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  • Longitudinal Data Analysis 纵向数据分析
  • Foundations of Data Science 数据科学基础
数学代写|泛函分析作业代写Functional Analysis代考|MATH3051

数学代写|泛函分析作业代写Functional Analysis代考|Connected Sets

We have an intuitive notion of what it means for a shape to be in one piece. The following definition makes this idea precise:
Definition $5.1$
A subset $C$ of a metric space is disconnected when it can be divided into (at least) two disjoint non-empty subsets $C=A \cup B$ such that each subset is covered exclusively by an open set, i.e.,
$A \subseteq U, \quad B \cap U=\varnothing, \quad U$ open, $B \subseteq V, \quad A \cap V=\varnothing, \quad V$ open.
Otherwise a set is called connected.
Examples 5.2

  1. Single points are always connected because they cannot be split into two nonempty sets. Similarly the empty set is connected.
  2. Any subset of $\mathbb{Z}$ (or any discrete metric space) is disconnected except the single points and the empty set. Metric spaces with this property are called totally disconnected.

Proof Let $C$ contain more than one point, say $a$ and $b$. Take $A=U:={a}$ and $B=V:=C \backslash{a} \neq \varnothing$. Then $U$ and $V$ are open (any subset is open) and respectively contain $A$ and $B$ exclusively.

数学代写|泛函分析作业代写Functional Analysis代考|The connected subsets of R are precisely the intervals

Proof Every non-trivial subset of an interval $I \subseteq \mathbb{R}$ has a boundary point: Let $A$ be a non-trivial subset of $I$; that $A$ is non-trivial means that there exist $a_0 \in A$ and $b_0 \in I \backslash A$. We can assume $a_0<b_0$, otherwise switch the roles of $A$ and $I \backslash A$ in what follows. to get a nested sequence of intervals $\left[a_n, b_n\right]$ in $I$,
with $a_n \in A, b_n \in I \backslash A$.
By the bisection property (Example 4.3(3)), the sequences $\left(a_n\right)$ and $\left(b_n\right)$ are Cauchy and asymptotic, and since $\mathbb{R}$ is complete, they converge $a_n \rightarrow a$ and $b_n \rightarrow a$. The consequence is that, inside any open neighborhood $B_\epsilon(a)$, there are points $a_n \in A$ and $b_n \in I \backslash A$, making $a$ a boundary point of $A$. From the preceding proposition, this translates as “every interval is connected”.

Every connected subset $C$ of $\mathbb{R}$ has the interval property $a, b \in C \Rightarrow$ $[a, b] \subseteq C$ : Let $C$ be a connected set, and let $a, b \in C$ (say, $a<b)$. Any $x \in[a, b]$ which is not in $C$ would disconnect $C$ using the disjoint open sets $]-\infty, x$ [ and ]$x, \infty[$.

Every subset of $\mathbb{R}$ with the interval property is an interval: Let $A$ have the interval property. If $A \neq \varnothing$, say $x \in A$, and has an upper bound, then it has a least upper bound $b$. The interval $[x, b[$ is a subset of $A$ because there are points of $A$ arbitrarily close to $b$. Similarly if $a$ is the greatest lower bound then $] a, x] \subseteq A$. Going through all the possibilities of whether $A$ has upper bounds or lower bounds or none, and whether these belong to $A$ or not, results in all the possible cases of intervals. For example, if it contains its least upper bound $b$ but has no lower bound, then $[x, b] \subseteq A$ for any $x<b$, so that $A=]-\infty, b]$.

By contrast, the connected sets in other metric spaces may be very difficult to describe and imagine. Even in $\mathbb{R}^2$, there are infinite connected sets such that when a single point is removed, the remaining set is totally disconnected! (For further information search for “Cantor’s teepee”.) Connectedness is an important intrinsic property that a set may have: it is preserved by any continuous function. Even though the codomain space may be very different from the domain, a connected set remains in ‘one piece’.

