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统计代写|广义线性模型代写generalized linear model代考|DISTRIBUTIONS OF CERTAIN QUADRATIC FORMS

The distributions of several quadratic forms are derived in the following examples.
Example 2.3.1 Let the $n \times 1$ random vector $\mathbf{Y}=\left(Y_1, \ldots, Y_n\right)^{\prime} \sim \mathbf{N}n\left(\alpha \mathbf{1}_n, \sigma^2 \mathbf{I}_n\right)$. Define $U=\sum{i=1}^n\left(Y_i-\bar{Y}\right)^2 / \sigma^2$ and $V=n(\bar{Y}-\alpha)^2 / \sigma^2$ where $\bar{Y}=(1 / n) \mathbf{1}_n^{\prime} \mathbf{Y}$. Find the distributions of $U$ and $V$ and show these two random variables are independent. First, note $\sqrt{n}(\bar{Y}-\alpha) / \sigma=[1 /(\sigma \sqrt{n})] \mathbf{1}_n^{\prime} \mathbf{Y}-(\alpha \sqrt{n}) / \sigma$. By Theorem $2.1 .2$ with $1 \times n$ matrix $\mathbf{B}=[1 /(\sigma \sqrt{n})] 1_n^{\prime}$ and scalar $b=-(\alpha \sqrt{n}) / \sigma, \sqrt{n}(\bar{Y}-\alpha) / \sigma \sim$ $\mathbf{N}_1(0,1)$ since
$$\mathbf{B}\left(\alpha \mathbf{1}_n\right)+b=[\alpha /(\sigma \sqrt{n})] \mathbf{1}_n^{\prime} \mathbf{1}_n-\alpha \sqrt{n} / \sigma=0$$
and
$$\left.\mathbf{B}\left(\sigma^2 \mathbf{I}_n\right) \mathbf{B}^{\prime}=\sigma^2\left{[1 /(\sigma \sqrt{n})] \mathbf{1}_n^{\prime}\right}[1 /(\sigma \sqrt{n})] \mathbf{1}_n^{\prime}\right}^{\prime}=1$$

Therefore, by Example $1.3 .2, n(\bar{Y}-\alpha)^2 / \sigma^2$ is distributed as a central chi-square random variable with 1 degree of freedom. Next, rewrite $U$ as
\begin{aligned} U &=\sum_{i=1}^n\left(Y_i-\bar{Y}\right)^2 / \sigma^2=\left(1 / \sigma^2\right) \mathbf{Y}^{\prime}\left(\mathbf{I}n-\frac{1}{n} \mathbf{J}_n\right) \mathbf{Y} \ &=\mathbf{Y}^{\prime}(1 / \sigma) \mathbf{P}_n\left[(1 / \sigma) \mathbf{P}_n^{\prime}\right] \mathbf{Y} \ &=\mathbf{X}^{\prime} \mathbf{X} \ &=\sum{i=1}^{n-1} X_i^2 \end{aligned}
where the $(n-1) \times 1$ vector $\mathbf{X}=\left[(1 / \sigma) \mathbf{P}n^{\prime}\right] \mathbf{Y}=\left(X_1, \ldots, X{n-1}\right)^{\prime}$ and the $(n-1) \times n$ matrix $\mathbf{P}n^{\prime}$ is the lower portion of an $n$-dimensional Helmert matrix with $\mathbf{P}_n \mathbf{P}_n^{\prime}=$ $\left(\mathbf{I}_n-\frac{1}{n} \mathbf{J}_n\right), \mathbf{P}_n^{\prime} \mathbf{P}_n=\mathbf{I}{n-1}$ and $\mathbf{1}n^{\prime} \mathbf{P}_n=\mathbf{0}{1 \times(n-1)}$. By Theorem 2.1.2 with $(n-1) \times n$ matrix $\mathbf{B}=(1 / \sigma) \mathbf{P}n^{\prime}$ and $(n-1) \times 1$ vector $\mathbf{b}=\mathbf{0}{(n-1) \times 1}, \mathbf{X} \sim \mathbf{N}{n-1}\left(\mathbf{0}, \mathbf{I}{n-1}\right)$ since
$$\mathbf{B}\left(\alpha \mathbf{1}n\right)=(1 / \sigma) \mathbf{P}_n^{\prime}\left(\alpha \mathbf{1}_n\right)=\mathbf{0}{(n-1) \times 1}$$
and
$$\mathbf{B}\left(\sigma^2 \mathbf{I}n\right) \mathbf{B}^{\prime}=(1 / \sigma) \mathbf{P}_n^{\prime}\left(\sigma^2 \mathbf{I}_n\right)\left[(1 / \sigma) \mathbf{P}_n^{\prime}\right]^{\prime}=\mathbf{I}{n-1}$$

