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在数学中,几何度量理论(GMT)是通过度量理论研究集合(通常在欧几里得空间)的几何属性。它允许数学家将微分几何中的工具扩展到更大的一类不一定光滑的表面。

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数学代写|几何测度论代写geometric measure theory代考|MAT638

数学代写|几何测度论代写geometric measure theory代考|Radon measures. Restriction, support

The results of Section $2.3$ motivate the following crucial definition. An outer measure $\mu$ is a Radon measure on $\mathbb{R}^n$ if it is a locally finite, Borel regular measure on $\mathbb{R}^n$. By Theorem $2.10$, if $\mu$ is a Radon measure on $\mathbb{R}^n$, then
$$
\begin{aligned}
\mu(E) &=\inf {\mu(A): E \subset A, A \text { is open }} \
&=\sup {\mu(K): K \subset E, K \text { is compact }}
\end{aligned}
$$ for every Borel set $E \subset \mathbb{R}^n$. Thus, by Borel regularity, a Radon measure $\mu$ is characterized on $\mathcal{M}(\mu)$ by its behavior on compact (or open) sets.

Example 2.11 By Example 2.4, the Lebesgue measure, which is trivially locally finite, is a Radon measure. If $s \in[0, n)$, then $\mathcal{H}^s$ is not locally finite (as $\mathcal{H}^s(A)=\infty$ for every open set $A$ : see Chapter 3), and thus it is not a Radon measure. However, if $E$ is a Borel set with $\mathcal{H}^s(E)<\infty$, then the restriction $\mathcal{H}^s\left\llcorner E\right.$ of $\mathcal{H}^s$ to $E$ is a Radon measure on $\mathbb{R}^n$; see Proposition $2.13$ below.
We now notice that (2.6) and (2.7) have in fact a wider range of validity.
Proposition 2.12 If $\mu$ is a Radon measure, then (2.6) holds true for every $E \subset \mathbb{R}^n$, while (2.7) holds true for every $E \in \mathcal{M}(\mu)$.

Proof Step one: We prove (2.6) for $E \subset \mathbb{R}^n$. By Borel regularity, there exists a Borel set $F$ with $E \subset F$ and $\mu(E)=\mu(F)$. By (2.6) (applied to $F$ ),
$$
\begin{aligned}
\mu(E)=\mu(F) &=\inf {\mu(A): F \subset A, A \text { is open }} \
& \geq \inf {\mu(A): E \subset A, A \text { is open }} \geq \mu(E) .
\end{aligned}
$$
Step two: We prove (2.7) for $E \in \mathcal{M}(\mu)$. As (2.7) holds true on closed set in $\mathbb{R}^n$, it is enough to prove that
$$
\mu(E)=\sup {\mu(C): C \subset E, C \text { is closed }} .
$$

数学代写|几何测度论代写geometric measure theory代考|Hausdorff measures and the notion of dimension

We begin our discussion by introducing a measure-theoretic notion of dimension. Precisely, given $E \subset \mathbb{R}^n$ we define the Hausdorff dimension of $E$ as
$$
\operatorname{dim}(E)=\inf \left{s \in[0, \infty): \mathcal{H}^s(E)=0\right} .
$$
Its use as a notion of dimension is justified by the following statements.
(i) If $E \subset \mathbb{R}^n$ then $\operatorname{dim}(E) \in[0, n]$. Moreover $\mathcal{H}^s(E)=\infty$ for every $s<$ $\operatorname{dim}(E)$ and $\mathcal{H}^s(E) \in(0, \infty)$ implies $s=\operatorname{dim}(E)$ (the converse is not necessarily true: it may happen that $\mathcal{H}^s(E) \in{0,+\infty}$ for $s=\operatorname{dim}(E)$ ). (ii) $\mathcal{H}^0$ is the counting measure. (iii) If $E$ is a curve, then $\mathcal{H}^1(E)$ coincides with the classical length of $E$. (iv) If $1 \leq k \leq n-1, k \in \mathbb{N}$, and $E$ is a $k$-dimensional $C^1$-surface, then $\mathcal{H}^k(E)$ coincides with the classical $k$-dimensional area of $E$. (v) If $E \subset \mathbb{R}^n$, then $\mathcal{H}^n(E)=\mathcal{L}^n(E)$. (vi) If $s>n$, then $\mathcal{H}^s=0$.
(vii) If $A$ is an open set in $\mathbb{R}^n$, then $\operatorname{dim}(A)=n$.
(viii) For every $s \in[0, n]$ there exists a compact set $K$ such that $\operatorname{dim}(K)=s$.

