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• Statistical Inference 统计推断
• Statistical Computing 统计计算
• (Generalized) Linear Models 广义线性模型
• Statistical Machine Learning 统计机器学习
• Longitudinal Data Analysis 纵向数据分析
• Foundations of Data Science 数据科学基础

## 统计代写|线性回归分析代写linear regression analysis代考|DENSITY FUNCTION

Let $\boldsymbol{\Sigma}$ be a positive-definite $n \times n$ matrix and $\boldsymbol{\mu}$ an $n$-vector. Consider the (positive) function
$$f\left(y_1, \ldots, y_n\right)=k^{-1} \exp \left[-\frac{1}{2}(\mathbf{y}-\boldsymbol{\mu})^{\prime} \boldsymbol{\Sigma}^{-1}(\mathbf{y}-\boldsymbol{\mu})\right],$$
where $k$ is a constant. Since $\boldsymbol{\Sigma}$ (and hence $\boldsymbol{\Sigma}^{-1}$ by A.4.3) is positive-definite, the quadratic form $(\mathbf{y}-\boldsymbol{\mu})^{\prime} \mathbf{\Sigma}^{-1}(\mathbf{y}-\boldsymbol{\mu})$ is nonnegative and the function $f$ is bounded, taking its maximum value of $k^{-1}$ at $\mathbf{y}=\mu$.

Because $\boldsymbol{\Sigma}$ is positive-definite, it has a symmetric positive-definite square root $\Sigma^{1 / 2}$, which satisfies $\left(\Sigma^{1 / 2}\right)^2=\Sigma$ (by A.4.12).

Let $\mathbf{z}=\boldsymbol{\Sigma}^{-1 / 2}(\mathbf{y}-\mu)$, so that $\mathbf{y}=\boldsymbol{\Sigma}^{1 / 2} \mathbf{z}+\boldsymbol{\mu}$. The Jacobian of this transformation is
$$J=\operatorname{det}\left(\frac{\partial y_i}{\partial z_j}\right)=\operatorname{det}\left(\Sigma^{1 / 2}\right)=[\operatorname{det}(\Sigma)]^{1 / 2} .$$
Changing the variables in the integral, we get
\begin{aligned} & \int_{-\infty}^{\infty} \cdots \int_{-\infty}^{\infty} \exp \left[-\frac{1}{2}(\mathbf{y}-\boldsymbol{\mu})^{\prime} \boldsymbol{\Sigma}^{-1}(\mathbf{y}-\boldsymbol{\mu})\right] d y_1 \cdots d y_n \ =& \int_{-\infty}^{\infty} \cdots \int_{-\infty}^{\infty} \exp \left(-\frac{1}{2} \mathbf{z}^{\prime} \boldsymbol{\Sigma}^{1 / 2} \boldsymbol{\Sigma}^{-1} \mathbf{\Sigma}^{1 / 2} \mathbf{z}\right)|J| d z_1 \cdots d z_n \ =& \int_{-\infty}^{\infty} \cdots \int_{-\infty}^{\infty} \exp \left(-\frac{1}{2} \mathbf{z}^{\prime} \mathbf{z}\right)|J| d z_1 \cdots d z_n \end{aligned} \begin{aligned} &=|J| \prod_{i=1}^{\prod_i} \int_{-\infty}^{\infty} \exp \left(-\frac{1}{2} z_i^2\right) d z_i \ &=|J| \prod_{i=1}^n(2 \pi)^{1 / 2} \ &=(2 \pi)^{n / 2} \operatorname{det}(\boldsymbol{\Sigma})^{1 / 2} . \end{aligned}
Since $f>0$, it follows that if $k=(2 \pi)^{n / 2} \operatorname{det}(\Sigma)^{1 / 2}$, then (2.1) represents a density function.

