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在数学中，图论是对图的研究，它是用来模拟对象之间成对关系的数学结构。这里，图由顶点（也称为节点或点）组成，这些顶点由边（也称为链接或线）连接。

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数学代写|图论作业代写Graph Theory代考|Tree Properties

As finding a minimum spanning tree is (in graph theoretic terms) quick and easy, we focus our attention on the properties of trees and what a spanning tree can tell us about its graph. As is common in mathematics, the things with the simplest definitions provide an abundance of material to study in depth. Trees in particular provide ample opportunities to strengthen our proof writing skills, specifically induction and contradiction methods. We begin with some results that arise through counting techniques. Recall that a vertex of degree 1 is called a leaf.
Theorem 3.4 Every tree with at least two vertices has a leaf.
Proof: Suppose for a contradiction that there exists a tree $T$ with at least two vertices that does not contain a leaf. Since $T$ must be connected, we know no vertex has degree 0 , and therefore every vertex of $T$ must have degree at least 2. But then by Theorem $2.5$ we know $T$ must have a cycle, which contradicts that $T$ is acyclic. Thus $T$ must contain a leaf.

Exercise $3.18$ expands on this theorem to show that every tree (with at least two vertices) in fact has at least two leaves.

Beyond simply showing trees have a specific property, the result above allows us to do a remarkably useful thing-prune a tree! Recall that $G-v$ denotes removing the vertex from $G$ along with all edges incident to $v$. The proof of the following lemma appears in Exercise 3.16.
Lemma 3.5 Given a tree $T$ with a leaf $v$, the graph $T-v$ is still a tree.
Removing a leaf from a tree will always remove exactly one vertex and one edge, creating a tree with a smaller size. This technique naturally lends itself to induction arguments.

数学代写|图论作业代写Graph Theory代考|Tree Enumeration

In Section $1.6$ we discussed how a degree sequence can help determine the structure of a graph, though it may not be unique. As it turns out, there is a similar result for trees, but one in which the tree can be uniquely determined from the sequence given. Instead of focusing on degrees, this sequence, called a Prüfer sequence, uses the location of leaves within a tree. These sequences were introduced in 1918 by the German mathematician Ernst Paul Heinz Prüfer as a means for proving Cayley’s Theorem (see Theorem 3.14)[70].

Definition $3.13$ Given a tree $T$ on $n>2$ vertices (labeled $1,2, \ldots, n$ ), the Prüfer sequence of $T$ is a sequence $\left(s_1, s_2, \ldots, s_{n-2}\right)$ of length $n-2$ defined as follows:

• Let $l_1$ be the leaf of $T$ with the smallest label.
• Define $T_1$ to be $T-l_1$.
• For each $i \geq 1$, define $T_{i+1}=T_i-l_{i+1}$, where $l_{i+1}$ is the leaf with the smallest label of $T_i$.
• Define $s_i$ to be the neighbor of $l_i$.
  While this definition of the Prüfer sequence is quite detailed, it is not too difficult to work with in practice. The main idea is to prune the leaf of the smallest index, while keeping track of its unique neighbor. At the end of the pruning, two adjacent vertices will remain.
• Looking back at this example, we should see a few items stand out. First, the leaves of $T$ are $1,4,5,7$, and 8 , none of which appear in the Prüfer sequence. This is because we are always noting the neighbor of a leaf, not the leaf itself. You should also notice that a vertex appears in the sequence one less than its degree. Also, the vertex with label $n$ will always be adjacent to the vertex appearing as $s_{n-2}$, which occurs since the last graph created $\left(T_{n-2}\right)$ will consist of only two vertices and $n$ will never be the smallest leaf remaining. Using these ideas, we can actually work backwards to build the tree from a given Prüfer sequence.

图论代考

数学代写|图论作业代写图论代考|树的属性

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由于找到最小生成树(用图论的术语来说)是快速和容易的，我们把注意力集中在树的性质以及生成树可以告诉我们关于它的图的什么。正如数学中常见的那样，定义最简单的事物提供了大量深入研究的材料。树尤其提供了大量的机会来加强我们的证明写作技巧，特别是归纳法和反证法。我们从一些通过计数技术得到的结果开始。回想一下，度为1的顶点叫做叶。3.4每个至少有两个顶点的树都有一个叶结点。
证明:假设存在一个矛盾的树$T$，它至少有两个顶点不包含叶。由于$T$必须被连接，我们知道没有顶点的度数为0，因此$T$的每个顶点的度数必须至少为2。但是根据$2.5$定理，我们知道$T$一定有一个循环，这与$T$是无循环相矛盾。因此$T$必须包含一个叶文件

练习$3.18$扩展了这个定理，证明了每棵树(至少有两个顶点)实际上至少有两个叶结点

除了简单地显示树木有特定的属性，上面的结果让我们做了一件非常有用的事情——修剪一棵树!回想一下，$G-v$表示从$G$移除顶点，同时移除所有与$v$相关的边。下面引理的证明见练习3.16。
引理3.5给定树$T$和叶子$v$，图$T-v$仍然是树。
从树中移除叶子总是移除一个顶点和一条边，创建一个更小的树。这个技巧很自然地适用于归纳法参数

数学代写|图论作业代写Graph Theory代考|Tree Enumeration

. Tree Enumeration . Tree Enumeration

在$1.6$节中，我们讨论了度序列如何帮助确定图的结构，尽管它可能不是唯一的。事实证明，对于树也有类似的结果，但是树可以从给定的序列中唯一确定。这个序列称为Prüfer序列，它不关注度数，而是使用树中叶子的位置。这些序列是1918年由德国数学家恩斯特·保罗·海因茨(Ernst Paul Heinz) Prüfer作为证明Cayley定理(见定理3.14)的一种手段提出的[70]

定义 $3.13$ 给定一棵树 $T$ 在 $n>2$ 顶点(已标记 $1,2, \ldots, n$ 的Prüfer序列 $T$ 是一个序列 $\left(s_1, s_2, \ldots, s_{n-2}\right)$ 长度 $n-2$ 定义如下:

• 设$l_1$为标签最小的$T$的叶。
• 定义$T_1$为$T-l_1$
• 对于每个$i \geq 1$，定义$T_{i+1}=T_i-l_{i+1}$，其中$l_{i+1}$是带有$T_i$最小标签的叶子
• 定义$s_i$为$l_i$的邻居
  虽然Prüfer序列的这个定义非常详细，但在实践中使用它并不太难。主要思想是修剪最小索引的叶，同时跟踪它唯一的邻居。在修剪结束时，两个相邻顶点将保留下来。回过头来看这个例子，我们应该会看到一些突出的项目。首先，$T$的叶子是$1,4,5,7$和8，它们都没有出现在Prüfer序列中。这是因为我们总是注意叶子的邻居，而不是叶子本身。您还应该注意到，一个顶点出现在比它的度数小1的序列中。此外，带有标签$n$的顶点将始终与显示为$s_{n-2}$的顶点相邻，这是因为创建的最后一个图$\left(T_{n-2}\right)$将只包含两个顶点，而$n$永远不会是剩余的最小叶。使用这些思想，我们实际上可以从给定的Prüfer序列逆向构建树。

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。

有限元方法代写

有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

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多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

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