金融代写|利率建模代写Interest Rate Modeling代考|MTH5520

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Statistical Computing 统计计算
Advanced Probability Theory 高等概率论
Advanced Mathematical Statistics 高等数理统计学
(Generalized) Linear Models 广义线性模型
Statistical Machine Learning 统计机器学习
Longitudinal Data Analysis 纵向数据分析
Foundations of Data Science 数据科学基础

金融代写|利率建模代写Interest Rate Modeling代考|MTH5520

金融代写|利率建模代写Interest Rate Modeling代考|A GENERAL TREE-BUILDING PROCEDURE

The procedure for tree building presented in the last section can be generalized to other diffusion models for short rates. The major disadvantage of the resulting tree is that the interest-rate span can be too wide and fall too deep in the negative territory. In this section, we introduce a more sophisticated method of tree building for short-rate models with mean reversion. Although the resulting tree does not guarantee that negative interest rates are avoided, it does provide a tree with a much narrower rate span around the level of the mean interest rate.

Without loss of generality, we consider a trinomial tree approximation of a general short-rate model with a state-dependent drift term,
$$
\mathrm{d} r_t=\mu\left(r_t, t ; \theta_t\right) \mathrm{d} t+\sigma_t \mathrm{~d} W_t .
$$
An immediate example of $\mu$ is the drift term for the Hull-White model, $\kappa\left(\theta_t-r_t\right)$, but the method can be applied to other models by replacing $r_t$ with a function $f\left(r_t\right)$. Literally, the discrete version of Equation $5.79$ is
$$
\Delta r_t=\mu\left(r_t, t ; \theta_t\right) \Delta t+\sigma_t \Delta W_t .
$$
Its first two moments are
$$
\begin{aligned}
E^{\mathbb{Q}}\left[\Delta r_t \mid r_t\right] &=\mu\left(r_t, t ; \theta_t\right) \Delta t, \
E^{\mathbb{Q}}\left[\left(\Delta r_t\right)^2 \mid r_t\right] &=\sigma_t^2 \Delta t+\mu^2\left(r_t, t ; \theta_t\right) \Delta t^2 .
\end{aligned}
$$
Consider an element with trinomial branching as depicted in Figure 5.10, where we choose the middle branch for the next time step, $r_{k, n+1}$, according to the principle that it is the one closest to the expected value of the shortrate conditional on $r_{j, n}$,
$$
\begin{aligned}
k &=k(j)=\underset{i}{\arg \min }\left|E^{\mathbb{Q}}\left[r_{\cdot, n+1} \mid r_{j, n}\right]-\left(r_{0, n+1}+i \delta r\right)\right| \
r_{0, n+1} &=r_{0, n}+\mu\left(r_{0, n}, t_n ; \theta_n\right) \Delta t
\end{aligned}
$$

金融代写|利率建模代写Interest Rate Modeling代考|The Black–Karasinski Model

The discussions of tree methods for short-rate models have focused on the Ho-Lee and Hull-White models. In this section, we discuss a more general class of short-rate models and their lattice implementations. This class of models can be cast in the form
$$
\mathrm{d} f\left(r_t\right)=\kappa\left(\theta_t-f\left(r_t\right)\right) \mathrm{d} t+\sigma_t \mathrm{~d} W_t,
$$
for some monotonic function, $f(x)$, such that $f^{-1}(y)$ exists. For a given function of $\theta_t$, we can apply the procedure from Equations $5.82$ through $5.89$ to build a tree for $R_t=f\left(r_t\right)$. The interest-rate tree for $r_t$ then results from the one-to-one correspondence between $R_t$ and $r_t$. For the calibration procedure, however, there is a small difference from the one for the HullWhite model: due to the non-linearity of $f(x), \theta_n$ will be solved through a root-finding procedure, instead of being obtained explicitly. Specifically,

with $r_t$ taken over by $R_t$ elsewhere in the algorithm, we need to replace Equations $5.99$ and $5.100$ with a single equation
$$
P(0,(j+1) \Delta t)=\sum_{i=-j}^j Q_{i, j} \mathrm{e}^{-f^{-1}\left(R_{i, j}-\kappa \theta_{j-1} \Delta t\right) \Delta t},
$$
and solve for $\theta_{j-1}$ iteratively.
As a major model in the class of Equation 5.104, we now introduce the Black and Karasinski (1991) model, which corresponds to $f(x)=\ln x$. Alternatively, we can write the short rate as an exponential function,
$$
r_t=\mathrm{e}^{X_t}
$$
while $X_t$ follows a Vasicek process,
$$
\mathrm{d} X_t=\sigma_t \mathrm{~d} W_t+\kappa_t\left(\theta_t-X_t\right) \mathrm{d} t .
$$