## 统计代写|线性回归分析代写linear regression analysis代考|MOMENT GENERATING FUNCTIONS

We can use the results of Section $2.1$ to calculate the moment generating function (m.g.f.) of the multivariate normal. First, if $\mathbf{Z} \sim N_n\left(\mathbf{0}, \mathbf{I}n\right)$, then, by the independence of the $Z_i$ ‘s, the m.g.f. of $\mathbf{Z}$ is \begin{aligned} E\left[\exp \left(\mathbf{t}^{\prime} \mathbf{Z}\right)\right] &=E\left[\exp \left(\sum{i=1}^n t_i Z_i\right)\right] \ &=E\left[\prod_{i=1}^n \exp \left(t_i Z_i\right)\right] \ &=\prod_{i=1}^n E\left[\exp \left(t_i Z_i\right)\right] \ &=\prod_{i=1}^n \exp \left(\frac{1}{2} t_i^2\right) \ &=\exp \left(\frac{1}{2} \mathbf{t}^{\prime} \mathbf{t}\right) . \end{aligned}
Now if $\mathbf{Y} \sim N_n(\mu, \boldsymbol{\Sigma})$, we can write $\mathbf{Y}=\mathbf{\Sigma}^{1 / 2} \mathbf{Z}+\mu$, where $\mathbf{Z} \sim N_n\left(\mathbf{0}, \mathbf{I}_n\right)$. Hence using $(2,4)$ and putting $s=\Sigma^{1 / 2} \mathbf{t}$, we get
\begin{aligned} E\left[\exp \left(\mathbf{t}^{\prime} \mathbf{Y}\right)\right] &=E\left[\exp \left{\mathbf{t}^{\prime}\left(\boldsymbol{\Sigma}^{1 / 2} \mathbf{Z}+\boldsymbol{\mu}\right)\right}\right] \ &=E\left[\exp \left(\mathbf{s}^{\prime} \mathbf{Z}\right)\right] \exp \left(\mathbf{t}^{\prime} \boldsymbol{\mu}\right) \ &=\exp \left(\frac{1}{2} \mathbf{s}^{\prime} \mathbf{s}\right) \exp \left(\mathbf{t}^{\prime} \boldsymbol{\mu}\right) \ &=\exp \left(\frac{1}{2} \mathbf{t}^{\prime} \mathbf{\Sigma}^{1 / 2} \mathbf{\Sigma}^{1 / 2} \mathbf{t}+\mathbf{t}^{\prime} \boldsymbol{\mu}\right) \ &=\exp \left(\mathbf{t}^{\prime} \boldsymbol{\mu}+\frac{1}{2} \mathbf{t}^{\prime} \mathbf{\Sigma} \mathbf{t}\right) \end{aligned}
Another well-known result for the univariate normal is that if $Y \sim N\left(\mu, \sigma^2\right)$, then $a Y+b$ is $N\left(a \mu+b, a^2 \sigma^2\right)$ provided that $a \neq 0$. A similar result is true for the multivariate normal, as we see below.

