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在数学中,几何度量理论(GMT)是通过度量理论研究集合(通常在欧几里得空间)的几何属性。它允许数学家将微分几何中的工具扩展到更大的一类不一定光滑的表面。

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数学代写|几何测度论代写geometric measure theory代考|Math595

数学代写|几何测度论代写geometric measure theory代考|H1 and the classical notion of length

A set $\Gamma \subset \mathbb{R}^n$ is a curve if there exist $a>0$ and a continuous, injective function $\gamma:[0, a] \rightarrow \mathbb{R}^n$ such that $\Gamma=\gamma([0, a])$. The function $\gamma$ is called a parametrization of $\Gamma$. Given a parametrization $\gamma:[0, a] \rightarrow \mathbb{R}^n$ and a sub-interval $[b, c]$ of $[0, a]$ we define the length of $\gamma$ over $[b, c]$ as
$$
\ell(\gamma ;[b, c])=\sup \left{\sum_{h=1}^N\left|\gamma\left(t_h\right)-\gamma\left(t_{h-1}\right)\right|: b=t_0<t_{h-1}<t_h<t_N=c, N \in \mathbb{N}\right} .
$$
It is easily seen that $\ell(\gamma ;[0, a])$ is independent of the parametrization $\gamma$ of $\Gamma$. Therefore, the length of $\Gamma$ is defined as
$$
\text { length }(\Gamma)=\ell(\gamma ;[0, a]) .
$$
Whether length $(\Gamma)$ is finite or not, the following theorem holds true.
Theorem $3.8$ If $\Gamma$ is a curve, then $\mathcal{H}^1(\Gamma)=$ length $(\Gamma)$.
Proof The theorem is proved by Remark $3.7$ if $\Gamma$ is a segment. We now consider a parametrization $\gamma:[0, a] \rightarrow \mathbb{R}^n$ of $\Gamma$ and set $\ell=\ell(\gamma ;[0, a])=\operatorname{length}(\Gamma)$. We divide the proof into three steps, and notice that
(i) $\ell(\gamma ;[b, c]) \geq|\gamma(b)-\gamma(c)|$, whenever $0 \leq b \leq c \leq a$;
(ii) $\ell(\gamma ;[b, c])=\ell(\gamma ;[b, d])+\ell(\gamma ;[d, c])$ whenever $0 \leq b \leq d \leq c \leq a$.
Step one: We show that $\mathcal{H}^1(\Gamma) \geq|\gamma(a)-\gamma(0)|$. Since the projection $\mathbf{p}: \mathbb{R}^n \rightarrow$ $\mathbb{R}^n$ of $\mathbb{R}^n$ onto the line defined by $\gamma(0)$ and $\gamma(a)$ satisfies $\operatorname{Lip}(\mathbf{p}) \leq 1$, by Proposition $3.5$ we have $\mathcal{H} \mathcal{H}^1\left(\mathbf{p}\left(I^{\prime}\right)\right) \leq \mathcal{H}^1(1)$. At the same time, $\mathbf{p}(1)$ must contain the segment $[\gamma(0) \gamma(a)]$ : otherwise, $\Gamma=\gamma([0, a])$ would be disconnected, against the continuity of $\gamma$. Thus $\mathcal{H}^1(\mathbf{p}(\Gamma)) \geq \mathcal{H}^1([\gamma(0) \gamma(a)])=|\gamma(a)-\gamma(0)|$.
Step two: If $\left{t_h\right}_{h=0}^N$ is a competitor in the definition of $\ell$, then, setting $\Gamma_h=$ $\gamma\left(\left[t_{h-1}, t_h\right]\right)$, we have $\Gamma=\bigcup_{h=1}^N \Gamma_h$ and, by the injectivity of $\gamma, \mathcal{H}^1\left(\Gamma_h \cap \Gamma_{h+1}\right)=$ $\mathcal{H}^1\left(\left{\gamma\left(t_h\right)\right}\right)=0$. We thus find $\mathcal{H}^1(\Gamma) \geq \ell$ as, by step one,
$$
\mathcal{H}^1(\Gamma)=\sum_{h=1}^N \mathcal{H}^1\left(\Gamma_h\right) \geq \sum_{h=1}^N\left|\gamma\left(t_h\right)-\gamma\left(t_{h-1}\right)\right| .
$$

