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在数学中,图论是对图的研究,它是用来模拟对象之间成对关系的数学结构。这里,图由顶点(也称为节点或点)组成,这些顶点由边(也称为链接或线)连接。

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  • Foundations of Data Science 数据科学基础
数学代写|图论作业代写Graph Theory代考|MATH360

数学代写|图论作业代写Graph Theory代考|Hamiltonian Cycles

Think back to the city of Königsberg. The previous section determined when a graph would contain an eulerian circuit, a special type of circuit that must travel through every edge and vertex. This concept arose from a désire to cross every bridge in the city.
What if we change the requirements ever so slightly so that we are only concerned with the landmasses? This could model a delivery service with customers in every sector of the city. In graph theoretic terms, we are looking for a tour through the graph that hits every vertex exactly once. An example of such a tour on the graph representing Königsberg is shown above. What type of tour is this? If we need to start and end at the same location, we are searching for a cycle. If the starting and ending points can differ, we are searching for a path.
Definition 2.10 A cycle in a graph $G$ that contains every vertex of $G$ is called a hamiltonian cycle. A path that contains every vertex is called a hamiltonian path. A graph that contains a hamiltonian cycle is called hamiltonian.

Recall that a cycle or a path can only pass through a vertex once, so the hamiltonian cycles and paths travel through every vertex exactly once. Moreover, using the language of Definition 1.5, we could describe hamiltonian cycles and paths as spanning cycles and paths since they must include all vertices of the graph.

As with eulerian circuits, these specific cycles (or paths) are named for the mathematician who first formalized them, Sir William Hamilton. Hamilton posed this idea in 1856 in terms of a puzzle, which he later sold to a game dealer. The “Icosian Game” was a wooden puzzle with numbered ivory pegs where the player was tasked with inserting the pegs so that following them in order would traverse the entire board (shown on the following page). Perhaps not too surprisingly, this gamé was not a big money maker.

It should be noted that T.P. Kirkman, a contemporary of Hamilton’s, did much of the early work in the study of hamiltonian circuits. Whereas Hamilton primarily focused on one graph, Kirkman was concerned with the conditions that will guarantee a graph has a hamiltonian cycle. However, Hamilton deserves credit for publicizing the concept of a cycle that hits every vertex exactly once. This section will explore when a graph has a hamiltonian cycle and how to find an optimal, or near optimal, hamiltonian cycle.

数学代写|图论作业代写Graph Theory代考|The Traveling Salesman Problem

The discussion above should make clear the difficulty in determining if a graph is hamiltonian. But what if a graph is know to have a hamiltonian cycle? For example, every complete graph $K_n$ (for $n \geq 3$ ) must contain a hamiltonian cycle since it satisfies the criteria of Dirac’s Theorem. In this scenario, finding a hamiltonian cycle is quite elementary, and so, as mathematicians do, we generalize the problem to one in which the edges are no longer equivalent and have a weight associated to them. Then instead of asking whether a graph simply has a hamiltonian cycle, we can now ask how do we find the best hamiltonian cycle.

Historically, the extensive study of hamiltonian circuits arose in part from a simple question: A traveling salesman has customers in numerous cities; he must visit each of them and return home, but wishes to do this with the least total cost; determine the cheapest route possible for the salesman. In fact, Proctor and Gamble can be credited with the modern study of hamiltonian circuits when they sponsored a seemingly innocent competition in the 1960s asking for a shortest hamiltonian circuit visiting 33 cities across the United States. Mathematicians were intrigued and an entire branch of mathematics and computer science developed. For over half a century, some of the brightest minds have tackled the Traveling Salesman Problem (my graph theory professor in college called it “the disease”) and numerous books and websites are devoted to finding an optimal solution to both the general question and to specific instances (such as a cycle through all cities in Sweden). A full discussion of the problem is beyond the scope of this book, though you are encouraged to peruse [16] or [17]. You could honestly spend a semester just discussing the various algorithms, so we restrict ourselves to just a handful of these, with plenty of examples and exercises.