统计代写|广义线性模型代写generalized linear model代考|Multivariate Normal Distribution

(a) Find the distribution of $Y^$. Rewrite $Y^$ in terms of the $n \times 1$ vector $\mathbf{W}=\left(w_1, \ldots, w_n\right)^{\prime}$ and the $n \times 1$ vector $\mathbf{Y}$.
(b) Find the distribution of $\sum_{i=1}^n w_i Y_i^2$.

1. Let the $9 \times 1$ random vector $\mathbf{Y} \sim \mathrm{N}9(\boldsymbol{\mu}, \mathbf{\Sigma})$ where the mean vector $\boldsymbol{\mu}=$ $\left(\mu_1 \mathbf{1}_2^{\prime}, \mu_2 \mathbf{1}_4^{\prime}, \mu_3 \mathbf{1}_3^{\prime}\right)^{\prime}$ and covariance matrix with $\boldsymbol{\Sigma}_i=(a-b) \mathbf{I}{n_i}+b \mathbf{J}{n_i}$ for $i=1,2,3$ and $n_1=2, n_2=4$, and $n_3=3$. Also let where $\mathbf{A}_i=\mathbf{I}{n_i}-\frac{1}{n_i} \mathbf{J}_{n_i}$ for $i=1,2,3$.
(a) Define a $9 \times 6$ matrix $\mathbf{P}$ such that $\mathbf{A}=\mathbf{P P}^{\prime}$.
(b) Find the distribution of $\mathbf{P}^{\prime} \mathbf{Y}$.
(c) Find the distribution of $\mathbf{Y}^{\prime} \mathbf{A Y}$.
2. Let $Y_{i j k}=\mu_i+S_{i j}+T_{i j k}$ for $i=1, \ldots, a ; j=1, \ldots, s$; and $k=1, \ldots, t$ where $S_{i j} \sim$ iid $\mathrm{N}1\left(0, \sigma_S^2\right)$ and independent of $T{i j k} \sim$ iid $\mathrm{N}1\left(0, \sigma_T^2\right)$. (a) Find the distribution of the $a \times 1$ random vector $\left(\bar{Y}{1 . .}, \ldots, \bar{Y}{a . .}\right)^{\prime}$ where $\bar{Y}{i . .}=\sum_{j=1}^s \sum_{k=1}^t Y_{i j k} /(s t)$
(b) Find the distribution of the as $\times 1$ random vector $\bar{Y}{11}-\bar{Y}{1 . .}, \ldots, \bar{Y}{1 s .}-$ $\left.\bar{Y}{1 . .}, \ldots, \bar{Y}{a 1 .}-\bar{Y}{a . .}, \ldots, \bar{Y}{a s .}-\bar{Y}{a . .}\right)^{\prime}$ where $\bar{Y}{i j .}=\sum{k=1}^t Y_{i j k} / t$.
3. Let the $n \times 1$ random vector $\mathbf{Y}=\left(Y_1, \ldots, Y_n\right)^{\prime} \sim \mathrm{N}n(\boldsymbol{\mu}, \boldsymbol{\Sigma})$ where $\boldsymbol{\mu}=\alpha \mathbf{1}_n$ and $\Sigma=(a-b) \mathbf{I}_n+b \mathbf{J}_n$. Let $\bar{Y}$. $=\sum{i=1}^n Y_i / n$ and $U=\sum_{i=1}^n\left(Y_i-\bar{Y} \text {. }\right)^2$.
(a) Find the distribution of $\bar{Y}$.
(b) Find the distribution of $U$.
(c) Are $\bar{Y}$. and $U$ independent? Prove your answer.

