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• Longitudinal Data Analysis 纵向数据分析
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## 数学代写|泛函分析作业代写Functional Analysis代考|The Banach fixed point theorem

Let $X \neq \varnothing$ be a complete metric space. Then every contraction map $f: X \rightarrow X$ has a unique fixed point $x=f(x)$, and the iteration $x_{n+1}:=$ $f\left(x_n\right)$ converges to it for any $x_0$.

Proof Consider the iteration $x_{n+1}:=f\left(x_n\right)$ starting with any $x_0$ in $X$. Note that
$$d\left(x_{n+1}, x_n\right)=d\left(f\left(x_n\right), f\left(x_{n-1}\right)\right) \leqslant c d\left(x_n, x_{n-1}\right) .$$
Hence, by induction on $n$,
$$d\left(x_{n+1}, x_n\right) \leqslant c^n d\left(x_1, x_0\right),$$
so $\left(x_n\right)$ is Cauchy since $c<1$ (Exercise 4.10(5)). As $X$ is complete, $x_n$ converges to, say, $x$, and by continuity of $f$,
$$f(x)=f\left(\lim {n \rightarrow \infty} x_n\right)=\lim {n \rightarrow \infty} f\left(x_n\right)=\lim {n \rightarrow \infty} x{n+1}=x .$$
Moreover, the rate of convergence is given at least by $d\left(x, x_n\right) \leqslant \frac{c^n}{1-c} d\left(x_1, x_0\right)$.

## 数学代写|泛函分析作业代写Functional Analysis代考|Separable Spaces

Completeness is a “nice” property that a metric can have. A different type of property of a metric space is whether it is, in a sense, “computable” or “constructive”. Starting from the simplest, and speaking non-technically, we find:

Non-separable metric spaces are, in a sense, too large, while countable metric spaces leave out most spaces of interest.

Proof (i) Let $Y \subseteq X$ and $\bar{A}=X$, with $A=\left{a_n: n \in \mathbb{N}\right}$ countable. For each $a_n$, let $Y_{n, m}:=\left{y \in Y: d\left(a_n, y\right)<1 / m\right}$, and pick a representative point from each, $y_{n, m} \in Y_{n, m}$, whenever the set is non-empty. This array of points is certainly countable, and we now show that it is dense in $Y$.

Fix $0<\epsilon<\frac{1}{2}$; any $y \in Y$ can be approximated by some $a_n \in A$ with $d\left(a_n, y\right)1 / 2 c$; then $m-1 \leqslant 1 / 2 c$, so $m \leqslant 1 / \epsilon$; therefore $\epsilon \leqslant 1 / m<2 \epsilon$. Then $y \in Y_{n, m} \neq \varnothing$, so that there must be a representative $y_{n, m}$ with $d\left(a_n, y_{n, m}\right)<1 / m<2 \epsilon$. Combining the two inequalities, we get $$d\left(y_{n, m}, y\right) \leqslant d\left(y_{n, m}, a_n\right)+d\left(a_n, y\right)<3 \epsilon .$$ (ii) Let $\left\{a_1, a_2, \ldots\right\}$ be dense in $X$, and $\left\{b_1, b_2, \ldots\right\}$ dense in $Y$. Then for any $\epsilon>0$ and any pair $\left(\begin{array}{l}x \ y\end{array}\right) \in X \times Y, x$ can be approximated by some $a_n$ such that $d_X\left(a_n, x\right)<$ $\epsilon / 2$, and $y$ by some $b_m$ with $d_Y\left(b_m, y\right)<\epsilon / 2$; then
$$d\left(\left(\begin{array}{l} a_n \ b_m \end{array}\right),\left(\begin{array}{l} x \ y \end{array}\right)\right)=d_X\left(a_n, x\right)+d_Y\left(b_m, y\right)<\epsilon$$
shows that the countable set of points $\left(\begin{array}{l}a_n \ b_m\end{array}\right)(n, m \in \mathbb{N})$ is dense in $X \times Y$.
(iii) Let $f: X \rightarrow Y$ be continuous and let $A$ be countable and dense in $X$. Then $f A$ is countable because the number of elements of a set cannot increase by a mapping. Moreover, as $f$ is continuous, $f A$ is dense in $f X$ (Example $3.8(3)$ ), and $f X$ is separable.

# 泛函分析代写

## 数学代写|泛函分析作业代写Functional Analysis代考|The Banach fixed point theorem

$$d\left(x_{n+1}, x_n\right)=d\left(f\left(x_n\right), f\left(x_{n-1}\right)\right) \leqslant c d\left(x_n, x_{n-1}\right) .$$

$$d\left(x_{n+1}, x_n\right) \leqslant c^n d\left(x_1, x_0\right),$$

$$f(x)=f\left(\lim n \rightarrow \infty x_n\right)=\lim n \rightarrow \infty f\left(x_n\right)=\lim n \rightarrow \infty x n+1=x .$$

## 数学代写|泛函分析作业代写Functional Analysis代考|Separable Spaces

$$d\left(\left(a_n b_m\right),(x y)\right)=d_X\left(a_n, x\right)+d_Y\left(b_m, y\right)<\epsilon$$

(iii) 让 $f: X \rightarrow Y$ 是连续的，让 $A$ 可数且稠密 $X$. 然后 $f A$ 是可数的，因为集合的元素个数不能通过映射增加。此外，作为 $f$ 是连续的， $f A$ 密集在 $f X$ (例子 $3.8(3)$ )，和 $f X$ 是可分离的。

## 有限元方法代写

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## MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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