We now prove properties (i), (ii), and (vi). Properties (iii) and (v) are proved in Sections $3.2$ and 3.3, respectively. Property (vii) follows from (i) and (v), since $\left|(0,1)^n\right|=1$. Property (iv) is a consequence of the area formula; see Chapter 8. For property (viii), see [Hut81] and [Fal86].
Proposition 3.1 If $s>n$, then $\mathcal{H}^s=0$.
Proof Let $Q=(0,1)^n$. Since $\lambda^s \mathcal{H}^s(Q)=\mathcal{H}^s(\lambda Q) \rightarrow \mathcal{H}^s\left(\mathbb{R}^n\right)$ as $\lambda \rightarrow \infty$, it suffices to prove $\mathcal{H}^s(Q)=0$. This follows by letting $k \rightarrow \infty$ in the following inequalities, which are obtained by considering a partition of $Q$ by $k^n$ cubes of diameter $k^{-1} \sqrt{n}$ :
$$
\mathcal{H}_{\sqrt{n} / k}^s(Q) \leq \omega_s k^n\left(\frac{\sqrt{n}}{2 k}\right)^s=\frac{\omega_s n^{s / 2}}{2^s} k^{n-s} .
$$
Proposition $3.2$ If $E \subset \mathbb{R}^n$, then $\operatorname{dim}(E) \in[0, n]$, and $\mathcal{H}^s(E)=\infty$ for every $s<\operatorname{dim}(E)$.

数学代写|几何测度论代写geometric measure theory代考|MAT638

几何测度论代考

数学代写|几何测度论代写geometric measure theory代考|Radon measures. Restriction, support

部分结果 $2.3$ 激发以下关键定义。外部措施 $\mu$ 是氡测量 $\mathbb{R}^n$ 如果它是局部有限的,Borel 正则测度 $\mathbb{R}^n$. 按定理 $2.10$ ,如果 $\mu$ 是氡测量 $\mathbb{R}^n$ ,然后
$$
\mu(E)=\inf \mu(A): E \subset A, A \text { is open } \quad=\sup \mu(K): K \subset E, K \text { is compact }
$$
对于每个 Borel 集 $E \subset \mathbb{R}^n$. 因此,根据 Borel 规律,氡测量 $\mu$ 特点是 $\mathcal{M}(\mu)$ 通过它在紧凑(或开放) 集合上的行为。
例 $2.11$ 通过例 2.4,Lebesgue 测度,它是平凡局部有限的,是一个氡测度。如果 $s \in[0, n)$ ,然后 $\mathcal{H}^s$ 不是局部有限的(如 $\mathcal{H}^s(A)=\infty$ 对于每个开集 $A$ : 见第 3
我们现在注意到 (2.6) 和 (2.7) 实际上具有更广泛的有效性。
命题 $2.12$ 如果 $\mu$ 是氡测度,那么 (2.6) 对每个都成立 $E \subset \mathbb{R}^n$ ,而 (2.7) 对每个都成立 $E \in \mathcal{M}(\mu)$.
证明步骙一:我们证明 (2.6) 为 $E \subset \mathbb{R}^n$. 根据 Borel 规律,存在一个 Borel 集 $F$ 和 $E \subset F$ 和 $\mu(E)=\mu(F)$. 由 (2.6) (适用于 $F$ ),
$$
\mu(E)=\mu(F)=\inf \mu(A): F \subset A, A \text { is open } \quad \geq \inf \mu(A): E \subset A, A \text { is open } \geq \mu(E) .
$$
第二步: 我们证明 (2.7) 为 $E \in \mathcal{M}(\mu)$. 由于 (2.7) 在闭集上成立 $\mathbb{R}^n$ ,足以证明
$$
\mu(E)=\sup \mu(C): C \subset E, C \text { is closed . }
$$

数学代写|几何测度论代写geometric measure theory代考|Hausdorff measures and the notion of dimension

