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信息理论是对数字信息的量化、存储和通信的科学研究。该领域从根本上是由哈里-奈奎斯特和拉尔夫-哈特利在20世纪20年代以及克劳德-香农在20世纪40年代的作品所确立的。该领域处于概率论、统计学、计算机科学、统计力学、信息工程和电气工程的交叉点。
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数学代写|信息论作业代写information theory代考|A “Lucky Accident”
The solutions $\left{\varphi_{n}(x)\right}$ of the integral equation (2.57) can be obtained by solving the differential equation
$$
\frac{d}{d x}\left(1-x^{2}\right) \frac{d \varphi(x)}{d x}+\left(\chi-c_{0}^{2} x^{2}\right) \varphi(x)=0, \quad|x|<1 .
$$
This follows by defining the differential and integral operators
$$
\begin{aligned}
&\mathcal{P} \varphi=\frac{d}{d x}\left(1-x^{2}\right) \frac{d \varphi}{d x}-c_{0}^{2} x^{2} \varphi, \
&\mathcal{Q} \varphi=\int_{-1}^{1} \frac{\sin c_{0}(x-y)}{\pi(x-y)} \varphi(y) d y,
\end{aligned}
$$
and noticing the commutative property
$$
\mathcal{Q P} \varphi=\mathcal{P} \mathcal{Q} \varphi .
$$
Since commuting operators admitting a complete set of eigenfunctions share the same eigenfunctions, it follows that the solutions of (2.60) are also solutions of (2.57). Slepian refers to this as a “lucky accident” that allowed him and his collaborators to find the solution to the concentration problem in terms of that of a well-known equation in physics.
The solutions of (2.60) arise in the context of the wave equation, and are known as the prolate spheroidal wave functions of the first kind and of order zero. They are a set of solutions of the Helmholtz equation when this is expressed in a suitable coordinate system. The corresponding eigenvalues are positive, discrete reals $\chi_{0} \leq \chi_{1} \leq \chi_{2} \leq \cdots$. When the eigenfunctions are indexed by increasing values of $\chi$, they agree with the notation of indexing by decreasing values of $\lambda$ used above. It follows that the prolate spheroidal wave functions are the most concentrated, orthogonal, bandlimited functions, and enjoy many properties useful for applications in mathematical physics. Among those, one key property is that their energy falls off sharply beyond a critical phase transition point corresponding to values of the indexes in the neighborhood of $N_{0}=\Omega T / \pi$. This leads to the notion of the asymptotic dimensionality of the space of bandlimited signals.
数学代写|信息论作业代写information theory代考|Most Concentrated Functions
The eigenfunctions $\left{\varphi_{n}(x)\right}$ of (2.57) are also well defined for all $x \in \mathbb{R}$. It can be shown that they are orthonormal in $L^{2}(-\infty, \infty)$ and complete in $\mathscr{B}{1}$ there, as well as orthogonal and complete in $L^{2}(-1,1)$, as already noted. They have exactly $n$ zeros in $(-1,1)$, and they are even or odd as $n$ is even or odd. We have $$ \begin{aligned} &\int{-\infty}^{\infty} \varphi_{n}(x) \varphi_{m}(x) d x= \begin{cases}1 & \text { if } n=m \
0 & \text { otherwise }\end{cases} \
&\int_{-1}^{1} \varphi_{n}(x) \varphi_{m}(x) d x= \begin{cases}\lambda_{n} & \text { if } n=m \
0 & \text { otherwise. }\end{cases}
\end{aligned}
$$
The notation conceals the fact that both the $\left{\varphi_{n}\right}$ and the $\left{\lambda_{n}\right}$ depend on the parameter $c_{0}=\Omega T / 2$. When necessary, we write $\lambda_{n}=\lambda_{n}\left(c_{0}\right), \varphi_{n}(x)=\varphi_{n}\left(c_{0}, x\right)$. It turns out that $\left{\lambda_{n}\left(c_{0}\right)\right}$ are continuous functions of $c_{0}$, and for fixed $c_{0}$ they fall off rapidly with increasing $n$, once $n$ exceeds the Nyquist number $N_{0}=2 c_{0} / \pi=\Omega T / \pi$. This is the phase transition behavior referred to above, which allows the determination of the exact dimension of the space of bandlimited signals spanned by the eigenfunctions $\left{\varphi_{n}\right}$. Another important property is that the Fourier transform of $\varphi_{n}(x)$ restricted to $|x|<1$ has the same form as $\varphi_{n}(x)$, except for a scale factor (see also Section $2.6 .2$ below), namely
$$
j^{n} \sqrt{\frac{\lambda_{n}}{2 \pi c_{0}}} \varphi_{n}(x)=\frac{1}{2 \pi} \int_{-1}^{1} \varphi_{n}(s) \exp \left(j c_{0} x s\right) d s
$$
信息论代写
数学代写|信息论作业代写information theory代考|A “Lucky Accident”
解决方案\left 的分隔符缺失或无法识别
积分方程 (2.57) 可以通过求解微分方程得到
$$
\frac{d}{d x}\left(1-x^{2}\right) \frac{d \varphi(x)}{d x}+\left(\chi-c_{0}^{2} x^{2}\right) \varphi(x)=0, \quad|x|<1 .