THEOREM 2.2 Let $\mathbf{Y} \sim N_n(\boldsymbol{\mu}, \boldsymbol{\Sigma})$, C be an $m \times n$ matrix of rank $m$, and $\mathbf{d}$ be an $m \times 1$ vector. Then $\mathbf{C Y}+\mathbf{d} \sim N_m\left(\mathbf{C} \mu+\mathbf{d}, \mathbf{C \Sigma C} \mathbf{C}^{\prime}\right)$.
Proof. The m.g.f. of $\mathbf{C Y}+\mathbf{d}$ is
\begin{aligned} E\left{\exp \left[\mathbf{t}^{\prime}(\mathbf{C Y}+\mathbf{d})\right]\right} &=E\left{\exp \left[\left(\mathbf{C}^{\prime} \mathbf{t}\right)^{\prime} \mathbf{Y}+\mathbf{t}^{\prime} \mathbf{d}\right]\right} \ &=\exp \left[\left(\mathbf{C}^{\prime} \mathbf{t}\right)^{\prime} \boldsymbol{\mu}+\frac{1}{2}\left(\mathbf{C}^{\prime} \mathbf{t}\right)^{\prime} \mathbf{\Sigma} \mathbf{C}^{\prime} \mathbf{t}+\mathbf{t}^{\prime} \mathbf{d}\right] \ &=\exp \left[\mathbf{t}^{\prime}(\mathbf{C} \boldsymbol{\mu}+\mathbf{d})+\frac{1}{2} \mathbf{t}^{\prime} \mathbf{C} \mathbf{\Sigma}^{\prime} \mathbf{t}\right] . \end{aligned}
Since $\mathbf{C \Sigma} \mathbf{C}^{\prime}$ is positive-definite, the equation above is the moment generating function of $N_m\left(\mathbf{C} \boldsymbol{\mu}+\mathbf{d}, \mathbf{C} \boldsymbol{\Sigma} \mathbf{C}^{\prime}\right)$. We stress that $\mathbf{C}$ must be of full rank to ensure that $\mathbf{C \Sigma C ^ { \prime }}$ is positive-definite (by A.4.5), since we have only defined the multivariate normal for positive-definite variance matrices.

# 线性回归分析代写

## 统计代写|线性回归分析代写linear regression analysis代考|DENSITY FUNCTION

$$f\left(y_1, \ldots, y_n\right)=k^{-1} \exp \left[-\frac{1}{2}(\mathbf{y}-\boldsymbol{\mu})^{\prime} \boldsymbol{\Sigma}^{-1}(\mathbf{y}-\boldsymbol{\mu})\right]$$

$$J=\operatorname{det}\left(\frac{\partial y_i}{\partial z_j}\right)=\operatorname{det}\left(\Sigma^{1 / 2}\right)=[\operatorname{det}(\Sigma)]^{1 / 2} .$$

$$\begin{gathered} \int_{-\infty}^{\infty} \cdots \int_{-\infty}^{\infty} \exp \left[-\frac{1}{2}(\mathbf{y}-\boldsymbol{\mu})^{\prime} \boldsymbol{\Sigma}^{-1}(\mathbf{y}-\boldsymbol{\mu})\right] d y_1 \cdots d y_n=\int_{-\infty}^{\infty} \cdots \int_{-\infty}^{\infty} \exp \left(-\frac{1}{2} \mathbf{z}^{\prime} \boldsymbol{\Sigma}^{1 / 2} \boldsymbol{\Sigma}^{-1} \boldsymbol{\Sigma}^{1 / 2} \mathbf{z}\right)|J| d z_1 \cdots d z_n=\int_{-\infty}^{\infty} \cdots \int_{-\infty}^{\infty} \exp \left(-\frac{1}{2} \mathbf{z}^{\prime} \mathbf{z}\right. \ =|J| \prod_{i=1}^{\prod_i} \int_{-\infty}^{\infty} \exp \left(-\frac{1}{2} z_i^2\right) d z_i \quad=|J| \prod_{i=1}^n(2 \pi)^{1 / 2}=(2 \pi)^{n / 2} \operatorname{det}(\boldsymbol{\Sigma})^{1 / 2} . \end{gathered}$$

## 统计代写|线性回归分析代写linear regression analysis代考|MOMENT GENERATING FUNCTIONS

$$E\left[\exp \left(\mathbf{t}^{\prime} \mathbf{Z}\right)\right]=E\left[\exp \left(\sum i=1^n t_i Z_i\right)\right] \quad=E\left[\prod_{i=1}^n \exp \left(t_i Z_i\right)\right]=\prod_{i=1}^n E\left[\exp \left(t_i Z_i\right)\right] \quad=\prod_{i=1}^n \exp \left(\frac{1}{2} t_i^2\right)=\exp \left(\frac{1}{2} \mathbf{t}^{\prime} \mathbf{t}\right)$$

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## 有限元方法代写

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## MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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