我们通过引入一个度量论的维度概念来开始我们的讨论。准确地说,给定 $E \subset \mathbb{R}^n$ 我们定义 Hausdorff 维数 $E$ 作为
《left 的分隔符缺失或无法识别
以下陈述证明了它作为维度概念的使用。
$\left(\right.$ (一) 如果 $E \subset \mathbb{R}^n$ 然后 $\operatorname{dim}(E) \in[0, n]$. 而且 $\mathcal{H}^s(E)=\infty$ 对于每个 $s<\operatorname{dim}(E)$ 和 $\mathcal{H}^s(E) \in(0, \infty)$ 暗示 $s=\operatorname{dim}(E)$ (反过来不一定正确: 可能会发生 $\mathcal{H}^s(E) \in 0,+\infty$ 为了 $\left.s=\operatorname{dim}(E)\right)$ 。(二) $\mathcal{H}^0$ 是计数度量。(iii) 如果 $E$ 是一条曲线,那么 $\mathcal{H}^1(E)$ 与经典长度一致 $E$. (iv) 如果 $1 \leq k \leq n-1, k \in \mathbb{N}$ ,和 $E$ 是一个 $k$ 维 $C^1$-表面,然后 $\mathcal{H}^k(E)$ 与经典不谋而合 $k$-维面积 $E$. (v) 如果 $E \subset \mathbb{R}^n$ ,然后 $\mathcal{H}^n(E)=\mathcal{L}^n(E)$. (vi) 如果 $s>n$ ,然后 $\mathcal{H}^s=0$.
(vii) 如果 $A$ 是一个开集 $\mathbb{R}^n$ ,然后 $\operatorname{dim}(A)=n$.
(viii) 对于每个 $s \in[0, n]$ 存在一个紧集 $K$ 这样 $\operatorname{dim}(K)=s$.
我们现在证明性质 (i)、(ii) 和 (vi)。属性 (iii) 和 (v) 在章节中得到证明 $3.2$ 和 $3.3$ ,分别。属性 (vii) 来自 (i) 和 (v),因为 $\left|(0,1)^n\right|=1$. 属性 (iv) 是面积公式的结果;见 第 8 章。关于属性 (viii),见 [Hut81] 和 [Fal86]。
命题 $3.1$ 如果 $s>n$ ,然后 $\mathcal{H}^s=0$.
证明让 $Q=(0,1)^n$. 自从 $\lambda^s \mathcal{H}^s(Q)=\mathcal{H}^s(\lambda Q) \rightarrow \mathcal{H}^s\left(\mathbb{R}^n\right)$ 作为 $\lambda \rightarrow \infty$ ,足以证明 $\mathcal{H}^s(Q)=0$. 这通过让 $k \rightarrow \infty$ 在以下不等式中,这些不等式是通过考虑的划分 获得的 $Q$ 经过 $k^n$ 直径的立方 $k^{-1} \sqrt{n}$ :
$$
\mathcal{H}_{\sqrt{n} / k}^s(Q) \leq \omega_s k^n\left(\frac{\sqrt{n}}{2 k}\right)^s=\frac{\omega_s n^{s / 2}}{2^s} k^{n-s}
$$
主张 $3.2$ 如果 $E \subset \mathbb{R}^n$ ,然后 $\operatorname{dim}(E) \in[0, n]$ ,和 $\mathcal{H}^s(E)=\infty$ 对于每个 $s<\operatorname{dim}(E)$.

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题,以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法,其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型;这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型(GLM)归属统计学领域,是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型(GLM)通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归,以及方差分析和方差分析(仅含固定效应)。

有限元方法代写

有限元方法(FEM)是一种流行的方法,用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法,用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程(即一些边界值问题)。为了解决一个问题,有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分,称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的,它是通过构建对象的网格来实现的:用于求解的数值域,它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统,以模拟整个问题。然后,有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写


随机微积分是数学的一个分支,对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程,是依赖于参数的一组随机变量的全体,参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现,其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值(如1秒,5分钟,12小时,7天,1年),因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中,往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录,以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进(Multiple Regression Analysis Asymptotics)属于计量经济学领域,主要是一种数学上的统计分析方法,可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系,在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

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