数学代写|泛函分析作业代写Functional Analysis代考|MATH3051

泛函分析代写

数学代写|泛函分析作业代写Functional Analysis代考|Connected Sets

我们有一个直观的概念,即一个形状成为一个整体意味着什么。下面的定义使这个想法更准确:
定义 $5.1$
个子集 $C$ 当一个度量空间可以被划分为 (至少) 两个不相交的非空子集时,它是断开的 $C=A \cup B$ 这样每个子集都被一个开放集完全覆盖,即 $A \subseteq U, \quad B \cap U=\varnothing, \quad U$ 打开, $B \subseteq V, \quad A \cap V=\varnothing, \quad V$ 打开。
否则,一个集合称为连接的。
示例 $5.2$

  1. 单点总是连接的,因为它们不能分成两个非空集。类似地,空集是连通的。
  2. 的任何子集 $\mathbb{Z}$ (或任何离散度量空间) 除了单点和空集之外是断开的。具有此属性的度量空间称为完全不连通的。
    证明让 $C$ 包含多个点,比如说 $a$ 和 $b$. 拿 $A=U:=a$ 和 $B=V:=C \backslash a \neq \varnothing$. 然后 $U$ 和 $V$ 是开放的(任何子集都是开放的) 并分别包含 $A$ 和 $B$ 只。

数学代写|泛函分析作业代写Functional Analysis代考|The connected subsets of R are precisely the intervals

证明区间的每个非平凡子集 $I \subseteq \mathbb{R}$ 有一个边界点:让 $A$ 是一个非平凡子集 $I$; 那 $A$ is non-trivial 意味着存在 $a_0 \in A$ 和 $b_0 \in I \backslash A$. 我们可以假设 $a_0<b_0$, 否则切换角色 $A$ 和 $I \backslash A$ 在接下来的内容中。得到一个嵌套的区间序列 $\left[a_n, b_n\right]$ 在 $I$ ,
与 $a_n \in A, b_n \in I \backslash A$.
通过二分属性 (示例 $4.3(3)$ ),序列 $\left(a_n\right)$ 和 $\left(b_n\right)$ 是柯西和渐近的,因为 $\mathbb{R}$ 是完整的,它们收敛 $a_n \rightarrow a$ 和 $b_n \rightarrow a$. 结果是,在任何开放的社区内的的 $(a)$ ,有点 $a_n \in A$ 和 $b_n \in I \backslash A$ ,制造 $a$ 的一个边界点 $A$. 从前面的命题来看,这可以翻译为“每个区间都是相连的”。
每个连通子集 $C$ 的 $\mathbb{R}$ 有区间属性 $a, b \in C \Rightarrow[a, b] \subseteq C$ : 让 $C$ 是一个连通集,并且让 $a, b \in C$ (说, $a<b)$. 任何 $x \in[a, b]$ 这不在 $C$ 佘断开连接 $C$ 使用不相交的开集 ]$-\infty, x[$ 和 $] x, \infty[$. 点 $A$ 任意接近 $b$. 同样如果 $a$ 是最大的下界 $] a, x] \subseteq A$. 经历所有可能的是否 $A$ 有上限或下限或没有,以及这些是否属于 $A$ 与否,导致所有可能的区间情况。例如,如 果它包含其最小上界 $b$ 但没有下界,那么 $[x, b] \subseteq A$ 对于任何 $x<b$ ,以便 $A=]-\infty, b]$.
相比之下,其他度量空间中的连通集可能很难描述和想象。即使在䄳 ${ }^2$ ,有无限个连通集,当一个点被移除时,剩下的集合完全不连通! (有关更多信息,请搜索 “Cantor’s teepee”。) 连通性是集合可能具有的重要内在属性:它被任何连续函数保留。即使共域空间可能与域非常不同,连接集仍然是“一体的”。

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题,以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法,其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型;这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型(GLM)归属统计学领域,是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型(GLM)通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归,以及方差分析和方差分析(仅含固定效应)。

有限元方法代写

有限元方法(FEM)是一种流行的方法,用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法,用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程(即一些边界值问题)。为了解决一个问题,有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分,称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的,它是通过构建对象的网格来实现的:用于求解的数值域,它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统,以模拟整个问题。然后,有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写


随机微积分是数学的一个分支,对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程,是依赖于参数的一组随机变量的全体,参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现,其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值(如1秒,5分钟,12小时,7天,1年),因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中,往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录,以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进(Multiple Regression Analysis Asymptotics)属于计量经济学领域,主要是一种数学上的统计分析方法,可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系,在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

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