数学代写|几何测度论代写geometric measure theory代考|Hn = Ln and the isodiametric inequality

We show here equivalence of the Lebesgue measure and the $n$-dimensional Hausdorff measure $\mathcal{H}^n$ on $\mathbb{R}^n$.
Theorem 3.10 If $E \subset \mathbb{R}^n$, and $\delta \in(0, \infty]$, then $|E|=\mathcal{H}^n(E)=\mathcal{H}\delta^n(E)$. A first tool used in proving Theorem $3.10$ is Vitali’s property of Lebesgue measure: if $A \subset \mathbb{R}^n$ is open and $\delta>0$, then a countable disjoint family $\mathcal{F}$ of closed balls contained in $A$ with diameter less than $\delta$ exists such that $$ |A \backslash \bigcup{\bar{B}: \bar{B} \in \mathcal{F}}|=0 . $$ Postponing until Section $5.1$ the proof of this result, we now introduce the second tool used in proving Theorem $3.10$, namely, the isodiametric inequality. Theorem $3.11$ (Isodiametric inequality) Among all sets of fixed diameter, balls have maximum volume. In other words. $$ |E| \leq \omega_n\left(\frac{\operatorname{diam}(E)}{2}\right)^n, \quad \forall E \subset \mathbb{R}^n . $$ Proof of Theorem $3.10$ Step one: We first notice that $$ \omega_n\left(\frac{\sqrt{n}}{2}\right)^n|E| \geq \mathcal{H}{\infty}^n(E) .
$$

If the covering $\mathcal{F}$ is a competitor in the definition of $|E|$, and $r(F)$ denotes the side length of the cube $F \in \mathcal{F}$, then $\operatorname{diam}(F)=\sqrt{n} r(F)$, so that, in particular,
$$
\mathcal{H}{\infty}^n(E) \leq \omega_n \sum{F \in \mathcal{F}}\left(\frac{\operatorname{diam}(F)}{2}\right)^n=\omega_n\left(\frac{\sqrt{n}}{2}\right)^n \sum_{F \in \mathcal{F}} r(F)^n .
$$
By the arbitrariness of $\mathcal{F}$, we find (3.6).

数学代写|几何测度论代写geometric measure theory代考|Math595

几何测度论代考

数学代写|几何测度论代写geometric measure theory代考|H1 and the classical notion of length

间 $[b, c]$ 的 $[0, a]$ 我们定义的长度 $\gamma$ 超过 $[b, c]$ 作为
$\backslash 1 e f t$ 的分隔符缺失或无法识别
很容易看出 $\ell(\gamma ;[0, a])$ 独立于参数化 $\gamma$ 的 $\Gamma$. 因此,长度 $\Gamma$ 定义为
$$
\text { length }(\Gamma)=\ell(\gamma ;[0, a]) \text {. }
$$
是否长度 $(\Gamma)$ 无论是否有限,以下定理都成立。
定理 $3.8$ 如果 $\Gamma$ 是一条曲线,那么 $\mathcal{H}^1(\Gamma)=$ 长度 $(\Gamma)$.
证明 定理由 Remark 证明 $3.7$ 如果 $\Gamma$ 是一个段。我们现在考虑参数化 $\gamma:[0, a] \rightarrow \mathbb{R}^n$ 的 $\Gamma$ 并设置 $\ell=\ell(\gamma ;[0, a])=$ length $(\Gamma)$. 我们将证明分为三个步㡜,并注意到 (i) $\ell(\gamma ;[b, c]) \geq|\gamma(b)-\gamma(c)|$, 每当 $0 \leq b \leq c \leq a$;
(二) $\ell(\gamma ;[b, c])=\ell(\gamma ;[b, d])+\ell(\gamma ;[d, c])$ 每当 $0 \leq b \leq d \leq c \leq a$. 时, $\mathbf{p}(1)$ 必须包含段 $[\gamma(0) \gamma(a)]$ : 否则, $\Gamma=\gamma([0, a])$ 将被断开,反对的连续性 $\gamma$. 因此 $\mathcal{H}^1(\mathbf{p}(\Gamma)) \geq \mathcal{H}^1([\gamma(0) \gamma(a)])=|\gamma(a)-\gamma(0)|$.
第二步: 如果〈1eft 的分隔符缺失或无法识别 $\quad$ 是定义中的竞争对手 $\ell$ ,那么,设置 $\Gamma_h=\gamma\left(\left[t_{h-1}, t_h\right]\right)$ ,我们有 $\Gamma=\bigcup_{h=1}^N \Gamma_h$ 并且,通过
$$
\mathcal{H}^1(\Gamma)=\sum_{h=1}^N \mathcal{H}^1\left(\Gamma_h\right) \geq \sum_{h=1}^N\left|\gamma\left(t_h\right)-\gamma\left(t_{h-1}\right)\right| .
$$

