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线性规划，数学建模技术，其中一个线性函数在受到各种约束时被最大化或最小化。这种技术对于指导商业规划、工业工程中的定量决策非常有用，在较小的程度上也适用于社会和物理科学。
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数学代写|线性规划作业代写Linear Programming代考|Dual Linear Programs and Interpretations
In this section we define the dual program that is associated with a given linear program. Initially, we depart from our usual strategy of considering programs in standard form, since the duality relationship is most symmetric for programs expressed solely in terms of inequalities. Specifically then, we define duality through the pair of programs displayed below.
If $\mathbf{A}$ is an $m \times n$ matrix, then $\mathbf{x}$ is an $m$-dimensional column vector, $\mathbf{b}$ is an $m$-dimensional column vector, $\mathbf{c}$ is an $n$-dimensional column vector, and $\mathbf{y}$ is an $m$-dimensional column vector. The vector $\mathbf{x}$ is the variable of the primal program, and $\mathbf{y}$ is the variable of the dual program.
The pair of programs (3.1) is called the symmetric form of duality and, as explained below, can be used to define the dual of any linear program. It is important to note that the role of primal and dual can be reversed. Thus, studying in detail the process by which the dual is obtained from the primal: interchange of cost and constraint vectors, transposition of coefficient matrix, reversal of constraint inequalities, and change of minimization to maximization; we see that this same process applied to the dual yields the primal. Put another way, if the dual is transformed, by multiplying the objective and the constraints by minus unity, so that it has the structure of the primal (but is still expressed in terms of $\mathbf{y}$ ), its corresponding dual will be equivalent to the original primal.
数学代写|线性规划作业代写Linear Programming代考|The Duality Theorem
To this point the relation between the primal and dual programs has been simply a formal one based on what might appear as an arbitrary definition. In this section, however, the deeper connection between a program and its dual, as expressed by the Duality Theorem, is derived.
The proof of the Duality Theorem given in this section relies on Farkas’ Lemma (Chap. 2, Sect. 2.6) and is therefore somewhat more advanced than previous arguments. It is given here so that the most general form of the Duality Theorem is established directly. An alternative approach is to use the theory of the simplex method to derive the duality result. A simplified version of this alternative approach is given in the next section.
Throughout this section we consider the primal program in standard form
$$
\begin{aligned}
&\text { minimize } \mathbf{c}^{T} \mathbf{x} \
&\text { subject to } \mathbf{A x}=\mathbf{b}, \mathbf{x} \geqslant \mathbf{0}
\end{aligned}
$$
and its corresponding dual
$$
\begin{array}{ll}
\operatorname{maximize} & \mathbf{y}^{T} \mathbf{b} \
\text { subject to } & \mathbf{y}^{T} \mathbf{A} \leqslant \mathbf{c}^{T}
\end{array}
$$
线性规划代写
数学代写|线性规划作业代写Linear Programming代考|Dual Linear Programs and Interpretations
在本节中，我们定义与给定线性程序相关的对偶程序。最初，我们偏离了以标准形式考虑程序的通常策略，因为对偶关系对于仅以不等式表示的程序来说是最对称的。具体来说，我们通过下面显示的一对程序来定义对偶性。
如果一个是一个米×n矩阵，那么X是一个米维列向量，b是一个米维列向量，C是一个n维列向量，以及是是一个米维列向量。向量X是原始程序的变量，并且是是对偶程序的变量。
程序对 (3.1) 称为对偶的对称形式，如下所述，可用于定义任何线性程序的对偶。重要的是要注意原始和双重的角色可以颠倒。因此，详细研究了从原始获得对偶的过程：成本和约束向量的交换、系数矩阵的转置、约束不等式的反转以及最小化到最大化的变化；我们看到同样的过程应用于对偶产生原始。换句话说，如果对偶被转换，通过将目标和约束乘以负一，它具有原始的结构（但仍然表示为是)，其对应的对偶将等价于原始的原始。
数学代写|线性规划作业代写Linear Programming代考|The Duality Theorem
至此，原始程序和对偶程序之间的关系只是一种形式上的关系，它基于可能出现的任意定义。然而，在本节中，导出了程序与其对偶之间的更深层次的联系，如 对偶定理所表达的那样。
本节给出的对偶定理的证明依赖于 Farkas 的引理（第 2 章，第 $2.6$ 节)，因此比以前的论点要先进一些。在这里给出它是为了直接建立对偶定理的最一般形式。 另一种方法是使用单纯形法的理论来推导对偶结果。下一节将给出这种替代方法的简化版本。
在本节中，我们以标准形式考虑原始程序
minimize $\mathbf{c}^{T} \mathbf{x} \quad$ subject to $\mathbf{A} \mathbf{x}=\mathbf{b}, \mathbf{x} \geqslant \mathbf{0}$
及其对应的对偶
maximize $\mathbf{y}^{T} \mathbf{b}$ subject to $\mathbf{y}^{T} \mathbf{A} \leqslant \mathbf{c}^{T}$
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