$$
接下来是定义微分和积分算子
$$
\mathcal{P} \varphi=\frac{d}{d x}\left(1-x^{2}\right) \frac{d \varphi}{d x}-c_{0}^{2} x^{2} \varphi, \quad \mathcal{Q} \varphi=\int_{-1}^{1} \frac{\sin c_{0}(x-y)}{\pi(x-y)} \varphi(y) d y
$$
并注意到交换性质
$$
\mathcal{Q} \mathcal{P} \varphi=\mathcal{P} \mathcal{Q} \varphi
$$
由于承认一组完整特征函数的对易算子共享相同的特征函数，因此 (2.60) 的解也是 (2.57) 的解。Slepian 将此称为“幸运事故”，这使他和他的合作者能够根据 物理学中著名的方程找到浓度问题的解决方案。
(2.60) 的解出现在波动方程的上下文中，并且被称为第一类和零阶的长球面波函数。当在合适的坐标系中表示时，它们是亥姆霍兹方程的一组解。相应的特征值 是正的离散实数 $\chi_{0} \leq \chi_{1} \leq \chi_{2} \leq \cdots$ 当特征函数通过增加的值来索引时 $\chi$ ，他们同意通过减少值的索引表示法 $\lambda$ 上面用过。由此可见，长球面波函数是最集中 的、正交的、带限的函数，并且具有许多对数学物理应用有用的性质。其中，一个关键特性是它们的能量在临界相变点之后急剧下降，该钿界相变点对应于附近 的指数值。 $N_{0}=\Omega T / \pi$. 这导致了带限信号空间的渐近维数的概念。
数学代写|信息论作业代写information theory代考|Most Concentrated Functions
特征函数 $\backslash$ left 的分隔符缺失或无法识别 (2.57) 的 $x \in \mathbb{R}$. 可以证明它们是正交的 $L^{2}(-\infty, \infty)$ 并完成庅 1 那里， 以及正交和完整的 $L^{2}(-1,1)$ ，如 前所述。他们有确切的 $n$ 归零 $(-1,1)$ ，它们是偶数或奇数 $n$ 是偶数还是奇数。我们有
$\int-\infty^{\infty} \varphi_{n}(x) \varphi_{m}(x) d x=\left{1 \quad\right.$ if $n=m 0 \quad$ otherwise $\quad \int_{-1}^{1} \varphi_{n}(x) \varphi_{m}(x) d x=\left{\lambda_{n} \quad\right.$ if $n=m 0 \quad$ otherwise.
该符号隐藏了这样一个事实，即 \1eft 的分隔符缺失或无法识别
和\left 的分隔符缺失或无法识别
取决于参数 $c_{0}=\Omega T / 2$. 必
要时，我们写 $\lambda_{n}=\lambda_{n}\left(c_{0}\right), \varphi_{n}(x)=\varphi_{n}\left(c_{0}, x\right)$. 事实证明 \left 的分隔符缺失或无法识别 是的连续函数 $c_{0}$ 对于固定 $c_{0}$ 它们随着增加而迅速下 降 $n ，$ 一次 $n$ 超过奈奎斯特数 $N_{0}=2 c_{0} / \pi=\Omega T / \pi$. 这是上面提到的相变行为，它允许确定由特征函数䟲泧的带限信号空间的精确篧度
lleft 的分隔符缺失或无法识别
另一个重要的性质是傅里叶变换 $\varphi_{n}(x)$ 受限于 $|x|<1$ 具有相同的形式 $\varphi_{n}(x)$, 比例因子除外 (另见第 $2.6 .2$ 下
面)，即
$$
j^{n} \sqrt{\frac{\lambda_{n}}{2 \pi c_{0}}} \varphi_{n}(x)=\frac{1}{2 \pi} \int_{-1}^{1} \varphi_{n}(s) \exp \left(j c_{0} x s\right) d s
$$
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金融工程代写
金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。
非参数统计代写
非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。
广义线性模型代考
广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。
术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。
有限元方法代写
有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。
有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。
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随机分析代写
随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。
时间序列分析代写
随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。
回归分析代写
多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。
MATLAB代写
MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。
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