广义线性模型代考

统计代写|广义线性模型代写generalized linear model代考|DISTRIBUTIONS OF CERTAIN QUADRATIC FORMS

$$\mathbf{B}(\alpha \mathbf{1} n)=(1 / \sigma) \mathbf{P}_n^{\prime}\left(\alpha \mathbf{1}_n\right)=\mathbf{0}(n-1) \times 1$$

$$\mathbf{B}\left(\sigma^2 \mathbf{I} n\right) \mathbf{B}^{\prime}=(1 / \sigma) \mathbf{P}_n^{\prime}\left(\sigma^2 \mathbf{I}_n\right)\left[(1 / \sigma) \mathbf{P}_n^{\prime}\right]^{\prime}=\mathbf{I} n-1$$

统计代写|广义线性模型代写generalized linear model代考|Multivariate Normal Distribution

(a) 找出分布缺少上标或下标参数

(b) 找出分布 $\sum_{i=1}^n w_i Y_i^2$.

1. 让 $9 \times 1$ 随机向量 $\mathbf{Y} \sim \mathrm{N} 9(\boldsymbol{\mu}, \boldsymbol{\Sigma})$ 其中平均向量 $\boldsymbol{\mu}=\left(\mu_1 \mathbf{1}2^{\prime}, \mu_2 \mathbf{1}_4^{\prime}, \mu_3 \mathbf{1}_3^{\prime}\right)^{\prime}$ 和协方差矩阵 $\boldsymbol{\Sigma}_i=(a-b) \mathbf{I} n_i+b \mathbf{J} n_i$ 为了 $i=1,2,3$ 和 $n_1=2, n_2=4$ ，和 $n_3=3$. 还让哪里 $\mathbf{A}_i=\mathbf{I} n_i-\frac{1}{n_i} \mathbf{J}{n i}$ 为了i $i=1,2,3$.
(a) 定义一个 $9 \times 6$ 矩阵 $\mathbf{P}$ 这样 $\mathbf{A}=\mathbf{P P}^{\prime}$.
(b) 找出分布 $\mathbf{P}^{\prime} \mathbf{Y}$.
(c) 找出分布 $\mathbf{Y}^{\prime} \mathbf{A} \mathbf{Y}$.
2. 让 $Y_{i j k}=\mu_i+S_{i j}+T_{i j k}$ 为了i $i=1, \ldots, a ; j=1, \ldots, s ;$ 和 $k=1, \ldots, t$ 在哪里 $S_{i j} \sim$ 独立同居N1 $\left(0, \sigma_S^2\right)$ 并且独立于 $T i j k \sim$ 独立同居N1 $\left(0, \sigma_T^2\right)$. (a) 找 出分布 $a \times 1$ 随机向量 $(\bar{Y} 1 \ldots, \ldots, \bar{Y} a . .)^{\prime}$ 在哪里 $\bar{Y} i . .=\sum_{j=1}^s \sum_{k=1}^t Y_{i j k} /(s t)$
(b) 找出 as 的分布 $\times 1$ 随机向量 $\bar{Y} 11-\bar{Y} 1 ., \ldots, \bar{Y} 1 s .-\bar{Y} 1 \ldots, \ldots, \bar{Y} a 1 .-\bar{Y} a . ., \ldots, \bar{Y} a s .-\bar{Y} a ..)^{\prime}$ 在哪里 $\bar{Y} i j .=\sum k=1^t Y_{i j k} / t$.
3. 让 $n \times 1$ 随机向量 $\mathbf{Y}=\left(Y_1, \ldots, Y_n\right)^{\prime} \sim \mathrm{N} n(\boldsymbol{\mu}, \boldsymbol{\Sigma})$ 在哪里 $\boldsymbol{\mu}=\alpha \mathbf{1}n$ 和 $\Sigma=(a-b) \mathbf{I}_n+b \mathbf{J}_n$. 让 $\bar{Y} .=\sum i=1^n Y_i / n$ 和 $U=\sum{i=1}^n\left(Y_i-\bar{Y} \text {. }\right)^2$.
(a) 找出分布 $\bar{Y}$.
(b) 找出分布 $U$.
(c) 是 $\bar{Y}$. 和 $U$ 独立的? 证明你的答案。

有限元方法代写

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MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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