数学代写|几何测度论代写geometric measure theory代考|Hn = Ln and the isodiametric inequality

我们在这里展示了 Lebesgue 测度和 $n$ 维豪斯多夫测度 $\mathcal{H}^n$ 上 $\mathbb{R}^n$.
定理 $3.10$ 如果 $E \subset \mathbb{R}^n$ ,和 $\delta \in(0, \infty]$ ,然后 $|E|=\mathcal{H}^n(E)=\mathcal{H} \delta^n(E)$. 用于证明定理的第一个工具 $3.10$ 是勒贝格测度的 Vitali 属性: 如果 $A \subset \mathbb{R}^n$ 是开放的并且 $\delta>0$ ,然后是一个可数的不相交的家庭 $\mathcal{F}$ 封闭的球包含在 $A$ 直径小于 $\delta$ 存在使得
$$
|A \backslash \bigcup \bar{B}: \bar{B} \in \mathcal{F}|=0 .
$$
推迟到部分 $5.1$ 为了证明这个结果,我们现在介绍证明定理的第二个工具 $3.10$ ,即等径不等式。定理 $3.11$ (等径不等式) 在所有固定直径的集合中,球的体积最 大。换句话说。
$$
|E| \leq \omega_n\left(\frac{\operatorname{diam}(E)}{2}\right)^n, \quad \forall E \subset \mathbb{R}^n
$$
定理证明 $3.10$ 第一步: 我们首先注意到
$$
\omega_n\left(\frac{\sqrt{n}}{2}\right)^n|E| \geq \mathcal{H} \infty^n(E) \text {. }
$$
如果覆盖 $\mathcal{F}$ 是定义中的竞争对手 $|E| ,$ 和 $r(F)$ 表示立方体的边长 $F \in \mathcal{F}$ ,然后 $\operatorname{diam}(F)=\sqrt{n} r(F)$ ,因此,特别是,
$$
\mathcal{H} \infty^n(E) \leq \omega_n \sum F \in \mathcal{F}\left(\frac{\operatorname{diam}(F)}{2}\right)^n=\omega_n\left(\frac{\sqrt{n}}{2}\right)^n \sum_{F \in \mathcal{F}} r(F)^n
$$
由于任意性 $\mathcal{F}$ ,我们找到(3.6)。

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题,以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法,其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型;这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型(GLM)归属统计学领域,是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型(GLM)通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归,以及方差分析和方差分析(仅含固定效应)。

有限元方法代写

有限元方法(FEM)是一种流行的方法,用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法,用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程(即一些边界值问题)。为了解决一个问题,有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分,称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的,它是通过构建对象的网格来实现的:用于求解的数值域,它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统,以模拟整个问题。然后,有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写


随机微积分是数学的一个分支,对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程,是依赖于参数的一组随机变量的全体,参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现,其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值(如1秒,5分钟,12小时,7天,1年),因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中,往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录,以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进(Multiple Regression Analysis Asymptotics)属于计量经济学领域,主要是一种数学上的统计分析方法,可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系,在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

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MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中,其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括:数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发,包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统,其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题,尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题,而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问,这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展,得到了许多用户的投入。在大学环境中,它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域,MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要,工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数(M 文件)的综合集合,可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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