利率建模代考

金融代写|利率建模代写利率建模代考|一个通用的树的建立过程

上一节给出的树形构建过程可以推广到其他短期速率的扩散模型。由此产生的树的主要缺点是，利率跨度可能太宽，在负区域下降得太深。在本节中，我们将介绍一种更复杂的方法来建立具有平均回归的短期利率模型的树。虽然得到的树不能保证避免负利率，但它确实提供了一个在平均利率水平附近的利率跨度窄得多的树

在不丧失一般性的情况下，我们考虑一个具有状态相关漂移项的一般短期利率模型的三叉树近似，$$
\mathrm{d} r_t=\mu\left(r_t, t ; \theta_t\right) \mathrm{d} t+\sigma_t \mathrm{~d} W_t .
$$
$\mu$的一个直接例子是Hull-White模型的漂移项$\kappa\left(\theta_t-r_t\right)$，但该方法可以应用于其他模型，方法是将$r_t$替换为函数$f\left(r_t\right)$。从理论上讲，方程$5.79$的离散版本是
$$
\Delta r_t=\mu\left(r_t, t ; \theta_t\right) \Delta t+\sigma_t \Delta W_t .
$$
它的前两个矩是
$$
\begin{aligned}
E^{\mathbb{Q}}\left[\Delta r_t \mid r_t\right] &=\mu\left(r_t, t ; \theta_t\right) \Delta t, \
E^{\mathbb{Q}}\left[\left(\Delta r_t\right)^2 \mid r_t\right] &=\sigma_t^2 \Delta t+\mu^2\left(r_t, t ; \theta_t\right) \Delta t^2 .
\end{aligned}
$$
考虑一个具有三叉分支的元素，如图5.10所示，我们选择中间的分支作为下一个时间步骤$r_{k, n+1}$，根据这个原则，它是最接近于$r_{j, n}$的短值条件的期望值的一个，
$$
\begin{aligned}
k &=k(j)=\underset{i}{\arg \min }\left|E^{\mathbb{Q}}\left[r_{\cdot, n+1} \mid r_{j, n}\right]-\left(r_{0, n+1}+i \delta r\right)\right| \
r_{0, n+1} &=r_{0, n}+\mu\left(r_{0, n}, t_n ; \theta_n\right) \Delta t
\end{aligned}
$$

金融代写|利率建模代写利率建模代考| Black-Karasinski模型

关于短期利率模型的树形方法的讨论集中在Ho-Lee和Hull-White模型上。在本节中，我们将讨论更一般的短期利率模型及其格实现。对于某些单调函数$f(x)$，这类模型可以以
$$
\mathrm{d} f\left(r_t\right)=\kappa\left(\theta_t-f\left(r_t\right)\right) \mathrm{d} t+\sigma_t \mathrm{~d} W_t,
$$
的形式进行强制转换，这样$f^{-1}(y)$就存在了。对于给定的函数$\theta_t$，我们可以应用从$5.82$到$5.89$的过程来构建$R_t=f\left(r_t\right)$的树。$r_t$的利率树由$R_t$和$r_t$之间的一一对应产生。然而，在校准过程中，与HullWhite模型的校准过程有一点不同:由于$f(x), \theta_n$的非线性，将通过找根过程求解，而不是显式得到。具体来说，

， $r_t$在算法的其他地方被$R_t$取代，我们需要用单个方程
$$
P(0,(j+1) \Delta t)=\sum_{i=-j}^j Q_{i, j} \mathrm{e}^{-f^{-1}\left(R_{i, j}-\kappa \theta_{j-1} \Delta t\right) \Delta t},
$$
替换方程$5.99$和$5.100$，并迭代求解$\theta_{j-1}$。我们现在引入Black and Karasinski(1991)模型作为5.104方程类中的一个主要模型，它对应于$f(x)=\ln x$。或者，我们可以将短期汇率写成指数函数，
$$
r_t=\mathrm{e}^{X_t}
$$
，而$X_t$遵循Vasicek过程，
$$
\mathrm{d} X_t=\sigma_t \mathrm{~d} W_t+\kappa_t\left(\theta_t-X_t\right) \mathrm{d} t .
$$

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。

有限元方法代写

有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写

随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。

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多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

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