 $5 .$ 让 $T$ 是希尔伯特空间中的一个稠密定义的线性算子 $H$. 的 伴随者 $T$ 是运营商 $T$ ，由
$$(T x, y)=(x, T y) \quad \text { for } \quad x \in D(T) \quad \text { and } \quad y \in D(T)$$

## 数学代写|泛函分析作业代写Functional Analysis代考|Spectral Theory

$$f(x)=\sum_{j=1}^{k} \lambda_{j}\left(x, e_{j}\right) e_{j}$$

$$f(x)=\lambda x .$$
㧴们将检查线性算子在无限维空间上的相应结果，正如我们之前所见，无限维不仅会导致技术问题。有限维结果可以扩展到自伴和紧致算子，我们有著名的谱定 理。如果一个向量 $x$ 是线性映射的特征向量 $T$ 与相应的特征值是单射的 $\lambda$ ，然后 $x$ 也是特征向量 $T^{-1}$ 具有相应的特征值 $\lambda^{-1}$. 这一事实也为我们提供了具有紧致逆和 自伴随逆的无界算子的谱定理，这是一大类有趣的微分算子共有的属性。

## 有限元方法代写

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## MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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