数学代写|图论作业代写Graph Theory代考|MATH360

图论代考

数学代写|图论作业代写Graph Theory代考|Hamiltonian Cycles

回想一下柯尼斯堡市。上一节确定了图何时包含欧拉回路,欧拉回路是一种必须通过每条边和顶点的特殊类型的回路。这个概念源于一种跨越城市中每座桥梁的愿望。
如果我们稍微改变要求,只关注陆地会怎样?这可以为城市各个部门的客户提供送货服务。用图论的术语来说,我们正在寻找一个遍历每个顶点恰好一次的图。上面显示了代表柯尼斯堡的图表上的这种游览示例。这是什么类型的旅游?如果我们需要在同一个位置开始和结束,我们正在寻找一个循环。如果起点和终点可以不同,我们正在寻找一条路径。
定义 2.10 图中的循环G包含每个顶点G称为哈密顿循环。包含每个顶点的路径称为哈密顿路径。包含哈密顿循环的图称为哈密顿循环。

回想一下,循环或路径只能通过顶点一次,因此哈密顿循环和路径仅通过每个顶点一次。此外,使用定义 1.5 的语言,我们可以将哈密顿循环和路径描述为跨越循环和路径,因为它们必须包括图的所有顶点。

与欧拉电路一样,这些特定的循环(或路径)以首先将它们形式化的数学家威廉·汉密尔顿爵士命名。汉密尔顿在 1856 年以拼图的形式提出了这个想法,后来他把它卖给了游戏经销商。“伊科西亚游戏”是一个木制拼图,带有编号的象牙钉,玩家的任务是插入钉子,以便按顺序跟随它们穿过整个棋盘(如下页所示)。或许不足为奇的是,这款游戏并没有大赚一笔。

应该指出的是,与汉密尔顿同时代的 TP Kirkman 在汉密尔顿回路的研究中做了很多早期工作。汉密尔顿主要关注一个图,而柯克曼则关注保证图具有汉密尔顿循环的条件。然而,汉密尔顿因为宣传循环的概念而值得称赞,该循环恰好触及每个顶点一次。本节将探讨图何时具有哈密顿循环以及如何找到最佳或接近最佳的哈密顿循环。

数学代写|图论作业代写Graph Theory代考|The Traveling Salesman Problem

上面的讨论应该清楚地确定一个图是否是哈密顿图的困难。但是,如果知道一个图有一个哈密顿循环呢?例如,每个完整的图ķn(为了n≥3) 必须包含一个汉密尔顿循环,因为它满足狄拉克定理的标准。在这种情况下,找到一个哈密顿循环是非常基本的,因此,正如数学家所做的那样,我们将问题推广到边缘不再等价并且具有与其相关联的权重的问题。然后,我们现在可以问我们如何找到最佳的哈密顿循环,而不是询问一个图是否只是具有哈密顿循环。

从历史上看,对汉密尔顿回路的广泛研究部分源于一个简单的问题:一个旅行推销员在许多城市都有客户;他必须拜访他们每个人并回家,但希望以最少的总成本这样做;确定推销员可能的最便宜的路线。事实上,宝洁公司在 1960 年代赞助了一场看似无辜的比赛,要求在美国 33 个城市进行最短的汉密尔顿赛道,因此他们对汉密尔顿赛道的现代研究可谓功不可没。数学家们对此很感兴趣,并发展了数学和计算机科学的整个分支。半个多世纪以来,一些最聪明的人已经解决了旅行商问题(我在大学的图论教授称其为“疾病”),许多书籍和网站都致力于为一般问题和特定实例(例如循环穿越瑞典的所有城市)。尽管鼓励您仔细阅读 [16] 或 [17],但对该问题的完整讨论超出了本书的范围。老实说,您可以花一个学期来讨论各种算法,因此我们将自己限制在其中的少数几个方面,并提供大量示例和练习。

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题,以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法,其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型;这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型(GLM)归属统计学领域,是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型(GLM)通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归,以及方差分析和方差分析(仅含固定效应)。

有限元方法代写

有限元方法(FEM)是一种流行的方法,用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法,用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程(即一些边界值问题)。为了解决一个问题,有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分,称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的,它是通过构建对象的网格来实现的:用于求解的数值域,它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统,以模拟整个问题。然后,有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写


随机微积分是数学的一个分支,对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程,是依赖于参数的一组随机变量的全体,参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现,其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值(如1秒,5分钟,12小时,7天,1年),因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中,往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录,以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进(Multiple Regression Analysis Asymptotics)属于计量经济学领域,主要是一种数学上的统计分析方法,可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系,在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中,其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括:数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发,包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统,其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题,尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题,而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问,这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展,得到了许多用户的投入。在大学环境中,它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域,MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要,工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数(M 文件)的综合集合,可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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