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## 数学代写|线性代数代写linear algebra代考|Laplace’s Formula

In this section, we present yet another formula, the Laplace’s formula of the determinant function. This formula is particularly useful when we need to calculate determinants of (small) matrices whose entries have parameters (see Chapter 4). However, due to the quantity of multiplications involved when we deal with large matrices, this is not an effective way of calculating the determinant.

Definition 22 Let $A$ be a square matrix of order $n$. Let $\left[\boldsymbol{A}{i j}\right]$ be the submatrix of $A$ obtained by deleting row $i$ and column $j$. The minor-ij $\boldsymbol{M}{i j}$ and the cofactor-ij $\boldsymbol{C}{i j}$ are defined by $$M{i j}=\operatorname{det}\left[A_{i j}\right], \quad C_{i j}=(-1)^{i+j} M_{i j} .$$
Theorem $2.2$ (Laplace’s formula with expansion along row $i$ ) Let $A$ be a square matrix of order $n$ and let $\mathbf{l}i$ be a row of $A$. Then, $$|A|=\sum{j=1}^n a_{i j} C_{i j} .$$
Proof This proof follows closely $\$ 11.3$of [13]. Given a matrix A, we know that, by (2.4), $$\operatorname{det} A=\sum_{p \in P_S} \operatorname{sign}(p) a_{1 p(1)} a_{2 p(2)} \ldots a_{i p(i)} \ldots a_{n p(n)}$$ Notice that, if$1_i$is some fixed row of$A$, then each summand has a single entry from$\mathbf{l}_i$. Consider firstly the permutations$p \in \bar{P}S$such that$p(1)=1$and denote by$P_S^{\prime}$this subset of permutations. That is to say, we are speaking of all the summands of the form$a{11} a_{2 p(2)} \ldots a_{i p(i)} \ldots a_{n p(n)}. In this case, the sum of all this summands gives \begin{aligned} \sum_{p \in P_S^{\prime}} \operatorname{sign}(p) a_{11} a_{2 p(2)} \ldots a_{i p(i)} \ldots a_{n p(n)} &=a_{11} \sum_{q \in S_1} \operatorname{sign}(q) a_{2 q(2)} \ldots a_{n q(n)} \ &=a_{11} M_{11} \ &=a_{11}(-1)^{1+1} M_{11} \ &=a_{11} C_{11} \end{aligned} whereS_1$is the set of permutations of the ordered set$(2, \ldots, n)$and$i=1=p(1)=j$. ## 数学代写|线性代数代写linear algebra代考|Laplace’s formula with expansion along column Let$A$be a square matrix of order$n$and let$\mathbf{c}j$be a column of$A$. Then, $$|A|=\sum{i=1}^n a_{i j} C_{i j} .$$ Proof Exercise. (Hint: use the fact that transposition does not change the detetminant.) Example 2.8 We re-calculate the determinant of Example$2.7using an expansion along column 2. \begin{aligned} |A|=\left|\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 2 \ 3 & 0 & -1 \ 1 & 3 & 1 \end{array}\right| &=a_{12} C_{12}+a_{22} C_{22}+a_{32} C_{32} \ =& 0 \times(-1)^{1+2}\left|\begin{array}{cc} 3 & -1 \ 1 & 1 \end{array}\right|+0 \times(-1)^{2+2}\left|\begin{array}{cc} 1 & 2 \ 1 & 1 \end{array}\right| \ &+3 \times(-1)^{3+2}\left|\begin{array}{cc} 1 & 2 \ 3 & -1 \end{array}\right| \ &=0+0-3 \times(1 \times(-1)-2 \times 3) \ &=21 \end{aligned} It is clear from Examples2.7$and$2.8$that a right choice of the row or the column may simplify considerably the calculations. # 线性代数代考 ## 数学代写|线性代数代写linear algebra代考|Laplace’s Formula 在本节中，我们将介绍另一个公式，即行列式函数的拉普拉斯公式。当我们需要计算条目有参数的（小) 矩阵的行列式时，这个公式特别有用 (见第 4 章) 。然 而，由于我们处理大型矩阵时涉及的乘法数量，这不是计算行列式的有效方法。 定义 22 让$A$是一个有序的方阵$n$. 让$[\boldsymbol{A} i j]$是的子矩阵$A$通过删除行获得$i$和列$j$. 小$i j \boldsymbol{M} i j$和辅因子-ij$\boldsymbol{C} j$定义为 $$\quad M i j=\operatorname{det}\left[A_{i j}\right], \quad C_{i j}=(-1)^{i+j} M_{i j} .$$ 定理$2.2$(沿行展开的拉普拉斯公式$i$) 让$A$是一个有序的方阵$n$然后让$l i$成为一排$A$. 然后， $$|A|=\sum j=1^n a_{i j} C_{i j} .$$ 证明 这个证明紧随其后$\$11.3[13]$ 的。给定一个矩阵 A，我们知道，根据 (2.4)，
$$\operatorname{det} A=\sum_{p \in P_S} \operatorname{sign}(p) a_{1 p(1)} a_{2 p(2)} \ldots a_{i p(i)} \ldots a_{n p(n)}$$

$$\sum_{p \in P_S} \operatorname{sign}(p) a_{11} a_{2 p(2)} \ldots a_{i p(i)} \ldots a_{n p(n)}=a_{11} \sum_{q \in S_1} \operatorname{sign}(q) a_{2 q(2)} \ldots a_{n q(n)} \quad=a_{11} M_{11}=a_{11}(-1)^{1+1} M_{11} \quad=a_{11} C_{11}$$

## 数学代写|线性代数代写linear algebra代考|Laplace’s formula with expansion along column

$$|A|=\sum i=1^n a_{i j} C_{i j} .$$

Example $2.8$ 我们重新计算 Example 的行列式 $2.7$ 使用沿第 2 列的扩展。
$$|A|=\left|\begin{array}{lllllll} 1 & 0 & 23 & 0 & -1 & 3 & 1 \end{array}\right|=a_{12} C_{12}+a_{22} C_{22}+a_{32} C_{32}=0 \times(-1)^{1+2}|3 \quad-11 \quad 1|+0 \times(-1)^{2+2}|1 \quad 21 \quad 1|+3 \times(-1)^{3+2} \mid 1 \quad 2$$

## 有限元方法代写

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## MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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